基于三角函数的犹豫模糊新距离测度

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1、第36卷第1期2023年3月Vol.36 No.1Mar.2023海南师范大学学报（自然科学版）Journal of Hainan Normal University（Natural Science）基于三角函数的犹豫模糊新距离测度张月月，黄韩亮*（闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州 363000）摘要：距离测度主要用于度量不同数据之间的距离，结合三角函数的距离测度也被成功地应用于犹豫模糊集上。本文提出了基于正弦、余弦和正切函数的犹豫模糊距离测度以及含偏好的距离测度并验证了其优良性质；最后，提出了2种犹豫模糊多属性决策方法，并通过能源政策选择的案例验证了所提方法的有效性和实用性。关键词

2、：犹豫模糊集；三角函数；距离测度；多属性决策中图分类号：O159 文献标志码：A 文章编号：1674-4942（2023）01-0007-10New Distance Measure of Hesitant Fuzzy Set Based on Trigonometric FunctionZHANG Yueyue，HUANG Hanliang*（School of Mathemetics and Statistics，Minnan Normal University，Zhangzhou 363000，China）Abstract:Distance measure was mainly used

3、 to measure the distance between different data.The distance measure combined with trigonometric function has been successfully applied in the hesitant fuzzy set.In this paper,we proposed new distance measures based on the hesitant fuzzy set of sine,cosine and tangent functions,and distance measure

4、with preference information.Further,the properties of the proposed distance measure were discussed.Finally,two multi-attribute decision making methods based on hesitant fuzzy sets were proposed.The effectiveness and practicality of the proposed methods were demonstrated by the example of energy poli

5、cy selection.Keywords:hesitant fuzzy set;trigonometric function;distance measure;multi-attribute decision-making模糊集（FS）是处理复杂性和不确定性问题的有力工具之一，于1963年被美国控制论专家Zadeh1提出。文献2-3考虑到隶属度、非隶属度和犹豫度3个因素之间的影响，提出了直觉模糊集（IFS）、区间直觉模糊集（IVIFS）等拓展形式。在分析问题时，决策者会对一个元素属于某个集合的可能程度犹豫不决，或者决策者对同一数据在不同时期的评估值可能发生改变，由此，文献4提出了犹豫模糊集（

6、HFS），允许隶属度在单位区间0,1上取一组可能值。测度理论是解决决策问题的重要工具，有关犹豫模糊集的距离测度和相似性测度的研究已经取得了较多成果。文献5提出了犹豫Hamming距离和犹豫Hausdorff距离。文献6考虑到决策者在评估犹豫模糊数(HFN)的隶属度时的犹豫程度，引入了包含犹豫程度的距离测度。文献7为解决隶属度的偏差问题，定义了距离度量时每种补齐方案的犹豫度的直觉犹豫模糊集的距离测度。但上述距离测度受不同的犹豫模糊数所含元素个数等长的限制，这可能会导致结果与真实情况存在差异。针对这一问题，文献8提出了基于对Doi：10.12051/j.issn.1674-4942.2023.01

7、.002收稿日期：2022-11-01基金项目：国家自然科学基金项目（11871259）；福建省自然科学基金项目（2020J02043，2020J01801，2021J01984）第一作者：张月月（1998），四川广安人，硕士研究生，研究方向为模糊集理论及其应用。E-mail：*通信作者：黄韩亮（1980），福建漳州人，教授，研究方向为模糊集理论及其应用。E-mail：2023年海南师范大学学报（自然科学版）偶犹豫模糊集的距离测度和熵测度，文献9提出了基于犹豫模糊集的不等长序列识别方法，有效地解决了犹豫模糊数的元素个数不等长问题。有关三角函数的距离测度和相似性测度也被广泛研究。例如直觉模糊集上

8、的余弦相似性测度10打破了评价信息类型与维数限制，可以直观得出云服务质量的优劣。文献11将直觉模糊相似性测度拓展到区间q阶Orthopair模糊上，提出了正弦相似性测度。文献12提出的Hausdorff距离测度将欧几里得距离运用到2个单点集之间，定义了24种距离测度，解决了集合元素个数不等长的问题。本文受Hausdorff距离测度12的启发提出了基于正弦、余弦和正切的距离测度和加权距离测度，这些距离测度不需要犹豫模糊数所含元素个数等长；然后，通过讨论验证了上述测度具有有界性、对称性、三角不等式性等优良性质；最后，通过多属性决策的案例，将所提方法与现有的方法进行比较分析。结果显示，所提方法具有有

9、效性和实用性。1 预备知识定义14给定任意非空有限集合X，则称A=x,hA(x):x X为犹豫模糊集(HFS)，其中，h(x)0,1表示x X属于X的子集A的所有可能程度，称hA(x)为x关于A的犹豫模糊数(HFN)。定义213对于犹豫模糊数h，其中lh为h中所含元素的个数，其得分函数为s(h)=1lh h。（1）定义314对于犹豫模糊数h，其中lh为h中所含元素的个数，其方差函数为(h)=2lh(lh-1)i,j h(i-j)2。（2）对于2个犹豫模糊数h1、h2比较大小，文献15给出如下法则：（1）若s(h1)s(h2)，则h1 h2；（2）若s(h1)=s(h2)，则当(h1)h2；当

10、(h1)=(h2)时，h1=h2。文献5提出的广义犹豫加权Hamming距离测度如下所示：dghw(A,B)=k=1nk()1lxkj=1lxk|h(i)A(xk)h(j)B(xk)1/。（3）文献6考虑到每个犹豫模糊元素的犹豫程度，定义了如下公式：dwhug(A,B)=12k=1nk(|u(hA(xk)-u(hB(xk)|+1lxkj=1lxk|h(j)A(xk)-h(j)B(xk)|)1/，（4）其中，记h(i)A(xk)为hA(xk)中第i小的元素，h(i)B为hB中第j小的元素，lhA(xk)、lhB(xk)为犹豫模糊数hA(xk)、hB(xk)所含元素的个数。lxk=max(lhA(

11、xk),lhB(xk)；k(k=1,2,n)为元素xk的相关权重，满足k 0,1，且k=1nk=1；u(hA(xk)=1-1lhA(xk)，u(hB(xk)=1-1lhB(xk)，1。一般情况下，可以用欧几里得距离来表示单个点a和集合B之间的距离，其数学形式为(a,B)=minb B|a-b|。文献16将其扩展到犹豫模糊数上，提出犹豫模糊数之间的距离测度。定义 416假设对任意xk X=x1,x2,xn，hA(xk)=xk,h(i)A(xk)|i=1,2,lhA(xk):xk X，hB(xk)=xk,h(j)B(xk)|j=1,2,lhB(xk):xk X为2个犹豫模糊数，可定义hA(xk)

12、和hB(xk)之间的距离如下所示：8张月月，等：基于三角函数的犹豫模糊新距离测度第1期f1(hA(xk),hB(xk)=maxd1(hA(xk),hB(xk),d1(hB(xk),hA(xk)=maxmaxh(i)A hAminh(j)B hB|h(i)A(xk)-h(j)B(xk)|,maxh(j)B hBminh(i)A hA|h(i)A(xk)-h(j)B(xk)|,（5）f2(hA(xk),hB(xk)=1lhA(xk)+lhB(xk)(d2(hA(xk),hB(xk)+d2(hB(xk),hA(xk)=1lhA(xk)+lhB(xk)()h(i)A hAminh(j)B hB|h(i

14、h(j)B hB|h(i)A(x)-h(j)B(x)|,（9）d2(hB(x),hA(x)=h(j)B hB(h(j)B(x),hA(x)=h(j)B hBminh(i)A hA|h(i)A(x)-h(j)B(x)|,（10）(h(i)A(xk),hB(xk)=minh(j)B hB|h(i)A(xk)-h(j)B(xk)|，表示犹豫模糊数hA(xk)中某一犹豫模糊元素h(i)A(xk)到另一犹豫模糊数hB(xk)的最小欧式距离。2 基于三角函数的新距离测度定义4是基于Hausdorff距离测度的基础上定义的，不受元素个数等长的限制，本节结合三角函数提出犹豫模糊集的新距离测度、加权距离测度和

15、含偏好的加权距离测度，并对其性质进行讨论。定义5给定任意非空有限集合X=xk|k=1,2,n，设A=xk,hA(xk):xk X=xk,h(i)A(xk)|i=1,2,lhA(xk):xk X和B=xk,hB(xk):xk X=xk,h(j)B(xk)|j=1,2,lhB(xk):xk X是X上的任意2个犹豫模糊集，结合式（5）和式（6），分别定义A和B的距离测度如下所示：SD1(A,B)=1nk=1nsin 2(f1(hA(xk),hB(xk)=1nk=1nsin 2()maxmaxh(i)A hAminh(j)B hB|h(i)A(xk)-h(j)B(xk)|,maxh(j)B hBmin

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