1、第36卷第1期2023年3月Vol.36 No.1Mar.2023海南师范大学学报（自然科学版）Journal of Hainan Normal University（Natural Science）基于改进犹豫度的区间值犹豫模糊集距离测度及其应用范玉蕊，王惠文*（云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650500）摘 要：模糊集的距离是决策问题中十分重要的数值指标。本文在计算模糊集的距离时不仅探讨了犹豫模糊区间2个端点值和区间个数的多寡对计算结果的影响，而且考虑了其内部区间标准差的差异对于区间值犹豫模糊集之间的距离带来的影响。在探讨了区间值犹豫模糊集的标准差以及由此引出的偏差距离的基础上进一步
2、提出了带有改进犹豫度的区间值犹豫模糊集距离测度公式，并给出实例说明该公式的合理性和优越性。关键词：区间值犹豫模糊集；距离；相似度；偏差距离；模式识别中图分类号：O159；O225 文献标志码：A 文章编号：1674-4942（2023）01-0024-05Interval-valued Hesitant Fuzzy Set Distance Measure Based on Improved Hesitation Degree and Its ApplicationFAN Yurui，WANG Huiwen*（School of Mathematics，Yunnan Normal Univer
3、sity，Kunming 650500，China）Abstract:The distance of fuzzy sets is a very important numerical index in decision making.In this paper,when calculating the distance,not only the influence of the two endpoint values and the number of intervals in the hesitation fuzzy interval on the calculation results i
4、s discussed,but also the effect of the difference of the standard deviation of the internal interval on the distance between the interval-valued hesitant fuzzy sets is considered.Based on the standard deviation of the interval value hesitation fuzzy set and the resulting deviation distance,the inter
5、val value hesitation fuzzy set distance measurement formula with improved hesitation is further proposed,and the rationality and superiority of the formula are given.Keywords:interval-valued hesitant fuzzy sets;distance;similarity;deviation distance;pattern recognition模糊集理论可以有效地处理经济活动中的模糊不确定性问题。但在实际
6、问题中，经常出现决策者在几个值之间犹豫不决的情况，这时，直觉模糊集就无法对状况进行准确的描述。针对这种情况，文献1在模糊集理论中又增添了犹豫这一概念，提出犹豫模糊集，它允许模糊数可以在几个不同的数值之间波动，能够客观反映出决策者的犹豫情况。之后，文献2用多个区间数表示出现的可能隶属度，提出区间值犹豫模糊集的概念。文献3分析并探讨了区间值犹豫模糊集的一些基本运算和相关性质。模糊集的距离及相似测度是决策问题中2个十分重要的数值指标且应用广泛。文献4提出犹豫模糊集中带有犹豫度的距离和相似度公式，文献5在此基础上将公式推广到区间上，但计算距离时仅探讨了犹豫模糊区间2个端点值和区间个数的多寡对计算结果的
7、影响，并未考虑衡量区间值犹豫模糊集内部差异的标Doi：10.12051/j.issn.1674-4942.2023.01.004收稿日期：2022-11-11基金项目：云南师范大学研究生科研训练基金项目（YJSJJ22-B93）第一作者：范玉蕊（1998），河南新乡人，硕士研究生，研究方向为模糊多属性决策。E-mail：*通信作者：王惠文（1975），江苏镇江人，副教授，研究方向为模糊决策。E-mail：范玉蕊，等：基于改进犹豫度的区间值犹豫模糊集距离测度及应用第1期准差对距离产生的影响，且要求相对应的元中区间个数相同。文献6提出的距离公式不要求对应元中区间的个数相同，但是只考虑了区间端点值的
8、差异带来的影响。本文提出的距离公式同样不要求对应元中区间个数相同，此外，在探讨了区间值犹豫模糊集的标准差以及由此引出的偏差距离的基础上进一步提出了带有改进犹豫度的区间值犹豫模糊集距离测度公式，并应用于多属性决策问题中说明其合理性和有效性。1 基本概念 定义15设X=x1,x2,xn是一非空集合，称A=|xX为区间值犹豫模糊集(HIVFS)，hA(x)表示x对于A的所有可能隶属度区间，其端点值取值范围为0,1，h=hA(x)为区间值犹豫模糊元。定理17设A、B、C是非空集合X=x1,x2,xn上的3个区间值犹豫模糊集，则A、B、C之间的距离D满足以下3个条件：（1）0 D(A,B)1；（2）D(
9、A,B)=D(B,A)；（3）D(A,B)D(A,C)+D(C,B)。2个区间值犹豫模糊集的距离越小，相似度越大，关系也就越密切。S(A,B)=1-D(A,B)，表示A、B的相似度。2 现有的区间值犹豫模糊集距离测度 文献7提出的距离公式其一般标准欧式距离形式如下：D(A,B)=1ni=1n()12lxij=1lxi()|hLA(j)()xi-hLB(j)()xi|2+|hRA(j)()xi-hRB(j)()xi|212。（1）h(j)是区间值犹豫模糊元中的区间进行排序后的第j个最大值，满足h(j)h(j+1)，j=1,2,n-1,lxi=maxl(hA(xi),l(hB(xi)，其中l(hA
10、(xi)和l(hB(xi)分别代表hA(xi)和hB(xi)中区间的个数，hA(xi)=hLA1()xi,hRA1()xi,hLA2()xi,hRA2()xi,，hB(xi)=hLB1()xi,hRB1()xi,hLB2()xi,hRB2()xi,。但是，以上的距离公式只限于属性相对应的2个区间值犹豫模糊元中区间个数相等的情况，所以当其对应元中区间个数不相等时就需要进行扩充。对于a=aL,aR，b=bL,bR，其中a 0,1，b 0,1，区间数运算法则5如下：a b=max(aL,bL),max(aR,bR);a b=min(aL,bL),min(aR,bR),乐观者会填充若干个a b，悲观者
11、会填充若干个a b。显然，扩充方法具有较强的主观性。文献6提出区间值犹豫模糊集的距离测度如下：D(hA,hB)=1l(hA)l(hB)A hAB hB|(1-)(LA-LB)+(UA-UB)|,（2）其中，l(hA)代表hA中区间的个数，l(hB)代表hB中区间的个数。当区间值犹豫模糊集A、B有多个属性指标X=x1,x2,xn时，则它们之间的欧式距离为D(A,B)=1ni=1n()1l(hA(xi)l(hB(xi)A(xi)hA(xi)B(xi)hB(xi)|(1-)(LA(xi)-LB(xi)+(UA(xi)-UB(xi)|212,其中，hA=A hAA=LA,UA，hB=B hBB=LB,
12、UB，l(hA(xi)代表hA(xi)中区间的个数，l(hB(xi)代表hB(xi)中区间的个数。公式的优点在于不用主观地增加一些区间值以达到2个区间值犹豫模糊元中区间个数相等的目的，另外，还计算了2个区间值犹豫模糊元中每对值之间的所有偏差。3 改进的区间值犹豫模糊集的距离及相似度 文献5中的例子表明需要扩充的区间值犹豫模糊集的距离测度存在不足，有无法识别的情况。以下例252023年海南师范大学学报（自然科学版）子表明文献6提出的不需要扩充的区间值犹豫模糊集的距离公式也存在着一定的不足。例1设=0.5，给定A=0.2,0.3,0.4,0.6,B=0.4,0.5,0.5,0.8，现有一区间值犹豫
13、模糊集h=0.2,0.5,0.5,0.6，判断h与A和B哪一个更接近？利用公式（2）进行运算可以得到D(h,A)=0.15，D(h,B)=0.15。此时，利用原有的公式无法判断h与A和B哪一个更接近。因此，本文提出了一种带有改进犹豫度的距离公式，相比较于文献5中的公式，弥补了需要主观填充的不足；另外，该公式在兼顾了区间两端点值和区间个数的影响之外，还加入了偏差距离来衡量内部差异。定义2区间值犹豫模糊集A的第i个属性的标准差为S(A(xi)=j=1l(hA(xi)|hAj(xi)-hA(xi)|2l(hA(xi)。本文用标准差来表示区间值犹豫模糊元的内部犹豫度。在区间部分进行减法运算时，对左右端
14、点部分给予同等偏好，具体形式如下：|aL,aU-bL,bU|=0.5|aL-bL|+0.5|aU-bU|。定义3针对第i个属性，两个区间值犹豫模糊集A、B的偏差距离为dsi(A,B)=|S(A(xi)-S(B(xi)|。受文献6的启发，本文对原有距离公式进行改进，定义出改进的区间值犹豫模糊集的距离公式，针对单个属性时，dpi(A,B)=1l(hA(xi)l(hB(xi)A(xi)hA(xi)B(xi)hB(xi)()(1-)|LA(xi)-LB(xi)|+|UA(xi)-UB(xi)|。定义4区间值犹豫模糊集A、B间改进的欧式距离为D(A,B)=12ni=1n()(dsi(A,B)2+(dpi
15、(A,B)2 12。由于不同决策者针对不同状况对区间值犹豫模糊集之间距离以及区间值犹豫模糊集内部差异两个部分的偏好不同，提出如下距离公式：D(A,B)=1ni=1n()(dsi(A,B)2+(dpi(A,B)2 12,其中,0,且+=1。定义5设=(1,2,n)为X=x1,x2,xn的权重向量，满足i=1ni=1，则含偏差距离的改进加权欧式距离为D(A,B)=12i=1ni()(dsi(A,B)2+(dpi(A,B)2 12。通常情况下，不仅要考虑偏好权重，还应考虑xi X(i=1,2,n)的权重，则有如下的距离公式：D(A,B)=i=1ni()(dsi(A,B)2+(dpi(A,B)2 12
16、,（3）其中,0,且+=1。定义6设=(1,2,n)为X=x1,x2,xn的权重向量，满足i=1ni=1，则定义含偏差距离的带有偏好的加权相似度公式如下：S(A,B)=1-i=1ni()(dsi(A,B)2+(dpi(A,B)2 12。例1代入含偏差距离的公式计算可得D(h,A)=0.087 5,D(h,B)=0.075，这也就是说h与A 更为接近。式（3）显然满足上述性质的前两条。26范玉蕊，等：基于改进犹豫度的区间值犹豫模糊集距离测度及应用第1期引理1区间值犹豫模糊集A、B、C之间的距离满足D(A,B)D(A,C)+D(C,B)。证明如下：记dp(A,B)=1l(hA)l(hB)A hAB hB()(1-)|LA-LB|+|UA-UB|，所以有dp(A,B)=1l(hC)C hCdp(A,B)=1l(hA)l(hB)A hAB hB()(1-)|LA-LB|+|UA-UB|=1l(hA)l(hB)l(hC)A hAB hBC hC()(1-)|LA-LC+LC-LB|+|UA-UC+UC-UB|1l(hA)l(hB)l(hC)A hAB hBC hC()(1-)()|LA-LC|+
