1、第 43卷 第 1期2023年 3月光 电 子 技 术OPTOELECTRONIC TECHNOLOGYVol.43 No.1Mar.2023基于扩展标量衍射理论的衍射光学元件设计杨亮亮，沈法华，赵琪，刘建利，赵勇兵（盐城师范学院 物理与电子工程学院，江苏省智能光电器件与测控工程研究中心，盐城 江苏 224007）摘 要：基于扩展标量衍射理论，建立了衍射光学元件的微结构高度与周期宽度和入射角度的理论关系模型，提出了不同入射角度时，利用带宽积分平均衍射效率最大化实现设计波长和微结构高度等结构参数的优化设计方法。以工作在近红外波段的衍射光学元件为例进行分析。结果表明：周期宽度一定时，入射角度的改变
2、会引起基于带宽积分平均衍射效率最大化所确定的结构参数发生变化。该设计方法和结论可以用于指导衍射光学元件的设计。关键词：衍射光学；入射角度；衍射效率；微结构高度中图分类号:TN29；O436 文献标志码:A 文章编号:1005488X(2023)01006205Design of Diffractive Optical Element Based on Extended Scalar Diffraction TheoryYANG Liangliang，SHEN Fahua，ZHAO Qi，LIU Jianli，ZHAO Yongbing(Jiangsu Province Intelligent
3、Optoelectronic Devices and Measurement Control Engineering Research Center,School of Physics and Electronics Engineering,Yancheng Teachers University,Yancheng Jiangsu 224007,CHN)Abstract：Based on the extended scalar diffraction theory（ESDT），the theoretical model of the relationship between the micro
4、structure height，the period width and the incidence angle of diffractive optical element（DOE）was established.The optimal design method of the structure parameters，such as design wavelength and microstructure height，was proposed based on the maximization of the bandwidth integral average diffraction
5、efficiency（BIADE）at different incident angles.A DOE working within the near infrared waveband was taken as an example.Results indicated that when the period width was determined，the change of incident angle could cause the change of structure parameters obtained based on the maximization of BIADE.Th
6、e designed method and conclusions could be used to guide the design of DOE.Key words：diffractive optics；incident angle；diffraction efficiency；microstructure heightDOI：10.19453/ki.1005488x.2023.01.010收稿日期：2022-09-16基金项目：国家自然科学基金(61904158)；江苏省智能光电器件与测控工程研究中心开放基金(306054014)；江苏省重点研发计划社会发展项目(BE2021685)；江
7、苏省高校自然科学研究项目(19KJD140005)作者简介：杨亮亮(1986)，女，博士，副教授，主要从事光学设计、聚光光伏系统设计的研究；（E-mail:yang_）沈法华(1981)，男，博士，教授，主要从事激光雷达方面的研究；赵 琪(1991)，女，博士，讲师，主要从事凝聚态物理、第一性原理计算等方面的研究。通讯作者技术与测试第 1期杨亮亮，等：基于扩展标量衍射理论的衍射光学元件设计引 言衍射光学元件(diffractive optical element，DOE)具有不同于传统折射透镜的负色散和消热差等特性，被广泛地应用于如成像、光束整形及 3D 显示等系统中1-6。无论是单层 DOE
8、、谐 DOE 还是多层DOE，带 宽 积 分 平 均 衍 射 效 率(bandwidth integral average diffraction efficiency，BIADE)是 决 定 DOE工作波段的重要参数；微结构高度是加工制造 DOE的重要参数之一。DOE 的设计通常是基于标量衍射理论(scalar diffraction theory，SDT)的 BIADE 最大化方法实现设计波长和微结构高度的优化设计，但是该方法没有考虑入射角度的影响7。微结构表面入射角度的增大会引起衍射效率下降；对比多层 DOE，单层DOE 的衍射效率下降的要慢一些8-9。由于微结构高度和波长处于同一数量级
9、时，采用 SDT 计算衍射效率的准确度会大幅度下降，基于求解麦克斯韦方程组得到的矢量衍射理论(vector diffraction theory，VDT)受到了一定的关注10-13。VDT 存在两个局限性，一是计算时间随着周期波长之比的增大而大幅度增加，二是很难利用优化微结构高度等参数实现衍射效率的最大化设计。扩展标量衍射理论(extended scalar diffraction theory，ESDT)是 建 立 在SDT 和 VDT 之间的中间理论。它能够简化 VDT的 计 算 时 间，并 且 其 计 算 结 果 要 比 SDT 更 加 精确14。文 献 15针 对 工 作 在 可 见
10、光 波 段 的 双 层DOE，分析了基于 SDT 和 VDT 计算得到的入射角度对衍射效率的影响。文献16基于 ESDT 讨论了周期宽度对微结构高度和 BIADE的影响，但是并没有给出 DOE 结构参数的优化设计。对于工作在不同入射角度的 DOE，基于 ESDT 对衍射效率的优化设计未见报道。文章基于 ESDT，提出了工作在不同入射角度时，基于 BIADE最大化实现 DOE设计波长、微结构高度等结构参数优化设计的方法。通过对工作在近红外波段的 DOE进行分析，该方法可以实现斜入射时 DOE结构参数的优化设计，特别是在相对周期宽度不是很大的情况下。该方法对 DOE 的优化设计具有一定的工程指导意
11、义。1 理论模型如图 1 所示，当光线以入射角度 i从入射介质传播到 DOE 的微结构上时，根据衍射光栅公式，得到光束斜入射时 DOE的衍射光栅方程为：T(nIsin d-nIsin I)=m（1）式中，T 为光栅周期宽度，nI与 nr分别表示相应介质材料在波长为 的折射率，d为光线通过衍射光栅后的衍射角，m为波长 的衍射级次。依据 Snell折射定律，当光线斜入射到 DOE表面时，考虑衍射微结构对光线传播的影响，有:nIsin(I+)=nrsin(r+)（2）式中 为表面微结构倾角，tan=d/T，把表面微结构高度 d和环带周期 T关联起来。为了实现第 m衍射级次衍射效率的最大化设计，应使光
12、线的衍射角和折射角相等，即 r=d=o，o表示光线的出射角。联立式（1）和（2），得到含有环带周期的 DOE的表面微结构高度为:d(,I,T)=mnI()cos I-nr2()-(mT+nI()sin I)2（3）可见，当入射介质和出射介质材料确定后，DOE的微结构高度与波长、入射角度和周期宽度有关。当 DOE工作在正入射的状态下，d可以简化为:d(,T)=mnI()-nr()1-()mnr()T2 （4）当周期宽度远大于波长时，得到基于 SDT 的DOE微结构高度为:ds(,I)=mnI()cos I-nr2()-()nI()sin I2（5）光线正入射时，微结构高度为:ds0=m0n0()
13、0-nr()0（6）式中 0为设计波长。基于 SDT，当出入射介质与衍图 1衍射光学元件的分析模型Fig.1Analysis model of DOE63光 电 子 技 术第 43卷射级次确定后，微结构高度由设计波长决定。斜入射时 DOE的衍射效率为：m(,I,T)=sin c2m-dn2r()-n2I()sin2I-nI()cos I（7）利用公式（3）和（7）可计算周期宽度和入射角度对 DOE 衍射效率的影响。若把公式（7）中的 d换成 ds即得到 SDT 的计算结果。工作在一定波段范围内的 DOE的 BIADE为:-m()=1max-minminmaxmd（8）式中 min和 max分别
14、表示元件工作波段范围内的最小和最大波长值。要实现基于 BIADE 最大化方法确定微结构高度，需要利用公式（8），在周期宽度已知的前提下，确定公式（3）中的设计波长 0和设计入射角度 I0，即可计算得到微结构高度 d0为:d0=m0nI()0cos I0-nr2()0-(m0T+nI()0sin I0)2（9）2 分析与讨论以工作在近红外波段 1.62.4 m 的 DOE 为例，基底材料采用 ZnS，衍射级次为 1级。分别基于SDT 和 ESDT 分析研究入射角度和周期宽度对DOE 的 BIADE的影响，并根据 BIADE的最大化确定设计波长和微结构高度等结构参数。2.1基于标量衍射理论的分析基
15、于 SDT，计算得到正入射时 DOE 的 BIADE与波长的关系如图 2 所示。在整个波段范围内的BIADE最高为95.529%，对应的设计波长为1.946 m，利用公式（6）计算得到微结构高度 ds0为 1.537 m。当入射角度分别增大到 15、30和 45时，利用 ds0计算得到 DOE 的 BIADE 分别为 95.466%、94.458%和 90.001%，如图 3所示。可见，基于正入射计算得到的微结构高度，随着入射角度的增大，对应的 BIADE逐渐减小。利用公式（5），基于 BIADE 最大值计算得到几个不同入射角度时，DOE的设计波长和微结构高度如表 1 所示。可见，基于 SDT
16、，根据 BIADE 最大化确定的设计波长改变很小，但微结构高度随入射角度的增大下降较快。对比正入射时的 ds0，30和 45时的 ds分别减小了 5.791%和 12.427%。对比利用ds0计算得到的 BIADE，考虑入射角度的 BIADE 分别提高了 1.076%和 5.539%。所以，要获得较高的BIADE，需考虑入射角度对微结构高度的影响。2.2基于扩展标量衍射理论的分析2.2.1微结构高度的分析对比 SDT，ESDT 不仅考虑了入射角度这一参数，也包含了周期宽度 T。利用公式（3）计算得到DOE 的微结构高度与周期宽度和入射角度的关系如图 4（a）所示。图 4（b）给出了 T 分别为 5 m、15 m 和 50 m 时，微结构高度与入射角度的关系。当T=5 m 时，微结构高度随入射角度的增大先增大而后逐渐下降；当 T 较大时，如 50 m，微结构高度随入射角度的增大逐渐下降。图 2正入射时的带宽积分平均衍射效率与波长的关系Fig.2Relationship between BIADE and wavelength at normal incidence图 3带宽积分平均衍射效
