1、山东大学学报（理学版）年 月 第 卷 第 期：（），：山东大学科技期刊社版权所有：收稿日期：；网络出版时间：网络出版地址：基金项目：山东省重点研发计划项目（）第一作者简介：王忠林（），男，硕士，副教授，研究方向为 技术与混沌理论及应用：文章编号：（）：基于乘法器的混沌系统设计与实现王忠林，刘树堂（山东大学控制与科学工程学院，山东 济南；滨州学院航空工程学院，山东 滨州；山东省航空材料与器件工程技术研究中心，山东 滨州）摘要：利用电阻与电容的串并联特性，提出了一种利用乘法器实现混沌系统的方法。利用该方法用一个电路实现 个 型混沌系统，实现具有 个乘积项的 混沌系统，可以通过改变其中一个电阻的阻值
2、实现从单周期、双周期、四周期、多周期、拟周期及单涡卷混沌到双涡卷混沌的不同的动力学行为的转换。电路实验结果、软件仿真结果与理论分析结果一致，与原有方法相比，元件数量大大减少。关键词：混沌系统；乘法器；混沌电路；运算放大器中图分类号：文献标志码：引用格式：王忠林，刘树堂基于乘法器的混沌系统设计与实现 山东大学学报（理学版），（）：，（，；，；，）：，：；引言 系统作为第一个被发现的混沌系统模型，成为非线性动力学系统的研究典范。年，等利用混沌反控制，构造了行之对称的 系统。年 等构造了连接两者之间的 系统，年，等构造了临界系统，称为 系统。文献在 系统的第一方程上加上一个非线性项，构成了一个新混沌
3、系统，称为 系统。后来，其他学者构造了众多的混沌系统，从而构成了广义的混沌系统族。混沌作为一种广泛存在的非线性动力学系统，学者们己经进行了多方面的研究。文献对一个混沌系统的动力学特性进行了分析，文献研究了 混沌系统的同步及电路实现，文献利用模块化方法实现了 系统的电路。作为混沌系统应用于工程实践的基础和前提，混沌系统的电路受到了学者们的广 山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷泛关注。目前，实现混沌系统的电路方法主要是用模拟电路和数字电路 种方法，其中，数字电路实现混沌系统主要是利用 或 等数字芯片，采用欧拉算法，用差分方式实现微分的方法，获得数字混沌信号，然后再经过数模转换，把数字信号转
4、换成模拟信号，从而在示波器等显示设备上获得混沌吸引子；模拟电路实现混沌系统主要是利用乘法器实现乘法运算，集成运算放大器和电阻实现加法、减法或反相运算，集成运算放大器和电容实现积分运算，在模拟电路中，运算放大器作为一种核心元件，在实际电路中，由于受到运算放大器带宽的限制，因此模拟混沌电路中的频率不可能太高。文献通过一个忆阻器和 个电容通过电阻并联的形式实现了忆阻 混沌系统，但所用的忆阻器模型中采用了一个乘法器和 个运算放大器及电容，而且忆阻器模型中，也采用直流电源作为输入。文献提出了一种通过电容和电阻的串联和并联的模式，不采用运算放大器，通过在乘法器上增加一个直流电源的方式，用一个乘法器实现了线
5、性项和乘法项之和。文献用这种方法，实现了 个 型的混沌系统电路，对非 型系统采用方程改造的方法，改造成 型系统的形式，但与原方程相比，改造后的方程结构发生了变化。目前混沌电路实现存在的主要问题有：（）用模块方法实现所用的元件比较多，受运算放大器的限制，频率不可能太高；（）简化方法只能实现特定的混沌系统，且每个混沌系统的电路结构不相同，同时，要用到多路直流电源，存在共地问题。本文的主要创新点如下：（）采用电阻分压的方式，既节约了电路成本，又解决了多路直流电源有可能不共地的问题；（）实现了 个不同的 型混沌系统的共用一种电路结构，本电路可以方便地实现 个 混沌系统电路；（）实现了 个乘积项的 混沌
6、系统，并且实现了该系统的不同状态。与文献的实现方法相比，本设计方案，在不增加新元件的情况下，可以节约元器件 左右。实现元件及其功能分析 乘法器及其功能简介图 的功能图 乘法器 的功能如图 所示。其中、是乘法输入端，是外加输入端，是输出端，输出的比例系数为，其输出表达式为（）（）。如图 所示，图中电流，则（）（），由此得如下表达式：（）（），（）其中，（）当，时，表达式实现一个乘法项的形式，；（）当，时，表达式实现一个非线性项减去线性项的形式，。电容与电阻串并联特性分析 个电容通过电阻并联连接如图（）所示，一个电容与电阻的并联如图（）所示。图 电阻与电容并联及串联电路 图（）中，电阻上的电流为，
7、电容上的电压变化量为?。同理，电容 上的电压变化量为?，图（）中，根据基尔霍夫电压定律，电容 上的电压变化量为?。第 期王忠林，等：基于乘法器的混沌系统设计与实现 基于乘法器的混沌系统电路设计 型系统的设计著名的 系统的方程为：?（），?，?，|（）式中：、为状态变量；和 为系统参数。当参数，时，系统（）处于混沌状态，为了使输出幅度不超过乘法器的电压输出幅度，对系统（）进行缩放后得：?（），?（）（），?（）。|（）在系统初值（，）下，系统（）在 相平面的相图及时间序列图如图 所示。图 系统（）在 平面相图及时序图 （）把系统（）中的第三个方程的非线性项 由变成 后，得另外的 型系统方程为：?
8、（），?（）（），?（），|（）在系统初值（，）下，系统（）在 相平面的相图及时间序列图如图 所示。图 系统（）在 平面相图及时序图 （）山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷 根据系统（）、（）设计电路如图 所示，其中，图中 和 为乘法器，当（）时实现系统（），当（）时，实现系统（）。图 实现系统（）和（）电路图 （）（）根据乘法器的功能及电阻与电容的串联并联特性，由电路的叠加定理得：，（）（），（）。|（）与系统（）、（）对比后得：，。|（）取合适的时间尺度后，选择参数如表 所示。表 图 中电路的参数取值 符号参数取值电阻 电阻 电阻 电阻 电容，电容 电压 混沌系统的电路设计 混沌系
9、统的方程为：?（），?，?。|（）当参数，时，系统（）处于混沌状态，存在一个混沌吸引子，在系统初值（，）下，系统 第 期王忠林，等：基于乘法器的混沌系统设计与实现 （）在 相平面的相图及时间序列图如图 所示。图 系统（）在 平面相图及时序图 （）采用与上述相同的设计方法，设计电路如图 所示，图中、和 为乘法器，参数值如表 所示。图 实现系统（）电路图 （）表 图 中电路的参数取值 符号参数取值，电阻 电阻 电容，电容 电压 图 实物实验图 基于乘法器的混沌系统的实现基于乘法器的混沌系统设计，本文中乘法器采用的是，电阻采用精度为 普通电阻，电容采用瓷片电容，直流电压输入采用电位器对电源电压进行分
10、压获得，电源输入电压为 的开关电源。根据图 所示的电路图，用 软件对混沌系统（）、（）设计的电路进行了仿真，并按表 中元件的参数进行实验验证，图 为实验验证图。系统（）的 相图与时序图仿真与实验对比如图 所示，系统（）的 相图与时序图仿真与 山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷实验对比如图 所示。从图、中可以看出，软件仿真与实验的结果完全相符。图 系统（）的仿真与实验对比图 （）图 系统（）的仿真与实验对比图 （）对于混沌系统（），根据图 所示的电路进行仿真验证，当其他参数取表 中的参数时，随着参数阻值的变化，可以出现不同的动力学行为，其结果如图 所示。当阻值变化时，对应的状态如表 所示
11、。第 期王忠林，等：基于乘法器的混沌系统设计与实现 图 系统（）在不同 的阻值时相图 （）表 图 中电路不同阻值对应系统状态 电阻 状态单周期双周期四周期拟周期单涡卷混沌双涡卷混沌 综上所述，基于乘法器的混沌系统实现，不仅可以实现混沌系统，也可以通过调节电阻来调节混沌系统中的参数，从而实现系统不同的动力学行为。以 混沌系统为例，本文设计方法与文献方法设计的电路，所用元器件的对比情况如表 所示。由表 可以看出，与文献中设计的电路相比，本文所设计的电路的元器件大大减少，从而节约了成本，提高了电路的可靠性。表 电路所用元器件对比 电路乘法器（数量）电容（数量）运算放大（器数量）电阻（数量）文献本文
12、结果与讨论本文中充分挖掘乘法器的功能，利用电阻与电容的串并联特性，只利用乘法器，不使用运算放大器，用一 山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷个电路实现了 个不同的 型混沌系统电路，并实现了具有 个乘法项的 混沌系统，实现了 系统的从单周期、双周期、四周期、多周期、拟周期及单涡卷混沌到双涡卷混沌的不同的动力学行为的转换，与文献的实现方法相比，在不增加新元件的情况下，可以节约元器件 左右，提高电路的可靠性，降低电路的实现成本。本文中提到的设计方法可以适当进行改进或增加少量的元件（如一个运算放大器或乘法器）实现其他的 类混沌系统，如 系统、系统及 系统和 系统以及多维的超混沌系统，但对于非 类系统，如含常数项的 混沌系统，可以先把常数与变量求和再引用乘法器的外加输入端，或利用差分比例电路把常数项引入外加输入端的方法，实现基于乘法器混沌电路的简化。参考文献：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，：，（）：王繁珍，齐国元，陈增强，等 一个新的三维混沌系统的分析、电路实现及同步 物理学报，（）：，（）：闵富红，田恩刚，叶彪明，等 混沌系统模块化电路设计与硬件实验 实验技术与管理，（）：，（）：，（）：，（）：王忠林，姚福安，李祥峰 基于 的一个超混沌系统设计与电路实现 山东大学学报（理学版），（）：，（），（）：，（）：，：，（）：，（）：，：，（）：（编辑：胡春燕）
