1、第 卷第期 年月光学技术 文章编号：（）基于二阶多项式回归和权重主成分分析法的多光谱降维算法研究曹前（上海出版印刷高等专科学校 印刷包装工程系，上海 ）摘要：基于主成分或者权重主成分的多光谱降维方法实现高维多光谱数据和低维空间数据之间相互转换，但低维空间数据含有大量负值，不能和色度空间如 等连接起来，给光谱颜色复制的后续研究带来困扰；建立 三刺激到多光谱数据的转换，在多光谱数据降维到 三刺激值过程中保留更多的颜色信息；通过二阶多项式回归建立 三刺激值与多光谱通过权重主成分降维的得到的三维空间数据对应关系，实现 三刺激值到多光谱数据转换；在不同的训练样本，不同的测试样本时，相对于主成分和权重主成
2、分，推荐的方法在多种照明条件下色度重建精度得到提高，可以较好地应用到多光谱图像的高保真降维和压缩。关键词：多光谱降维算法；二阶多项式回归；主成分分析法；权重主成分分析；光谱颜色复制中图分类号：；文献标识码：（，）：，；，；，；，：；收稿日期：；收到修改稿日期：基金项目：国家新闻出版署“智能与绿色柔版印刷”重点实验室（）作者简介：曹前（），男，讲师，博士，从事颜色科学与技术、光谱颜色复制方面的研究。通讯作者：DOI:10.13741/ki.11-1879/o4.2023.02.015引言基于光谱的颜色再现理论和技术能够获取和再现号称物体“指纹”特征的多光谱信息，在任何照明和观察条件下实现原稿的准
3、确真实再现，从而从根本上避免和消除传统颜色再现系统中存在的“同色异谱”问题。目前，多光谱图像获取，光谱色域映射，显示器的光谱特性化，基于光谱的打印等光谱颜色复制原理和技术成为颜色科学研究热点。但是，用于光谱颜色复制领域的光谱数据超过 颜色管理系统的 倍以上，这些巨大的光谱数据在存储、处理和传递等方面造成很大的负担，花费太多的计算时间。因此，多光谱数据压缩或者多光谱数据维度降低成为光谱颜色复制的一项关键技术。为了提高多光谱数据降维过程中的重建精度，已经有大量数据降维算法应用到高维光谱降维，如主成分分析（，）、压缩感知算法、变换，神经网络等。主成分分析法平等地对待可见光范围的所有波长，重建光谱仅仅
4、是对原始光谱的数学逼近，经常导致光谱误差较小而色差误差较大。为了尽可能减少光谱降维过程中颜色信息的损失，很多研究者提出很多改进型的权重主成分分析法。年 等提出一个基于颜色匹配函数的权重函数的权重主成分多光谱降维算法，相对于主成分光谱降维算法，提高了色度重建精度。后续的研究者受此启发提出 基 于 颜 色 匹 配 函 数，、视 锥 细 胞 响 应 函数 和色差变化，等构建权重主成分多光谱降维方法，色度重建精度得到进一步提高，从而保留了更多的颜色信息，对于基于光谱的颜色复制非常重要。但是，主成分多光谱降维方法和改进型的权重主成分多光谱降维方法得到低维空间数据有大量负值，不能和色度数据如 等连接起来，
5、给光谱颜色复制的后续研究带来困扰。为此，本文提出三刺激值计算公式实现光谱到三刺激值 的降维，利用二阶多项式回归结合权重主成分分析法实现维 三刺激值到高维光谱重建。分别通过权重主成分分析法和 三刺激值计算公式将光谱数据集的维度降低到维，使用二阶多项式回归确定 三刺激值到主成分降维得到的维空间的回归系数，回归后低维空间数据再通过主成分定义的重建公式实现多光谱数据重建。分别 以 孟 塞 尔 颜 色 系 统 、潘 通 色 卡 和张多光谱图像作为测试样本比较本文推荐的方法与主成分和权重主成分的性能。基本理论 主成分分析法（）是多元统计分析中一种经典的线性变换方法，也是最常用的降维算法，现已被广泛应用于信
6、号处理、模式识别、判别分析等诸多领域。高维光谱到低维空间的降维设一组光谱数据集，采样维度是，样本数是，用一个矩阵表示。矩阵的协方差矩阵可表示为（）（）（）式中，表示光谱反射率矩阵的维度方向平均值，表示转置。协方差矩阵是一个的矩阵，其有个特征值和个特征向量，特征向量组成正交矩阵为，特征值组成对角阵为，可表示为 （）将特征值按照从大到小顺序排序，选择前（）个特征值对应的特征向量称为主成分。个主成分形成矩阵。低维空间的投影值可表示为（）（）式中，上标 表示转置。式（）实现高维光谱用低维特征向量空间的投影值表示。低维空间到高维光谱的重建重建光谱可表示为（）权重主成分分析法（）主成分分析法平等地对待可见
7、光范围的所有波长，重建光谱仅仅是对原始光谱的数学逼近，目标是光谱误差最小化，但是，由于不同波长的光谱数据对于色度值影响不同，经常会导致光谱误差较小而颜色色差较大。为了克服这个缺点，主成分分析法应该根据波长对颜色的重要性进行修改，更确切地说，如果光谱数据的某些部分对颜色值不太重要，就可以增加相应的权重来减少这部分光谱对颜色影响。高维光谱数据到低维空间数据的降维定义对角矩阵矩阵，其对角线元素由权重函数（）组成。光谱矩阵在形成协方差矩阵之前乘以矩阵，权重光谱矩阵可以表示为（）权重光谱矩阵的协方差矩阵可以表示为（）（）（）第期曹前：基于二阶多项式回归和权重主成分分析法的多光谱降维算法研究协方差矩阵有个
8、特征值，将特征值按照从大到小顺序排序，选择前（）特征值对应的特征向量组成矩阵，权重光谱数据在低维特性空间的投影值可表示为（）（）式中，表示权重光谱数据矩阵在维度方向的平均值。低维空间到高维光谱的重建重建的光谱数据可以计算得到 （）（）（）式中，（）表示方阵的逆矩阵。二阶多项式回归结合重权主成分的多光谱降维算法（）高维光谱数据到三刺激值 的降维根据色度学三刺激值计算公式，光谱数据集在照明光源（）条件下到三刺激值计算过程为?（）（）?（）（）?（）（）（）式中，表示三刺激值；?（）、?（）和?（）表示颜色匹配函数；表示使照明光源的三刺激值等于 时的常数，可表示为?（）（）（）令?（）（）?（）（）
9、?（）（）（）则式（）可以简化为（）根据式（），选取主成分是维，权重光谱数据集通过权重主成分（）将维度降低到维，令（）三刺激值 到高维光谱的重建建立与之间的二阶多项式回归关系式为（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）令（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）使用训练样本求出二阶多项式回归的系数矩阵，则回归后的
10、投影值命名为，则（，）（，）（，）（）结合式（），重建的光谱反射率为 （）（）（）结合式（）和（）实现三刺激值 到高维光谱的重建。实验与过程 实验数据实验使用 和 两组光谱数据库作为实验数据，分别由 和 个光谱组成，它们的光谱反射率分布和在 色品图上的分布情况分别如图和图所示。孟塞尔颜色系统 是目前世界上最广泛应用的颜色系统。色卡涵盖印刷、纺织、塑胶、绘图、数码科技等领域，成为设计师、制造商、零售商和客户之间色彩交流的国际标准语言。本实验也使用张来自哥伦比亚大学 的多光谱图像作为测试样本，如图所示，它们的分辨率都是 像素，即每张多光谱图像由 个光谱构成。本研究中所有光谱数据和光谱图像均在 至
11、的光谱波长下以 的间隔进行采样，共计 维。评价指标测试样本的原始光谱和重建光谱之间存在误差，该误差主要通过色度精度和光谱精度两个指标来评价。色差用于评估色度重建精度，色差小意味着色度重建精度高。由于色差计算与光源有关，不同的光源计算结果可能差异很大，所以，本文选择白炽灯 光源，日光光源、以光学技术第 卷图 的光谱反射率分布和色品坐标分布图 光谱反射率分布和色品坐标分布（）（）图来自哥伦比亚大学的张多光谱图像及代表荧光的、和 光源来计算测试样本的原始光谱和重建光谱的色差。测试样本的原始光谱和重建光谱的光 谱 重建 精度 通 过 均 方 根 误 差（，）评 价，均 方根误差小表示光谱重建精度高。结
12、果与讨论增加合适的权重函数的多光谱降维算法可以有效提高色度重建精度，而色度重建精度的提高对光谱颜色复制非常重要，为此，本文推荐的 与权重主成分 采用刘士伟等 于 年推荐的权重函数，可表示为（）（）（）（）式中，（），（）和（）分别表示感红、感绿和感蓝三种视锥细胞响应函数。为了评价本文推荐的多光谱降维算法的性能，比较和分析了本文推荐的 与权重主成分 、主成分 在多光谱降维和重建过程中的色度和光谱重建精度。光 谱 数 据 集 为 测 试 样 本 时 与 和 的色度和光谱重建精度对比表统计以 为训练样本，和 分别为测试样本时，本文推荐的方法 与 和 在多种照明光源（、和 ）条件下 色差。表统计以 为
13、训练样本，和 分别为测试样本时，本文推荐的 与 和 在 多 种 照 明 光 源（、和 ）条件下 色差。从表和表可以分析得到，在不同的训练样本，不同的测试样本时，在多种照明光源条件下 色差平均值小于 和 ，即相对于 和 ，本文推荐的 色度重建精度得到提高。表以 为训练样本时推荐的 与 和 在多种照明光源条件下 色差 平均值 第期曹前：基于二阶多项式回归和权重主成分分析法的多光谱降维算法研究表以 为训练样本时推荐的 与 和 在多种照明光源条件下 色差 平均值 表推荐的 与 和 的均方根误差对比 训练样本 表统计分别以 和 为训练样本，和 分别为测试样本时，本文推荐的方法 与 和 的均方根误差（）。
14、从表可以看出，本文推荐的 光谱重建精度与 和 光谱重建精度对比结果受训练样本和测样样本影响，但这三种方法的光谱重建精度相差不是很大。多光谱图像为测试样本时 与 的色度和光谱重建精度对比表统计以 为训练样本，多光谱图像 和 分别为测试样本时，本文推荐的方法 与 和 在多种照明光源（、和 ）观 察 条 件 下 色差。表统计以 为训练样本，多光谱图像 和 分别为测试样本时，本文推荐的方法 与 和 在多种照明光源（、和 ）观察条件下 色差。从表和表可以分析得到，在不同的训练样本，不同的多光谱图像为测试样本 时，在 多 种 照 明 光 源 条 件 下 色差平均值小于 和 ，即相对于 和 ，本文推荐的 色
15、度重建精度得到提高，进一步验证了测试样本时 或者 时的色度重建精度的结论。表以 为训练样本时张多光谱图像为测试样本时推荐的 与 和 在多种照明光源条件下 色差 平均值 光学技术第 卷表以 为训练样本时张多光谱图像为测试样本时推荐的 与 和 在多种照明光源条件下 色差 平均值 表以 和 为训练样本时推荐的 ，和 的均方根误差（）训练样本 表统计分别以 和 为训练样本，多光谱图像 和 分别为测试样本时，本文推荐的 ，的平均均方根误差（）。从表可以看出，本文推荐的 光谱重建精度与 和 光谱重建精度对比结果受训练样本和测样样本影响，但这三种方法的光谱重建精度相差很小。结论为了使高维光谱降维后的低维空间
16、有色度意义以及保留更多的颜色信息，较好地兼容目前广泛使用的 颜色管理系统，本文提出将高维光谱通过三刺激值计算公式直接降维到维三刺激值 ，维 空间到高维光谱的重建通过二阶多项式回归结合权重主成分分析法来实现。结果表明：在不同的训练样本，不同的测试样本时，在多种照明光源观察条件（、）下 色差平均值小于 和，即相对于 和 ，本文推荐的 色度重建精度得到提高。本文推荐的 光谱重建精度与 和 光谱重建精度对比结果受训练样本和测样样本影响，但这三种方法的光谱重建精度相差不大。在多种照明条件下的色度重建精度的提高对于目前光谱颜色复制非常重要，而且，本文推荐的多光谱降维方法直接得到色度值 ，可以直接转换为广泛使用的颜色空间 ，可以较好地应用到多光谱图像的高保真降维和压缩。参考文献：，（）：，（）：，（）：麻祥才，肖颖，钱志伟，等基于视觉特性的 显示器光谱特征化方法包装工程，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，第期曹前：基于二阶多项式回归和权重主成分分析法的多光谱降维算法研究 ，（）：，（）：，（）：何颂华，陈桥，段江基于人眼视觉特性的光谱降维模型研究光谱学与光谱分析，（）：，（）：于海琦，
