1、第 卷 第 期 年 月计 算 物 理 ，文章编号：（）收稿日期：；修回日期：基金项目：国家自然科学基金（）、山东省自然科学基金（）资助项目第一作者：吴国正，男，硕士生，研究方向为计算物理，：通信作者：王发杰，男，博士，副教授，主要从事物理力学建模及仿真研究，：基于物理信息神经网络的内部声场正反问题数值计算吴国正，王发杰，程隋福，张成鑫（青岛大学机电工程学院，山东 青岛；青岛大学多功能材料与结构力学研究院，山东 青岛）摘 要：针对频域内部声场正反问题的数值模拟，建立基于物理信息的神经网络架构。与基于数据驱动的神经网络不同，将声学问题的 方程及其对应的边界条件引入神经网络，所建立的神经网络算法不仅
2、能够反映训练数据样本的分布规律，而且也遵循由偏微分方程描述的物理定律。考虑到频域声学问题中含有复数部分，建立两种网络架构，并进行验证和比较分析。该方法无需网格划分和数值积分等繁琐的数值计算过程，可自由地处理不规则区域和非均匀分布情形。数值实验考察二维和三维复杂几何结构的声学正问题及反问题，结果表明所建立的物理信息神经网络算法具有较高的精确度、收敛性和鲁棒性。关键词：物理信息神经网络；声学问题；方程；正问题；反问题中图分类号：；文献标识码：.引言 在很多工程领域中，都会伴随着声学问题的分析，由于测量技术的限制，部分边界条件或参数可能会出现无法获取的情况，因此声学问题又可被分为声学正问题和声学反问
3、题。例如，已知物体的所有边界条件以及介质参数，求解其内部各点的声压值、声压级等，这类问题称之为声学正问题；当边界条件不能被完全获取时，或介质参数未知时，通过已知的数据反演出介质参数、未知边界数据等，这类问题称之为声学反问题。正问题是一种适定性问题，存在唯一的解，应用在很多领域，求解的方法相对成熟，主要是一些网格类方法；反问题是一种不适定性问题，解不具有唯一性和稳定性，且受测量误差的影响较大。这些正反问题的计算都会随着模型的复杂程度增加和测量数据的误差而变得困难。随着科学技术和计算机技术的快速发展，机器学习已成为人工智能领域的突破性技术之一，并且开始应用在解决复杂的工程问题。由于在实际工程领域，
4、获取足够的样本数据需要很大的成本，因此，需要对机器学习和人工智能做进一步的探索。美国布朗大学 教授团队以及其他学者做了大量的研究，提出了一种新的机器学习算法物理信息神经网络（），方法添加了实际工程中的物理信息约束条件，即拥有神经网络原本强大的学习能力，又降低了样本数据的获取难度，同时为网络的模型提供了可解释性。该方法的核心思想是将求解偏微分方程的问题转化为优化问题，解决了高维偏微分方程求解的计算难题；直接对神经网络的输出进行自动微分，避免由差分格式而引起的不必要的误差；对包含噪声数据的反问题具有较强的鲁棒性，可以有效地解决不适定性反问题，为求解偏微分方程提供了一种新途径。频域声学问题的控制方程
5、为 方程，利用 求解声学问题时仅需测得的边界条件即可准确地预测整个声场的数据信息。的 函数包含控制方程损失项和边界损失项，通过对 函数的优化，获取合适的权重，得到合适的解逼近真实值。针对不同类型的方程，衍生出了很多其他形式的神经网络，例如、等。因 的原理简单，具有较好的灵活性，求解偏微分方程效果好，一些公司已经开发出不同程度的工具包，用来求解简单的实际工程问题，为学者提了极大计 算 物 理第 卷的方便。近几年，虽然 算法发展迅速，但是还需要进一步分析在不同工程领域计算的稳定性、有效性和鲁棒性。本文针对内部声场正反问题的数值模拟，引入 控制方程和边界条件约束，建立一种物理信息神经网络算法。频域声
6、学问题含有实部和虚部，需在复数空间进行分析。为此，构造两种不同的网络架构，通过典型算例验证了算法的有效性和精确度，并与近年来提出的新型局部无网格数值算法进行比较。此外，数值算例考察了算法对规则和不规则区域声学正问题，以及边界信息含有噪声的声学反问题的计算精度、计算效率和稳定性。内声学正反问题的基本理论.声学正问题 声学正问题一般指已知物体的边界条件和介质参数，求解内部任意一点的声压值、声压级等。声学问题的控制方程为 方程，以频域稳态声场问题为例，控制方程为（）（），（）其中，为拉普拉斯算子，为点 处的声压，为波数，为所考虑的内声场区域，表示空间维度。在正问题中波数是已知的，边界上的数据均可通过
7、测量获取，如图（）所示。式（）的边界条件为（），（）（），（）式中 和 分别表示第一类（）和第二类（）边界条件所在的边界，且 ，为单位外法向量，和 分别为边界 和 上的已知数据。图 内部声场正反问题示意图（）正问题；（）反问题 （）；（）.声学反问题 反问题有很多种，包括形状控制反问题、参数控制反问题、初始条件控制反问题、源项控制反问题以及边界控制反问题。以边界控制反问题为例，又称 反问题，正问题中的边界条件可完全获取，而反问题由于各种原因只能获取部分边界条件上的数据，由已知控制方程和部分边界条件，求解其未知边界上的数据或内部区域的数据，示意图如图（）所示。反问题的控制方程和正问题的控制方程相
8、同，如式（）所示，边界条件为（），（）（），（）式中 表示待求模型的部分边界，其上的声压和法向导数均已知。然而，其余部分边界 上的任何信息均未知。内声场分析的物理信息神经网络 一般来说，人工神经网络是一种多层神经网络，包含输入层、隐藏层、输出层。每层由多个神经元组成，第 期吴国正等：基于物理信息神经网络的内部声场正反问题数值计算输入层的每个神经元输入相应的数组，然后与相应的权重相乘并与相应的偏置值相加作为下一层的输入；为了考虑非线性项满足非线性函数的变化，在隐藏层会引入激活函数，传统的激活函数有 函数、双曲正切函数、径向基函数、幂级数函数等。本文选择 函数作为激活函数；最终在输出层输出所需的数
9、值结果。针对声学问题面临的复数运算，构建两种不同的神经网络架构。.第一种物理信息神经网络（）第一种神经网络结构框架如图 所示，将声学问题的空间坐标作为输入，带入到含有一层隐藏层的网络中，同时输出频域声学问题所对应的实部和虚部，并最终构成声压的预测值，声压预测值的精度由 函数以及误差函数的阈值决定。图 中，是由所有权重和偏置组成的向量，表示阈值。图 第一种物理神经网络（）的结构示意图 （）在采用 算法求解时，需构造一个预测值，通过不断地训练使其尽可能地接近真实值，以两个输出单元为例，表示为 （）（），（），（）其中，和 表示输入层单元和隐层单元所在的位置，表示输入单元 到隐层单元 的权重，和 表
10、示隐层单元 到输出的权重，表示隐层单元 的偏差，（）是 函数，表示维度。由式（）可得梯度计算公式为 ，；，（），（），（），（），（）其中，（）。无论是传统的神经网络算法，还是 算法，训练数据的选取对算法的有效性都有一定的影响，而两计 算 物 理第 卷者在训练数据的选取上，最大的不同之处在于 不仅将已知信息的采样点（边界节点）作为训练数据，还需要将未知解的配置点（区域节点）作为训练数据。针对正问题，损失函数被定义为（）（）（）（），（）式中，、和 分别表示内部节点、边界条件和 边界条件所对应的节点。第一项表示损失函数中的物理模型驱动部分，即控制方程的训练配置点，同时第一项为充当惩罚作用的正则化
11、项，保证神经网络在未知解的配置点集合上强制满足控制方程的物理规律约束。第二项和第三项表示损失函数中的数据驱动部分，即通过边界条件（采样点信息）获取的训练数据。该网络的基本思想是使内部节点上的逼近值尽量满足控制方程，使边界节点上的逼近值尽量满足已知边界条件。与正问题不同，反问题中不可测边界上节点处无任何边界信息可以利用。针对不可测边界上的节点，在构造损失函数时，给出了两种方案：第一种方案如式（）所示，强制使不可测边界上节点处的声压满足控制方程的物理规律约束；第二种方案如式（）所示，在构造损失函数时，仅采用已知边界节点和内部区域的配置点。因此，损失函数的形式为 （）（）（）（）（）（），（）（）（
12、）（）（），（）值得注意的是，上述两种不同类型损失函数均包含两部分，第一部分表示物理模型驱动部分（中为第 项和第 项；中为第 项），且为充当惩罚作用的正则化项；第二部分是式（）和（）中的第、第 项，为数据驱动部分。定义了网络中各参数的导数以及损失函数后，可采用一些最优化方法逐步优化参数，使 逐渐逼近真实值。优化方法有最速下降法、共轭梯度法、牛顿法等，本文优化算法采用拟牛顿法（），其优点是具有二阶收敛速度，保证训练的方向始终是下降方向，输出唯一数值。在优化过程中保证矩阵的正定，避免因计算过程中出现的奇异性而造成算法无法进行的问题，该优化方法有效地解决了柯西反问题的不适定性和病态特征。所建立的 算
13、法无需正则化方法，仅以计算区域内部和边界上的节点坐标、边界节点处的已知边界条件作为训练数据，利用优化的思路，达到逼近问题数值解的效果。.第二种物理信息神经网络（）第二种神经网络架构由两个子网络构成，分别输出实部和虚部，耦合形成最终的预测值，其余部分与第一种神经网络架构相同。的结构如图 所示，图中的参数表达与图 相同，只是训练参数数目有所增加。图 第二种物理神经网络（）的结构示意图 （）第 期吴国正等：基于物理信息神经网络的内部声场正反问题数值计算根据图 所示的物理信息神经网络示意图可知，在 中 的结构形式为 （）（）（）（）（）（），（）（）（）（），（）式中，上标 和 分别指第一个和第二个子
14、网络。在 中，预测结果的实部和虚部在两个网络中学习，两个网络互不干扰。值得说明的是，中梯度的计算与 相同，损失函数仍与式（）、（）和（）相同，优化算法仍为 算法。数值算例 为了验证所构建的物理信息神经网络在求解声学正反问题时的准确性和有效性，考虑以下三个数值算例，计算均采用 编制程序实现。为评估数值误差，采用绝对误差（）、最大相对误差（）和均方根误差（），（）（），（）（）（）（），（）（）（），（）其中，（）和（）分别表示计算点 处的数值解和精确解，表示节点总数。在以下算例中，采用物理神经网络算法均包括一个输入层、一个含有 个神经元的隐藏层和一个输出层，训练次数为 次，权重的初始值选用随机数
15、。在反问题的计算中，已知的边界数据往往含有噪声，本文假设含噪声的边界数据为 （），（），（）其中，是噪声水平，为，上的随机数。图 管道声腔模型 .矩形空腔声学正问题 针对如图 所示的长为 、宽为.的矩形声腔结构进行求解，在左端边界给定 边界条件，法向速度.，其他边界均为声学硬边界条件，管道声压的精确解为 （），（）其中，密度 .，声波在空气中的传播速度 ，波数 ，角频率 ，频率 。按照 求解此类问题的前处理过程，首先将模型离散成 个均匀分布的节点，其中边界节点 个，内部节点 个。图 给出了当频率为 时，两种神经网络预测的管道声压分布云图。从图 中可知，两种网络获得的管道各处声压值与实际声压值非
16、常吻合。为了比较两种网络的求解精度，图 给出两种网络的绝对误差分布云图。从图 可以看出，两种网络的逼近效果均较好，且在其他条件相同的情况下，的计算精度比 的计算精度高 到 阶。的求解过程与大部分局部无网格配点法类似，仅需区域和边界离散节点即可。近年来，许多高精度无网格方法被提出并用于声学问题的数值计算，其中局部基本解法（）和广义有限差分法（）是具有代表性的两种方法。为了比较本文所建立的物理神经网络算法与这些无网格方法的计算精度，图 给出了管道底部边界上声压预测值与精确值的比较。可以看出，、均获得了非常精确的数值解。此外，表 列出了各种方法在计算中所产生的最大绝对误差、最大相对误差和均方根误差。可以看出，相较于其他方法，具有最优的计算精度。计算精度最低，这是因为节点数目相对来说较少，可以通过增加节点数目的方式提高其精度，但也会降低计算效率。计 算 物 理第 卷图 矩形声腔内声压分布的准确值与预测值 图 两种神经网络的绝对误差分布 表 相同节点分布下、和 的计算误差 ，方法最大绝对误差最大相对误差均方根误差.二维不规则多联通区域声学反问题 为了进一步验证本文方法在复杂区域上计算结果的准确性
