1、108课程建设教材教法读思达教学法下数学思想的架构以“数学广角植树问题”教学为例福建省莆田市教师进修学院附属小学李志香【摘要】众所周知，数学是一门重要的学科，它涉及各个领域，是所有学科之母，应用广泛。能否养成数学素养，是一个人数学能力发展的衡量标准。在数学能力形成过程中，数学思想起到至关重要的作用。结合余文森教授的“读思达”教学理念，在架构学生数学思想上，可以从解读情境、迁移内化、规范表达等方面着手，让学生会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。【关键词】读思达；小学数学；数学思想；架构；植树问题【中图分类号】G62 【文献标识码】A 【文章编号】209
2、5-9214（2023）05-0108-04【DOI】10.12240/j.issn.2095-9214.2023.05.033随着 义务教育数学课程标准（2022 年版）的颁布，为落实立德树人的根本任务，在小学数学课堂教学中，要特别注重培养学生的核心素养。人教版教材设置的“数学广角”，课堂上应注重数学思想的植入和渗透，而学生需要调动自己的思维方式，感悟数学方法。“数学广角”部分可创新、可设计的范围较大，主要以图片呈现，为架构数学思想、发展核心素养提供了有力的“脚手架”。“植树问题”是义务教育教科书“数学广角”中的一个类型，主要是建立在学生生活经验基础上，让学生从中发现规律，抽象数学模型，再回
3、归生活，运用模型解决问题。笔者就以本课教学设计为例，从以下方面谈谈“数学广角”中数学思想的架构策略。一、解读情境，让学生学会用数学的眼光观察现实世界义务教育数学课程标准（2022 年版）强调“三真”，即真实情境、真实世界、真实问题，通过创设真实情境，增强学生认识真实世界、解决真实问题能力。因此在本课教学中，笔者从生活情境导入，引出概念。通过生活中的间隔现象，使学生认识“间隔”“间隔数”“间隔长”等相关概念，学会从生活中观察、发现并进行联结，引出线段图，构建学生已有知识经验和新知之间的联系。再通过创设学校绿化所要的植树情境：“我校要在一条长 100 米的小路一边每隔 5 米种一棵小树（两端都栽）
4、，一共需要多少棵树苗？”创设这个情境后，笔者并没有直接让学生通过计算得出一共要多少棵树苗，而是分两个层次让学生来解读情境，理解题意。（一）厘清问题，猜测棵数笔者根据出示的例题，引导学生从中提取数学信息并明确各信息的内涵。在学生寻找信息时，发现学生对“小路一边”这个信息发现得比较迟缓，此时也正是培养学生细心审题之时。此后，引导学生进行猜测，让他们根据生活经验大胆猜想棵数，与后续探究形成对比。（二）动手栽树，引发冲突笔者利用希沃课件演示，创设栽树情境。用一109教材教法课程建设条线段表示长 100 米的小路，每隔 5 米栽一棵，请学生上来亲身感受栽树过程。在栽到屏幕不能容纳后，教师适时提问：“怎么
5、办，真要这样一棵一棵栽下去吗？”此时学生各抒己见，觉得路太长，这样演示栽下去比较麻烦，而且 100 米里有 20 个 5 米，太多了，如果路长 1000 米、10000 米，难道要一棵一棵去演示吗？于是，这就引发学生不得不思考如何突破现实栽树的模型，以及如果遇到复杂的问题该怎么办。学生通过思考解决的方法，化繁为简的思想就应运而生了：这 100 米的路太长了，可以先把它换成小数据，研究得出规律，然后再应用到解决大数据的问题上。通过这样解读情境，从生活中挖掘不同的素材原型，对比发现它们的共同点，逐渐抽象出线段图，为后面植树问题的数形结合提供脚手架。在对主问题“棵数与间隔数的关系”探讨中，通过前面设
6、计的现实模拟栽树，感悟“一棵树一个间隔”，为后续学生自主探讨和一一对应思想埋下伏笔。在学生厘清情境的两个层次后，利用读思达模式，提供设计好的导学单（如图 1），在化繁为简思想的基础上，让学生选择自己喜欢的小数据进行探究，并在前置线段图的引导下，尝试自己画出植树示意图并写出算式，给予学生充足的时间进行读思达活动。通过画图算式的对应和对比，思考棵数和间隔数的关系，引导学生自主读图思考表达，为后面植树模型的建立埋下伏笔。这样的数形结合，使学生边借助直观形象，边运用数学符号，结合自己已有知识经验，完成导学单的读、思、达步骤。通过展示不同学生的作品，让他们大胆表达自己的想法，学生成为课堂的主人。教师应放
7、手让学生表达分享，引导学生用完整话表达，让学生经历“猜想棵数体验化繁为简动手探究对比发现建立数学模型”这一过程，渗透一一对应。通过数形结合的数学思想，发现“树”与“间隔数”之间的对应关系，从而建立两端都栽的植树模型，并用于大数据的问题解决上。小学数学教材，不单单是“数学广角”，有相当多的一部分内容涉及“图”。图会直观表示数学信息，会隐藏数学信息。教师应有意识地让学生进行解读情境、读图析图，从图中发现信息、对应信息，学会用数学的眼光观察现实世界，发展数学抽象素养。二、迁移内化，让学生学会用数学的思维思考现实世界刘徽所著的 大概念教学一书中谈道：“深度学习强调在现实世界中创造和运用，运用的过程就是
8、迁移的过程。因此，迁移是把握深度学习内涵的关键词。”因此，迁移是数学学习的一种重要策略、思想、方法。很多学生在课堂学习中，看似学会迁移，其实只是停留在知识的表层，并没有实现高通路迁移。教学中，教师通过精心设计核心问题，把教授的主观愿望转化为学生学习的内在需要，让学生学会用数学的思维思考现实世界，通向深度学习，实现高通路迁移。在本课的教学中，通过先建立“两端都栽的”植树模型，学生已经掌握棵数与间隔数的关系，同时也明白了该如何在线段上表达植树模型，利用“点”和“间隔”之间的关系展示相关数量之间的关系。因此通过类比迁移，既可以考查学生对植树模型（两端都栽）的掌握程度，又可以发散学生对数学知识的拓展，
9、让学生感悟数学知识的前后联系，对比发现异同，最终找出存在的规律（如图 2），类比迁移，自行探究“主问题 2：只种一端、两端都不种时棵数与间隔数的关系”。借助上面“两端都栽”的植树模型经验，从考虑现实情境入手，学生可以比较轻松地实现高图 1110课程建设教材教法通路迁移，达到所要的目的，实现丰富植树模型。学数学，不如学数学化。数学模型是为了以类化的思想，解决更多的数学问题。迁移内化，需要学生用数学的思维思考现实世界，这样学生才能对知识结构有一个系统的升华。在这之间，我们需要借助一些“脚手架”来达到知识的深层次修炼，如对比归纳就是个不错的选择。笔者在教学中运用两次对比归纳，帮助学生建立植树模型。第
10、一次是通过三个不同的小数据探究两端都栽的情况，通过学生作品的创作、展示、对比、交流，发现两端都栽的情况下，棵数比间隔数多 1，从而建立植树问题基本模型。第二次对比是在三种模型都出来后，再次让学生结合黑板板书，对比三种植树类型的异同，引导学生回顾总结。这样的对比归纳，寻找知识之间的内在联系和对应关系，突出植树模型的异同点，为接下来植树模型回归生活的运用提供知识储备。迁移内化，关键是让学生学会用数学的思维思考现实世界，而后根据已有经验进行推理，尽量实现学生的高通路迁移，发展学生数学推理素养。三、规范表达，让学生学会用数学的语言表达现实世界人们常说：“输入是为了更好地输出。”的确，要进行口头表达，需
11、要在内心深处先理解所要表达的内容，然后进行语言的组织，再通过口头语言转化成别人所能听懂的话语。因此，表达的流畅与否，是考量学生综合能力的标准。通过表达，能够激活知识，使知识达到融会贯通。因此，课堂上，教师要给予学生足够的表达时间。从学生的角度来说，表达的过程也是学生互相倾听的过程，有利于营造学习共同体。因此，余文森教授提出的“达”既实际又接地气。在本课的教学中，笔者充分体现了“达”的运用和表现。（一）为学生提供规范表达的“脚手架”学习单学生语言的发展是一个循序渐进的过程，先天的语言敏感度加上后天的语言训练度，才能铸就一个良好的语言表达。在上课过程中，教师没有办法给每个学生一对一指导，因此，课堂
12、中学习单的设计就尤其重要，它可以为学生提供规范表达的模式。如在植树问题的“主问题 1”中，通过阅读、思考、表达实现对学生语言表达的培养，学生通过读图和对自己写的算式进行对比观察，思考图和算式之间的对应关系，从而得出“棵数”与“间隔数”的关系。这里教师没有完全放手让学生毫无目的地思考，而是给了学生思考的“脚手架”，即“我发现棵数与间隔数的关系是什么”，使得学生在思考的时候就有了方向和目的，具有很强的针对性，也为学生进行汇报表达提供了一个模式，使得他们知道该说什么、该从哪里开始说。在读思达教学理念下，规范表达就从设计的学习单开始。（二）为学生提供规范表达的方法模仿说开始学生都有很强的模仿能力。对于
13、大多数学生来说，模仿说是他们积累语言表达的开始。在教学当中，教师应该用规范的叙述语言表达具体问题。如在本课中，当学生汇报完自己选择的小数据后，教师肯定要带领全班同学，结合汇报同学的零碎语言，对两端都栽的植树模型进行统整，也就是利用数形结合，渗透一一对应思想。此时，笔者通过提问质疑，让学生对比刚才展示的作品，思考发现作品之间的共同点。学生带着一双发现的眼睛，很快发现它们的共同点就是都有“除以 5”“+1”。“除以 5”比较好理解，都是求间隔数；对于为什么要“+1”，学生说得大多不够到位、清楚。此时，就需要教师的规范语言进行表达，并把图、式、符号三者统一起来。这里，笔者图 1111教材教法课程建设
14、提供了模仿说样式：“第一棵树栽在端点上，然后隔 5米，栽一棵，再隔 5 米，再栽一棵一直到最后这一棵。像这样，第 1 棵树对着第 1 段，第 2 棵树对着第2段在数学上叫作一一对应。”这样的示范说，明确把一棵树和一个间隔当作一组，这样一一对应一组一组地数下去，因为两端都要栽，所以最后的一棵树是没有间隔的，说明棵数比间隔数多 1，所以要“+1”。如此说理，通俗易懂，又结合示意图和数学符号，学生就会豁然开朗，顿悟到“原来要这样说理”。接着，教师再请个别学生大胆表达，或者同桌互说，把这个口头表述的方式规范化。后续的学生课堂反馈就在教师的引导下逐渐规范，为快速呈现学生的思考过程打下了基础。（三）达到规
15、范表达的最高层次心中有思想义务教育数学课程标准（2022 年版）指出，通过数学的语言，能够在现实生活和其他学科中构建普适的数学模型，表达和解决问题。思想是数学学习的核心，而“数学广角”的内容更多的是对数学思想的渗透。通过读思达活动的融合，本节课向学生融入了不同的数学思想，如化繁为简、数形结合、一一对应、模型思想等，有利于发展学生核心素养。学生在用语言表达、用图画表达、用文字表达时，都应该做到心中有思想，目标明朗化。四、实际应用，走进让学生会应用数学思想解决问题的读思达课堂数学来源于生活又应用于生活。在学生建立了植树模型后，最重要的是让他们会应用。在读思达课堂上，学生对于建构的模型、渗透的数学思
16、想，要达到能够理解应用的程度。因此，在教学设计中，笔者根据本节课的内容要点，设计了三道具有层次、高效的关于模型思想应用的相关习题：（1）用心思考，正确填空。28 门礼炮排成一排，有（）个间隔。一排礼炮有 28 个间隔，共（）门礼炮。一根木头平均锯成 5 段，需要锯（）次。（2）在一条 2千米长的公路两边安装路灯（两端都装），每 50 米安装一盏。问需要多少盏路灯？（3）广场上的大钟5:00时敲响 5 下，8 秒钟敲完。请问相邻两次钟声间隔多少秒？植树问题的模型在现实中有着广泛的应用，本节课笔者做了两方面的工作：一是通过课前导入让学生感受日常生活中的间隔，使学生理解什么是间隔，并告诉学生像生活中的这些事例统称为植树问题；二是设计了 3 道主习题，第 1 道填空题包含关于礼炮的问题（看得见“假”的树）、锯木头问题（不容易看见却能“想象”的树），第 2 道是针对性的练习，第3 道是敲钟问题（看不见却能“听得见”的树）。如此的习题设计，让学生进一步体会现实生活与数学的关系，感悟植树模型在生活中的运用，达到建立模型的目的。综上所述，在“数学广角”的教学中，用读图析图、迁移内化、规范表达、实际应用
