1、带延迟修理的幂过程排队系统更换模型研究贾金泽（河南工学院 管理学院，河南 新乡 ）摘要：假定服务台逐次故障后的维修时间构成随机递增的幂过程，工作时间构成随机递减的幂过程，在服务台每次故障以概率需要延迟修理和延迟修理时间为随机变量的情况下，选取被服务的顾客数为其更换策略，通过幂过程理论建立数学模型，导出了系统长期运行期望效益的解析表达式。最后通过一个数值例子验证了该方法的有效性关键词：排队系统；更换模型；幂过程；可修服务台；延迟修理；期望效益中图分类号：文献标识码：文章编号：（）引言自动化生产线的应用越来越广泛，前期对它的研究大部分都是假定服务台不会失效或是修复如新。近些年来的研究主要通过几何过
2、程理论进行研究。考虑得更客观，基本都是假定服务台“修复非新”的情形。事实上，对于退化可修系统的研究，关键在于选择一个单调随机过程模型，等提出了一个序列过程，等将其称为幂过程，和 提出的几何过程一样具有许多良好的性质。周玉霞等 利用幂过程对退化可修系统的维修更换策略进行了研究，贾积身等 对带延迟修理的相关系统的维修模型进行了研究。本文在上述文献的基础上，对带延迟修理的幂过程排队系统更换模型进行研究，选择被服务的顾客数为其更换策略，应用幂过程理论建立数学模型，求出最优的，使得服务台长期运行期望效益达到最大。为讨论方便，先给出幂过程的定义：定义设，为一个随机过程，的分布函数为（），若存在一个实数，使
3、得过程，的分布函数为（），则称随机过程，为一个幂过程，其中实数称为过程的幂。显然若，幂过程，是随机递减的，相应的幂过程称为递减的幂过程；若，幂过程，是随机递增的，相应的幂过程称为递增的幂过程；若，幂过程，为更新过程。模型假定在文献 的相应假设下，再对模型做出如下假设：假设 服务台故障时能立即被维修，服务台故障时不能立即被维修，且（）（）。第 卷第期 年月河南工学院学报 收稿日期：基金项目：河南省科技攻关项目（）作者简介：贾金泽（），男，河南新乡人，讲师，在读博士，主要从事管理学及系统工程研究。假设表示服务台在第次故障的延迟修理时间，其分布函数为（）（），。并假定，独立同分布。假设为服务台第次故
4、障维修后的剩余寿命，它的分布函数为（），（），其中；为服务台第次故障后的修理时间，它的分布函数为（），且，其中；设相邻两个顾客的到达间隔时间序列，独立、同分布于分布函数（），且 （）。假设，是相互独立的。假设服务台故障后延迟修理期间单位时间内的损失为，单位时间内的经济效益为，服务台在单位时间内的维修费用为，服务台一次更换费用为。策略下的期望效益设（）为在策略下服务台经长期运行的期望效益，由更新报酬定理得（）一个更新周期内的期望效益一个更新周期长度（）设为服务台连续 个顾客服务结束的时刻，则（）为了确定（），需要先考虑随机变量的分布律。由于（），所以有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）设（
5、），（）分别表示随机变量，的分布函数，则（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（这里表示卷积运算）根据条件期望的性质和（）式，得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）所以（）（）（）（）（）（）（）（）从而得到河南工学院学报 年第期（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）这里（）为的概率分布密度。数值例子令，和的分布函数分别为（）（）（），（）（）（）（）（），（）（）（）为了求出（）式，首先用到下面两个引理，其证明分别见文献 和 。引理设随机变量，为独立同分布于参数为常数的指数分布，则的概率密
6、度函数为（）（）（）！（）引理设随机变量，相互独立，且分别服从下列指数分布，（）（），（，）这里（），则的概率密度函数为（）（）（）（）（）由于（，）独立同分布于参数为常数的指数分布，由引理知的分布密度为（）（）（）！（）（）由引理和假设知，的分布密度为（）（）（）（）（）（！）（贾金泽：带延迟修理的幂过程排队系统更换模型研究故随机变量的分布函数为（）（）（！）（）（）（）（）由 （）！可得 （）！，（）（）！（）故（）（）（！）（）（）（）（）！（！）（）！（）（）（！）（）！（）（）！（）！（）（！）（）（）（）由（）（）两式得到（）（）（）（！）（）（）（）（）（！）（）（）（）其中（）
7、（）（）（）（！）（）（）（）！（）（）例如：令 ，则可以通过 进行仿真模拟，所得结果如图所示。河南工学院学报 年第期图 仿真模拟结果由图可以发现，在 时取得极大值，且 （），服务台最优的更换策略为 .讨论（）假定服务台不会失效，这时有，此时（）式变为（）（）（）（）若服务台能够“修复如新”，则。这时（）式变为（）（）（）（）（）（）（）（）其中（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）若服务台故障能够立即维修，则。这时（）式变为（）（）（）（）（）（）（）（）（责任编辑杨文忠）参考文献：曹晋华，程侃服务台可修的 排队系统分析 应用数学学报，（）：，（）：贾积身服务台“修复非新”的排队系统更换模型研究系统工程与电子技术，（）：，“”，（）：贾积身，刘思峰修理工多重休假排队系统的最优控制研究系统工程理论与实践，（）：，贾金泽：带延迟修理的幂过程排队系统更换模型研究 ，：，：，（）：，（）：周玉霞退化系统的幂过程维修模型的最优更换策略的单调性 四川大学学报，（）：贾积身，刘思峰延迟修理的修理工多重休假可修系统更换模型系统工程与电子技术，（）：（），：，：，（，）：，：；河南工学院学报 年第期
