1、第2 1卷第4期2 0 2 3年4月动 力 学 与 控 制 学 报J OUR NA LO FD YNAM I C SAN DC ON T R O LV o l.2 1N o.4A p r.2 0 2 3文章编号:1 6 7 2-6 5 5 3-2 0 2 3-2 1(4)-0 6 7-0 0 9D O I:1 0.6 0 5 2/1 6 7 2-6 5 5 3-2 0 2 3-0 4 5 2 0 2 2-1 1-0 8收到第1稿,2 0 2 3-0 3-0 6收到修改稿.*国家自然科学基金资助项目(5 1 8 0 8 0 8 5),N a t i o n a lN a t u r a lS c
2、 i e n c eF o u n d a t i o no fC h i n a(5 1 8 0 8 0 8 5).通信作者E-m a i l:s u n c s h n u.e d u.c n端部激励相位差对悬索亚谐波共振响应的影响*李聪 孙测世 赵碧航(重庆交通大学 土木工程学院,重庆 4 0 0 0 7 4)摘要 悬索受多个端部激励后可能产生复杂的非线性动力学现象.为研究端部激励相位差对悬索亚谐波响应的影响,建立两端受激励的悬索模型,得到无限维离散运动方程,采用多尺度法研究面内亚谐波共振,并通过数值积分加以验证.文中给出了多激励系统等效激励幅值和响应相位的一般表达式,定性定量分析了面内
3、两两激励的不同组合对响应幅值和相位的影响.结果表明:端部激励相位差对悬索响应幅值的影响以2 为周期变化,关于对称.端部激励间的相位差可以使响应相位在一个名义单激励系统的响应相位基础上发生移动,当激励相位差逐渐由0转变为的同时,相频曲线也非同步地位移了.激励相位差不改变系统的软硬性质,但会影响响应幅值和共振区宽度,且其共振区宽度关于=0对称.关键词 悬索,端部激励,相位差,亚谐波共振,非线性振动中图分类号:O 3 2 2;TH 1 1 3文献标志码:AI n f l u e n c eo fE n dE x c i t a t i o nP h a s eD i f f e r e n c eo
4、 nS u b h a r m o n i cR e s o n a n t o fS u s p e n d e dC a b l e*L iC o n g S u nC e s h i Z h a oB i h a n g(C o l l e g eo fC i v i lE n g i n e e r i n g,C h o n g q i n gJ i a o t o n gU n i v e r s i t y,C h o n g q i n g 4 0 0 0 7 4,C h i n a)A b s t r a c t C o m p l e xn o n l i n e a rd
5、 y n a m i cp h e n o m e n aw i l lo c c u rw h e nt h es u s p e n d e dc a b l ei ss u b j e c t e dt om u l t i p l ep a r a m e t r i c e x c i t a t i o n s.I no r d e r t os t u d y t h e e f f e c t so f p a r a m e t r i c e x c i t a t i o nu n d e rd i f f e r e n t p h a-s e so nt h eh a
6、 r m o n i c r e s p o n s eo f s u s p e n d e dc a b l e,t h em o d e lo fs u s p e n d e dc a b l ew i t hp a r a m e t r i ce x c i t a-t i o na tb o t he n d s i se s t a b l i s h e d,a n dt h e i n f i n i t e-d i m e n s i o n a ld i s c r e t ee q u a t i o n so fm o t i o na r eo b t a i n
7、 e d.T h es u b h a r m o n i c r e s o n a n c e i np l a n e i s s t u d i e db yu s i n g t h em u l t i p l e s c a l e sm e t h o dv e r i f i e db yn u m e r i c a li n t e g r a t i o n.T h eg e n e r a l e x p r e s s i o n so f e q u i v a l e n t e x c i t a t i o na m p l i t u d ea n dr
8、e s p o n s ep h a s eo fm u l t i-e x c i-t a t i o ns y s t e mi sg i v e n,a n dt h ee f f e c t so fd i f f e r e n tc o m b i n a t i o n so f i n-p l a n et w oe x c i t a t i o n so nt h er e-s p o n s ea m p l i t u d e a n dp h a s e a r eq u a l i t a t i v e l ya n a l y z e d.T h e r e s
9、 u l t s s h o wt h a t t h e e f f e c t o fm u l t i-p o i n t e x-c i t a t i o n sp h a s ed i f f e r e n c eo n t h e s u s p e n d e dc a b l e r e s p o n s e a m p l i t u d ev a r i e sw i t h2 a s ap e r i o d i c v a r i a t i o na n d i s s y mm e t r i c a b o u t.T h e s e e x c i t a
10、 t i o n sm a k e t h e r e s p o n s ep h a s eo f t h e s y s t e ms h i f t b a s e do n t h e r e-s p o n s ep h a s eo f t h e s u s p e n d e dc a b l e.Wh e n t h ep h a s ed i f f e r e n c e e x c i t a t i o nb e t w e e n t h e mg r a d u a l l yc h a n-g e s f r o m0t o,t h ep h a s e-f
11、r e q u e n c yc u r v e sa l s os h i f tb y.T h ee x c i t a t i o np h a s ed i f f e r e n c ed o e sn o tc h a n g e t h es o f t a n dh a r dp r o p e r t i e so f t h es y s t e m,b u ta f f e c t st h er e s p o n s ea m p l i t u d ea n dt h ew i d t ho ft h er e s o n a n c er e g i o n,a
12、n dt h ew i d t ho f t h er e s o n a n c er e g i o n i ss y mm e t r i c a l a b o u t=0.K e yw o r d s s u s p e n d e dc a b l e,p a r a m e t r i ce x c i t a t i o n,p h a s ed i f f e r e n c e,s u b h a r m o n i cr e s o n a n c e,n o n l i n e a rv i b r a t i o n动 力 学 与 控 制 学 报2 0 2 3年第2
13、1卷引言悬索受到的激励形式主要是风、雨激励等外激励和桥塔竖向的位移、车辆引起主梁的振动导致索的端部激励.实际上在悬索桥的使用中,悬索必然受到多点多激励,它的非线性响应与激励的幅值、频率、相位和激励方向有关.从索的非线性运动方程出发,悬索两端的端部激励虽不改变其二次和三次非线性项系数,但是会出现在参数激励和强迫振动项中,从而影响索的振动响应性质.悬索在多点多激励作用下可能产生大幅振动和非线性动力特性1-4,较为常见的有超谐波共振5、主参数共振6和主共振7.由于多个端部激励可能具有不同的初始状况,如激励幅值、相位等,所以有必要确定激励相位差对响应的影响.已有相关研究表明:激励相位差不仅能改变悬索的
14、振动模态和幅频响应特性8,而且能加剧与激励频率相近的面内、外模态振动.在任意端部激励组合下,激励相位差不仅可使斜拉索非线性振动出现定量变化,还可改变内共振的表现形式9.E l-A t t a r等1 0分析了考虑初始相位差的悬索在两种垂直/横向支承激励下的非线性响应,发现相位差对幅频曲线有显著影响.Z a g h a r i1 1,1 2等发现最大/最小响应振幅取决于不同激励源之间的相位差.本文研究不同激励组合下的激励相位差对悬索稳态响应幅值和相位的影响.激励与响应的相位关系有助于进一步研究振动控制或能量收集器策略1 3,1 4.在悬索非线性动力学模型中引入上下端两向激励的幅值和相位,通过数值
15、分析,绘制各工况下的幅频曲线和相频曲线,分析在不同端部激励两两组合下的悬索非线性振动特性.1 力学模型1.1 基本假定本文研究了小垂跨比(f=b/l1/8)的悬索结构并建立如图1所示的两端面内激励下悬索的非线性振动模型.悬索的两端锚固都受到水平、竖向端部激励,分别用U(t)、V(t)表示,其中用下标a、b表示左右锚点,激励幅值和相位分别为zs、s(s=1,2,3,4),数字1到4是各个方向激励的激发,假设端部激励的激励频率大小一致,悬索长取l和悬索垂度取b.考虑到悬索振动方向与端部激励方向的一致性,此处需建立局部振动坐标系o-x y,其中坐标原点o为左端锚固点,x为悬索的索向坐标,y为索面内垂
16、直索向下的坐标,另外,各方向对应位移分别用u(x,t)、v(x,t)表示.并且做如下假设:悬索的抗弯刚度、扭转刚度和剪切刚度足够小以至于可以忽略不计;悬索只承受拉力;悬索在振动过程中的轴向应变足够小;只考虑几何非线性,不考虑其他非线性.图1 两端面内激励悬索模型F i g.1 S u s p e n d e dc a b l em o d e lw i t h i n-p l a n e e x c i t a t i o na tb o t he n d s1.2 动力平衡方程鉴于 悬 索 的 几 何 非 线 性 和 两 端 铰 接,根 据H a m i l t o n能量守恒变分原理,可得到悬索拟静态面内非线性动力学平衡方程:m u+cuu-E A u+y v+v 2+w 22=0(1)m v+cvv-H v-E Ay+v()u+y v+v 2+w 22=0(2)式中:上标一点表示对时间t求导,右上一撇表示对x坐标求导;w为面外方向对应位移;m为悬索单位长度质量;cu、cv分别为悬索沿u、v方向上的阻尼系数;H为悬索的水平张力;E为弹性模量;A为悬索横截面面积;y x()=4f x
