1、第40卷第2期2023年3月新疆大学学报（自然科学版）（中英文）Journal of Xinjiang University(Natural Science Edition in Chinese and English)Vol.40,No.2Mar.,2023非定常微极流体方程的速度校正投影方法阿妮柯孜奥斯曼，冯新龙，刘德民(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)摘要：研究了二维和三维非定常微极流体方程的速度校正投影方法 采用一阶和二阶后向差分格式进行时间离散及协调有限元进行空间离散，给出了一阶和二阶时间半离散速度校正投影方法的无条件稳定性和一阶时间半离散格式的误差估计以
2、及相应的全离散格式，证明了一阶全离散格式的无条件稳定性 最后，通过数值算例验证了该方法的有效性关键词：微极流体方程；速度校正投影方法；协调有限元；稳定性分析；误差估计DOI：10.13568/ki.651094.651316.2022.03.22.0002中图分类号：O241文献标识码：A文章编号：2096-7675(2023)02-0150-010引文格式：阿妮柯孜奥斯曼,冯新龙,刘德民.非定常微极流体方程的速度校正投影方法J.新疆大学学报(自然科学版)(中英文),2023,40(2):150-159.英文引文格式：ANIKEZI Aosiman,FENG Xinlong,LIU Demin
3、.Velocity-correction projection method for thetime-dependent micropolar fluid equationsJ.Journal of Xinjiang University(Natural Science Edition in Chineseand English),2023,40(2):150-159.Velocity-Correction Projection Method for the Time-DependentMicropolar Fluid EquationsANIKEZI Aosiman,FENG Xinlong
4、,LIU Demin(School of Mathematics and System Sciences,Xinjiang University,Urumqi Xinjiang 830017,China)Abstract：The velocity-correction projection method for the 2D/3D time-dependent micropolar fluid equationsis considered.In this method,the first-order and second-order backward difference schemes ar
5、e applied for timediscretization and conforming finite element is adopted for spatial discretization.The unconditional stability ofthe first-order and second-order time semi-discrete velocity-correction projection methods are given,and the errorestimation of the first-order semi-discrete scheme is a
6、nalyzed.The stability analysis of the first-order fully discretescheme is also given.Finally,several numerical examples are presented to show the efficiency of the proposedmethod.Key words：micropolar fluid equations;velocity-correction projection method;conforming finite element;stabilityanalysis;er
7、ror estimation0引 言本文考虑了求解非定常微极流体方程的速度校正投影方法,设区域Rd(d=2或3)是具有光滑边界的凸连通区域,非定常微极流体方程为:|ut0u+p=f+2rw,(0,Tu=0,(0,Tjwtc1wc2w+4rw=g+2ru,(0,Tu=0,w=0,(0,Tu=u0,w=w0,0(1)收稿日期：2022-03-22基金项目：国家自然科学基金“铝电解槽中多介质磁流体动力学方程的高效数值方法研究”（12061075）；新疆重点实验室开放课题“两相不可压磁流体动力学方程高效算法研究”（2022D04014）作者简介：阿妮柯孜奥斯曼（1996-），女，硕士生，从事偏微分方程
8、数值解的研究，E-mail:通讯作者：冯新龙（1976-），男，博士，教授，主要从事偏微分方程数值解的研究，E-mail:第2期阿妮柯孜奥斯曼，等：非定常微极流体方程的速度校正投影方法151方程中未知函数是速度u,角速度w,压力p.0是通常的黏度系数,r,c0,ca,cd是与非对称应力张量有关的系数,ca,cd和c0满足不等式c0+cdca0.方程中0=+r,c1=ca+cd,c2=c0+cdca.当空间维数d=2时,速度u=(u1,u2,0),角速度w=(0,0,w3).当d=3时,u=(u1,u2,u3),w=(w1,w2,w3).微极流体在工业和工程中有重要的应用价值,许多学者对其进行了
9、研究.Ortega-Torres等用全离散加罚有限元法证明了速度、压力和角速度的最优误差估计1.Nochetto等提出了微极流体方程的一阶半隐式全离散有限元方法,使速度和角速度解耦求解,并给出了算法的无条件稳定性和最优收敛阶2.Salgado研究了微极流体方程的全离散分步投影有限元方法,在连续性方程中加入grad-div稳定项可以改善质量守恒3.Galdi等研究了微极流体方程弱解的存在唯一性4.非定常微极流体方程数值方法研究的主要困难包括强非线性、无散度限制及多场耦合性等,使得变分问题成为典型的鞍点问题,理论分析和数值离散时速度变量和压力变量需满足inf-sup条件.投影方法在类似于文献5-6
10、所提的偏微分方程数值解中有着广泛的应用,就是把原来的鞍点问题转化成椭圆问题进行求解,从而降低了求解规模并改善了算法稳定性.Jiang等提出了求解非定常微极流体方程的基于压力校正的投影方法并给出了算法的稳定性和误差估计7,第一步先求速度和角速度,第二步是把速度投影到无散度空间.本文在文献8的基础上给出了微极流体方程的速度校正方法,算法的第一步是投影,第二步是校正,第三步求角速度.与文献7的结果相比,速度校正方法是一种全解耦的方法,它不需要压力初值,也不需要速度和压力满足inf-sup条件910,并推广到了非齐次Dirichlet边界条件.1预备知识这里引入一般的标量Sobolev空间Hm()(m
11、=0,1,2)和向量Sobolev空间Hm()d,在不引起混淆的情形下记它们的范数为kkm.特别的,当m=0时,令L2()=H0()和L2()d=H0()d,对应的内积和范数为(,),kk,记:X=H10()d=v H1()d,v|=0,M=L20()=q L2(),qdx=0,W=H10()d,V=v X,v=0,H=v L2()d,v=0,vn|=0.对于时间相关的序列ini=0,引入以下一阶和二阶后向差分格式:ti+1=i+1i,2ti+1=i+12i+i1,以及如下关系:(w,u)=(w,u)u,wX,kuk2=kuk2+kuk2uX,kuk2kuk2uX.为了方便讨论,设初值和右端项
12、满足如下正则性:u0H2()dV,w0H2()dX,f,g L(0,T;L2()d)L2(0,T;H1()d).引理111在上述假设下,方程(1)的弱解满足如下正则性:|supt0,Tku(,t)k2+kw(,t)k2+kut(,t)k+kwt(,t)k+kp(,t)kcT0kut(,t)k2dt+T0kwt(,t)k2dtc(2)这里c是一个正常数,它依赖于u0,w0,f,g.进一步引入离散Gronwall引理.引理212设yn,hn,gn和fn是非负序列,对m=0,1,N=T/t,成立:ym+tmn=0hnB+tmn=0(gnyn+fn),tmn=0gnK,152新疆大学学报（自然科学版）
13、（中英文）2023年假设tgn1,令=max0nT/k(1tgn)1.则成立:ym+tmn=0hneK(B+tmn=0fn),0mN.2时间半离散速度校正方法2.1一阶时间半离散速度校正方法步骤1:求uk+1,pk+1满足:|uk+1?ukt0?uk+pk+1=fk+1+2rwkuk+1=0uk+1n|=0(3)步骤2:求?uk+1满足:?uk+1uk+1t0(?uk+1?uk)=0?uk+1|=0(4)式(4)也可以改写为:?uk+10t?uk+1=uk+10t?uk?uk+1|=0(5)步骤3:求wk+1满足:jwk+1wktc1wk+1c2wk+1+4rwk+1=gk+1+2r?uk+1
14、wk+1|=0(6)下面,考虑一阶时间半离散速度校正方法的稳定性.定理1(稳定性).设(uk+1,pk+1;?uk+1,wk+1)是上述算法的精确解,这里0mN,则:kumk2+t2k?umk2+(j+4rt)kwmk2+m1k=0(kuk+1?ukk2+jkwk+1wkk2)+tm1k=0(tk?uk+1k2+0k?uk+1k2+c1kwk+1k2+c2kwk+1k2)k?u0k2+(j+4rt)kw0k2+Ckfk2L(L2)+Cc1kgk+1k2L(L2).证明 用2tuk+1与式(3)作内积,式(5)的两边与自身作内积,得到:kuk+1k2k?ukk2+kuk+1?ukk220t(?u
15、k,uk+1)=2t(fk+1,uk+1)+4rt(wk,uk+1)(7)k?uk+1k2+02t2k?uk+1k2+20tk?uk+1k2=kuk+1k2+02t2k?ukk220t(uk+1,?uk)(8)式(7)和式(8)相加,得到:k?uk+1k2k?ukk2+kuk+1?ukk2+20tk?uk+1k2+02t2(k?uk+1k2k?ukk2)=2t(fk+1,uk+1)+4rt(wk,uk+1)(9)进一步估计:2t(fk+1,uk+1)2tkfk+1kkuk+1ktkuk+1k2+Ctkfk+1k2,4rt(wk,uk+1)4rtkwkkkuk+1k4rtkwkk2+rtkuk+
16、1k2.取2twk+1与式(6)的内积,得到:jkwk+1k2jkwkk2+jkwk+1wkk2+2c1tkwk+1k2+2c2tkwk+1k2+8rtkwk+1k2=4rt(?uk+1,wk+1)+2t(gk+1,wk+1)(10)第2期阿妮柯孜奥斯曼，等：非定常微极流体方程的速度校正投影方法153下面估计式(10)右边的项:4rt(?uk+1,wk+1)4rtk?uk+1kkwk+1k4rtkwk+1k2+rtk?uk+1k2,2t(gk+1,wk+1)2tkgk+1kkwk+1kc1tkwk+1k2+tc1kgk+1k2.将上述估计代入式(10),并把式(9)和式(10)相加,则有:k?uk+1k2k?ukk2+kuk+1?ukk2+2t2(k?uk+1k2)+t0k?uk+1k2+(j+4rt)kwk+1k2(j+4rt)kwkk2+c1tkwk+1k2+c2tkwk+1k2+jkwk+1wkk20tkuk+1k2Ctkfk+1k2+tc1kgk+1k2(11)当k=0,1,m1时,对上面的不等求和并用离散形式的Gronwall引理,则结论成立.为了进行收敛性分析,引入以下符号
