1、高中数学建模教学中的模型反思策略 以“停车距离问题”为例黄丽纯 杨 坦(华南师范大学数学科学学院 5 1 0 6 3 1)1 引言为了培养学生的创新精神和实践能力,使教育更好地满足社会经济发展和国家对人才培养的要求,我国越来越重视对综合实践、课题学习、数学探究、数学建模这些课程的探索和落实,在课标中提出了多项重要举措,促进了教、学和评价的变革.普通高中数学课程标准(2 0 1 7年版)(下面简称“2 0 1 7版课标”)1将“数学建模”列为六大数学学科核心素养之一,同时将“数学建模活动与数学探究活动”作为高中数学课程的四条主线之一,要求把数学建模理念贯穿在整个高中数学教育的始终,对数学建模教学
2、产生了重大影响,鼓励着广大教育研究者和一线教师对数学建模教学的实践做出创造性探索.然而,在数学建模教学中,许多案例重点关注从现实情境到建模求解的过程,但对于模型是否合理、能否应用到现实情境没有特别重视.本文依据七阶段建模流程框架,以停车距离问题为例,展示了案例求解的关键思维过程以及从实际应用、假设变化、情境变式三个角度切入的模型反思过程,以期为突破中学数学建模反思教学的困境提供教学参考.2 理论基础2.1 开展模型反思的理论基础数学建模联结了现实的数学和抽象形式化的数学2,是运用数学的思想、方法和知识构建数学模型解决现实问题的过程.关于数学建模的具体流程,B l u m等人给出了当今国际上流传
3、较广的七阶段建模流程框架3.以此为依据,数学建模的过程一般包括:(1)理解现实情境,构造情境模型来描述现实情境;(2)简化或结构化情境模型,提炼相关目标;(3)从现实的模型中提出数学问题、将现实中的量和关系数学化;(4)运用数学知识求解数学模型,获得数学结果;(5)依据现实情境解读数学结果,得到现实结果;(6)根据具体情境检验结果,验证模型的合理性;(7)将建模结论、模型等应用到现实情境中.在阶段(3)中,为了便于建立数学模型,会做出若干假设来抽象和简化问题,但这些假设在现实情境中可能并不都成立,进而导致所建立的数学模型具有局限性.因此,在阶段(4)获得数学结果后,仍需理性地对建模过程进行总结
4、与反思,促进对现实问题的有效解决、提高所得模型的适应性和应用性.所以模型反思是深刻理解数学建模思维、提高科学素养和有效解决现实问题必不可少的重要探究环节.综合已有研究,模型反思可定义为:在现实情境下,开展对建模过程的调控,以及对模型结果的检验、评价、比较、改进和推广,使模型更具适应性和应用性的过程.模型反思主要发生在七阶段建模流程框架的阶段(5)至阶段(7)中.2.2 模型反思的现状、困境及原因一直以来建模过程中的“检验”与“应用”步骤在我国数学课标中未得到充分的重视4.针对建模活动中的模型反思,一方面,从教学实践的过程和若干实证调查的结果反映出:我国中学生在较为复杂的现实问题情境中难以提炼现
5、实模型和数742 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报 基金项目:国家教育考试科研规划2 0 2 1年度重点课题 面向教考衔接的新时代高考数学内容改革研究(G J K 2 0 2 1 0 0 2).本文通讯作者E m a i l:f l i n g_y a n g 1 6 3.c o m.学模型,在建模完成后很少能考虑其他可能的模型假设,模型反思能力较差5.另一方面,从近年来关于数学建模教学设计与实践的研究论文中可以发现:众多一线教师将模型评价与反思的重点放在了分析与比较不同模型的求解方法及数学表达式中,缺少讨论模型中假设的合理性、评价模型结果的应用性,更缺少在不同的现实情境中解读模型结
6、果这一过程.这对于教师指导学生深刻认识模型结构、理解模型的稳定性和应用性、培养学生的数学建模思维是很不足的.出现上述问题的原因在于:(1)部分教师对数学建模教学的定位有偏差,在数学建模课上偏重于知识性讲解,缺少对解决现实问题情境的关注.(2)个别教师对建模认识不足,教学设计缺少对学生的反应和可能遇到的困难的预判及其应对方案.为了使教学过程可控,教师会代替学生完成简化问题、界定概念、模型假设等过程,留给学生自主探究与反思的空间少.(3)学生欠缺对现实情境和相关目标的分析能力,以及对模型、公式、结果等建模过程的调控能力,反思意识不强.3 案例呈现“停车 距 离 问 题”选 自2 0 1 7版 课
7、标1 1 6-1 1 9页的案例7,开展此数学建模活动的目的在于使学生经历从现实问题中确定变量、探寻关系、建立模型、计算系数、分析结论的全过程,形成和发展数学建模素养.针对当前高中课堂中开展模型反思教学的困难和挑战,下面侧重于对现实情境的分析和对求解目标的剖析,介绍该案例求解中阶段(1)至阶段(4)的关键思维过程.3.1 理解现实情境为引导学生用数学的眼光找到合适的研究对象,可 选 用 以 下 方 式 引 入 本 案 例 的 现 实 情境:(1)播放追尾交通事故的新闻视频,思考司机如何才能避免追尾事故;(2)介绍我国相关的法律、法规,如 道路交 通安全法实 施条 例 第 六十条、第八十条,道路
8、交通安全法 第六十八条等,思考它们的制定依据;(3)呈现驾校培训班给出的“一车准则”和“两秒准则”等实践准则,思考如何评估这些准则的合理性.从现实情境中抽象出要解决的具体问题是:根据现实背景,建立车辆紧急刹车时的停车距离模型,并根据模型结果,为行车安全提出建议.3.2 提炼相关目标首先对情境中的核心概念进行界定,停车距离定义为正在行驶的车辆从司机观察到危险信号开始至车辆通过刹车停稳时车辆行驶过的距离.对上述过程进行分析,结合日常生活经验,不难将该过程分解为从司机观察到危险信号至做出刹车动作的反应过程,以及从刹车系统开始工作至车辆减速至静止的刹车过程.这两个过程中车辆的运动状态是不同的,前一阶段
9、没有刹车痕迹.如图1所示,得到基本关系:车辆的停车距离为反应距离d1(单位:m)与刹车距离d2(单位:m)之和.建模目标为建立停车距离与决定停车距离的变量之间的函数关系,为提出行车安全建议提供依据.图1 车辆停车距离示意图3.3 数学化为了建立停车距离模型,需要识别该过程中的相关因素并进行自变量、因变量和参数的划分.停车距离显然是因变量,影响它的因素主要分为反映车辆状态的车速、质量、工况和轮胎状态等因素,反映司机状态的精神状态、反应速度和刹车习惯等因素,以及反映道路状态的路面材质、湿滑程度和能见度等因素.现实情境中这三大类因素千变万化,全部都取作变量会使得建模过程无从下手.为了简化问题,先考虑
10、将影响停车距离最重要的车速和车重作为模型的自变量,而让其他因素作为参数取为一般情况下的平均值.综上作如下假设:车辆没有超载,轮胎状况、司机状态和天气状况都良好,视野良好,车辆在平直道路上行驶,车辆紧急制动即司机一脚把刹车踩到底,刹车过程中车辆没有转向等.在现实情境中,上述假设往往并不都同时成立.因此,在完成模型求解84数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期 在正常驾驶条件下,对前后车辆之间车距的要求为每增加1 0英里(1 6公里)的速率需要增加一辆车的长度的行车间距.不论后车车速为多少,当前车刚刚驶过一个高速公路上的标记时,后车司机默数“一千零一,一千零二”(用英文读完就是两秒).如果
11、在默数完这句话前后车就到达了该标记处,说明后车与前车之间的行车间距过小.后,仍需结合现实情境对所作的模型假设进行反思,讨论在不同情境下如何修改模型以适用于实际情况,如本文第4节所展示的问题3至7.将车 辆 看 作 一 个 整 体,记 车 辆 的 质 量 为m(单位:k g),轮胎与路面的摩擦系数为,刹车前车辆的速度为v(单位:k m/h).采用分治法的思想将停车距离模型分解为反应距离子模型和刹车距离子模型,分别根据物理理论进行机理分析.在反应距离的建模中,司机从发现前方的危险信号到踩下刹车踏板需要反应时间t(单位:s),它与司机的视野、注意力和反应速度有关.正常情况下,反应时间通常很短,所以可
12、以近似而合理地假设车辆在这一过程中仍做速度为v的匀速直线运动,得到反应距离子模型为d1=v3.6t=k1v.在刹车距离的建模中,要注意车辆运动状态的改变实质是由它与路面的摩擦力引起的,刹车过程是一个通过摩擦力做功将车辆的动能转化为热能的能量守恒过程.其中的难点在于,根据司机踩下刹车踏板力度的不同,摩擦力会在一个很大的范围内变动.幸而车辆与地面的摩擦力是有上限的,因此在司机一脚把刹车踩到底这一关键假设下,模型得到的是最小刹车距离.这个假设对整个建模过程至关重要,但实际教学中它的意义和作用往往被师生所忽略.只有理解了这个假设,才能够有效地将模型应用至其他情境中,如本文第4节所展示的问题1 0.于是
13、,根据物理学原理,最大摩擦力F=m g=m a.又由能量守恒原理,m g d2=12mv3.6()2,得到刹车距离子模型为d2=12gv3.6()2=k2v2.综合两个子模型得到完整的停车距离模型为d=k1v+k2v2,记为模型1.停车距离在假设成立时与车辆的质量无关,是车速v的二次函数.3.4 求解数学模型用机理分析建立模型的结构后,需要运用数学知识以及借助必要的数学软件以求解数学模型、获得数学结果.模型中的系数k1与司机的反应时间呈正比,k2与轮胎和地面间的摩擦系数呈反比,要获得特定情境下系数k1,k2的取值可以通过试验收集数据来确定.考虑到时间成本和费用成本,通常采用美国国家公路局提供的
14、停车距离试验数据(见2 0 1 7版课标)进行拟合,可以得到对应该试验条件下模型1的具体表达式为d=0.2 1v+0.0 0 6v2,记为模型2;再将试验数据与模型2得到的理论值进行比较,可以检验模型2与试验数据的吻合程度.需要注意的是,模型2能否适用于其他情境,要根据情境中的条件和美国国家公路局的试验条件是否一致来判定.4 模型反思策略探究纵观介绍本案例以及类似案例的教研论文,教师往往根据设定好的假设,围绕数据拟合方法与函数性质开展讨论,注重知识教学而忽略应用教学,缺少从整体上对建模过程进行总结与反思.下面基于对长达两年的高中数学建模选修课的教学实践经验的总结,展示从三个不同角度切入的模型反
15、思策略及示例,为一线教学实践提供方法的借鉴.4.1 对模型实际应用的反思如3.4节所示,借助试验数据进行拟合与验证,就可以得到停车距离模型的具体形式.接下来要回到实际情境中,分析和思考建立的模型是否能够在现实中有效地解决相关的问题.因为数学上的解并不一定也是实践中执行者可操作的解,这就需要将数学世界的模型结果翻译为现实世界中有效和可行的操作方案,这个转换是区别建模问题和有建模背景的应用题的标志性过程.基于数学建模的这个特点,对模型的评价不应停留在分析模型结果与试验数据的误差大小上,更应关注模型的应用.基于此,对应七阶段建模流程框架中的阶段(5),在获得数学结果后,教师可以引导学生回归现实情境,
16、从模型的适用范围、模型结果的不同表征形式等方面来解读数学结果,对模型的实际应用进行反思,从而得到模型的现实结果.示例如下.问题1 在避免追尾的情境中,模型给出的停车距离是否为最小的安全行车距离?分析这一问题首先要明确行车距离的含义.记行车距离为d0(单位:m),它应指同一车道上以相同车速同向行驶的相邻两车,后车车头与前车车尾之间的距离.若后车与前车车距大于安全行车距离,则当前后车辆相继紧急刹车时,后车不会与前车发生碰撞.回顾3.2节的分析过程,模942 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报型1中研究的停车距离指从司机观察到危险信号(本情境中指前车亮起刹车灯)至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离,并未考虑前后车辆之间的影响.在现实情境中,前车亮起刹车灯后的运动状态可分为两种情况,一是前车继续向前运动经历完整的刹车过程后停止,二是前车在发出刹车信号时瞬间停止.情况一中,若两车长度相同且行车距离等于当前车速下的停车距离,则后车经历刹车过程停止时,后车车头与前车车尾的距离为前车刹车距离,如图2(a)所示.理论上这种情况下前后车距只要大于反应距离,两车停止时车辆的位置便不会产生冲突,即d0
