1、从 空间到 型空间的 算子郭志涛（河南工学院 理学部，河南 新乡 ）摘要：给出了单位圆盘上从 空间到 型空间的 算子为有界算子和紧算子的充分必要条件，并估计其本质范数。关键词：算子；有界性；紧性；本质范数中图分类号：文献标识码：文章编号：（）引言设为复平面上的开单位圆盘，即：，（）为上的解析函数空间，（）为上的解析自映射族，表示正整数集。设，型空间由满足（）（）（）（）的所有（）组成，其中（）（）是规范化的 面积测度。在范数 下，是一个 空间。如果，则称属于 空间，记作。最近，空间在文献 中被首次研究。如果为上的严格正的连续函数，则称为一个权；对于任意的，若有（）（），则称为径向函数。设为一个
2、径向权，型空间由满足（）（）（）的所有（）组成。在范数 下，是一个 空间。当（）时，我们得到经典 空间。关于 型空间及其上的算子的研究，可参看文献。最近，等人在文献 中引入以下算子（，）（）（）（）（）（），（）其中、（），（）。我们称，为 算子，通过取特殊的及，可以得到常见的算子，如复合算子、乘法算子、微分算子以及它们的乘积。近来，对 算子的研究备受关注。如，作者在文献 中研究了，从加权 空间到（小）型空间的度量有界性和度量紧性；和 在文献 中刻画了，从 空间到 型空间的有界性和紧性；等人在文献 中给出了，从 空间到 空间成为有界算子和紧算子的等价条件。更多相关的研究可参看文献，。第 卷第期
3、 年月河南工学院学报 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）；河南工学院高层次人才科研启动基金（）作者简介：郭志涛（），男，河南濮阳人，讲师，博士，主要从事泛函分析的研究。受此启发，本文研究 算子，：的有界性、紧性及其本质范数。在本文中，对于两个非负的量和，符号表示存在一个正常数使得，若同时成立，则记作。预备引理为了证明我们的结论，需要以下引理。利用文献 中的引理，可得到下述关于中函数的增长估计。引理设，则对于任何，有 以及（）（），（）（）（）（）（）（）（）因此 （）（）（）（）（）（）此外，利用，我们有 （）（）（）（）（）（）（）总之，。类似地，对于任意取定的，构造函数（）（）（
4、）（）（）（）（）（）（）容易验证（），并且直接计算可得（）（），（）（）（）（）再利用算子，：的有界性可得 ，（）（，）（）（）（）（）（）（）（）因此 （）（）（）（）（）（）此外，利用，我们有 （）（）（）（）（）（）（）（）总之，。反之，假设、成立且，即：（）（）。由引理，对于任意的，有（）（，）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）另外（，）（）（）（）（）（）（）（）（）综合以上两式可知，：是有界算子。下面我们估计，：的本质范数。回顾本质范数的定义：对于两个 空间和，有界线性算子：的本质范数为其到所有紧算子：所成集合
5、的距离，即 ，河南工学院学报 年第期定理设，为一个径向权，、（），（）。假设算子，：是有界的，则，其中：（）（）（）（）（）（）：（）（）（）（）（）（）证明：首先，我们证明，。设且当 时（）。定义以下两个函数列：（）（）（）（）（）（）（）（）（）和（）（）（）（）（）（）（）（）（）由定理的证明可知，和都属于，且（）（），（）（）（）（）（），（）（）（）（）此外，容易看出和均在的紧子集上一致收敛于。利用引理，对于任意的紧算子：，我们有，（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）由此可得，（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）并且，（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）
6、（）（）因此，有，。接下来，我们证明，。设，），定义算子为（）（）（）（），（）显然在上是紧算子，并且 。此外，当时，在的紧子集上一致收敛于。设（，）且当时。则对于任意的，算子，：是紧的，故，因此，要完成定理的证明，我们只需要验证郭志涛：从 空间到 型空间的 算子 ，由 估计可知，对于任意的非负整数，当时，都有（）（）在 的紧子集上一致收敛于。对于任意的且 ，我们有（，）（，）（）（）（，）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中为充分大的正整数使得对于所有的都有。注意到算子，：是有
7、界的，且（）和：（）都是的紧子集，由定理可得 再根据引理得到 （）（）最后，对于和，应用引理，我们有 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）在以上两式中取 分别可得 和 。因此，我们有 ，综合上述讨论可得，。根据定理以及算子本质范数的定义，可知下述定理成立。定理设，为一个径向权，、（），（）。假设算子，：是有界的，则，：为紧算子的充分必要条件是 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。（责任编辑吕春红）参考文献：，：，（）：，河南工学院学报 年第期 ，（）：，：，：，（）：，（，），（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（，）：，：；郭志涛：从 空间到 型空间的 算子
