1、基金项目:国家自然科学基金(12002383)收稿日期:2021-06-22 修回日期:2021-07-06 第 40 卷 第 4 期计 算 机 仿 真2023 年 4 月 文章编号:1006-9348(2023)04-0078-05航天器接近高斯混合模型固定时间控制方法朱效洲1,王 祎2(1.军事科学院国防科技创新研究院,北京 100071;2.南京电子技术研究所,江苏 南京 210039)摘要:为解决有限时间内复杂外形目标航天器的安全接近问题,提出一种高斯混合模型固定时间控制方法。方法提出一种基于高斯混合模型的势函数,并将其与固定时间控制相结合,高斯混合模型可使用有限个高斯概率密度函数加权
2、和对复杂外形进行建模,固定时间控制可确保与初始状态无关的收敛时间。李雅普诺夫稳定性分析证明了方法的稳定性。仿真结果表明,所提方法可使任务航天器不受初始状态影响,在有限时间内安全接近复杂外形目标航天器。关键词:航天器接近;高斯混合模型;固定时间控制;仿真中图分类号:V448 文献标识码:BSafe Spacecraft Proximity with Gaussian Mixture ModelBased Fixed-Time ControlZHU Xiao-zhou1,WANG Yi2(1.National Innovation Institute of Defense Technology,C
3、hinese Academy of Military Sciences,Beijing 100071,China;2.Nanjing Institute of Electronic Technology,Nanjing Jiangsu 210039,China)ABSTRACT:This paper addresses the safe proximity of mission spacecraft with complex-shaped target spacecraft inconditions of obstacle avoidance and finite time.A novel G
4、aussian Mixture Model based fixed-time control(GMM-FTC)method was proposed by combining a GMM-based potential function with a fixed time controller.Then,theLyapunov-based analysis proved the stability of the method.Finally,numerical simulation was performed to validatethe effectiveness of the propos
5、ed method.KEYWORDS:Spacecraft proximity;Gaussian mixture model;Fixed-time control;Simulation1 引言近年来,以在轨维护等为背景的航天器近距离接近成为航天器协同控制领域研究的热点。任务航天器在对故障航天器进行在轨维护时,既要能够在指定时间内接近目标,又要避免与目标发生碰撞。接近目标所需时间,即协同控制的收敛速率,是控制系统设计时需考虑的主要因素之一。文献1,2等可在有限时间内实现控制系统收敛,但对调节时间的估计依赖于系统初始状态,极大地限制了其应用范围。固定时间控制(Fixed-time control,
6、FTC)3可确保系统收敛时间与初始状态无关,但无法解决状态约束问题。接近过程中的碰撞避免,即协同控制的安全性,是控制系统设计时需考虑的另外一个主要因素。同时,避撞问题也是一种典型的状态约束问题。文献4,5等将避撞问题转化为带约束的优化问题,使用优化算法设计轨迹,但过高的计算量限制了其应用。为降低计算代价,人工势函数(ArtificialPotential Function,APF)6方法被广泛使用,解决了简单外形目标的避撞问题7,8。然而,复杂外形目标的避撞问题仍需解决。为解决有限时间内复杂外形目标航天器的安全接近问题,本文提出一种高斯混合模型固定时间控制(GaussianMixture Mo
7、del based Fixed-time control,GMM-FTC)方法。2 航天器相对运动动力学模型本文使用 LVLH 坐标系(Local-vertical-local-horizontal)描述航天器相对运动。假设任务航天器在该坐标系中相对87于目标航天器的位置和速度分别用 r=x,y,zT、?r=?x,?y,?zT表示,状态向量用 X=rT,?rTT表示,作用在其上的控制加速度用 u=ux,uy,uzT表示;表示地球引力常数;目标航天器真近点角用 f 表示,与地球间相对距离用 rc表示,半长轴和偏心率分别用 a 和 e 表示,角速度和角加速度分别用和表示=(1+ecos f)2(1
8、-e2)32a3(1)=2(1+ecos f)3esin fa3(1-e2)32(2)则任意椭圆轨道上,非线性相对运动的状态转移矩阵9,10可描述为X=AX+Bu(3)其中A=0001000000100000012+2r3m0020-2-r3m0-20000-r3m000|(4)B=000100000010000001|T(5)3 高斯混合模型固定时间控制3.1 复杂外形目标航天器建模假设复杂外形目标航天器表面有 N 个采样点组成的点云=Zi=xi,yi,ziT,使用高斯混合模型对其进行表示,则某采样点 Zi满足p(Zi|)=Kj=1jN(Zi|j,j)(6)其中,K 为高斯混合模型中高斯分量
9、的个数;=j=(j,j,j)j=1,2,K()为高斯混合模型参数集,j为权值且满 足Kj=1j=1,j为均值,j为对称协方差矩阵;N()是高斯概率密 度函数,定义为N(Zi|j,j)=12|j|1/2e-12(Zi-j)T-1j(Zi-j)(7)为获取复杂外形目标航天器表面采样点云的高斯混合模型,首先使用 K 均值算法11进行聚类,确定点云的 K 个初始聚类中心,随后使用 Expectation-Maximization(EM)算法12迭代对参数集 进行估计。3.2 固定时间控制考虑 航 天 器 接 近 的 需 求,期 望 状 态 向 量 Xf=xfyfzf000T,状态误差 e=X-Xf,则
10、由式(3)可得?e=Ae+Bu+AXf=Ae+Bu=Ae+B(u+uf)(8)其中uf=2+2r3m|xf+yf-xf+2-r3m|yf-r3mzf|T(9)令 y1=x-xfy-yfz-zfT、y2=?x-0?y-0?z-0T,则式(8)可写为?y1=A11y1+A12y2?y2=A21y1+A22y2+A23u(10)其中A11=000000000|,A12=100010001|A21=2+2r3m0-2-r3m000-r3m|,A22=020-200000|A23=100010001|在此基础上,使用固定时间控制 FTC3来确保调节时间,控制参数、和 以及相应系数计算如下p1(q)=1,
11、p2(q)=3+q(11)其 中 q=1e-1,1=1.1,2=0.1+p2(q)/,1=2=qp22(q)/2。非线性坐标变换 sFTC定义为sFTC-i=yi+FTC-i,(i=1,2)(12)其中FTC-1=0FTC-2=1y1+1y31(13)由式(12)和(13)可知,式(10)等价于?sFTC-1=-1sFTC-1-1s3FTC-1+A12sFTC-2?sFTC-2=FTC(y1,y2)+A23u(14)其中(y1,y2)=A21y1+A22y2+1+31y21(1)0001+31y21(2)0001+31y21(3)|y2(15)yi(j)(i=1,2)是 yi(i=1,2)的第
12、 j 个元素。切换面渐进律定义为1397SFTC-2=-2i=1if(SFTC-2,i)(16)其 中1=diag111213()R33、2=diag212223()R33是正定矩阵,011,12,SFTC-2(j)是 SFTC-2的第 j 个元素,函数 f(SFTC-2,i),(i=1,2)定义为|SFTC-2(1)|i|SFTC-2(2)|i|SFTC-2(3)|iT(17)其中|表示绝对值。因此,FTC 的控制律为uFTC=-2i=1if(SFTC-2,i)-(y1,y2)uFTC=uFTC-ud(18)3.3 基于高斯混合模型的固定时间控制基于对复杂外形目标航天器的建模,本文在传统人工
13、势函数 APF6基础上,提出一种新的基于高斯混合函数的势函数=12(r-rf)TP(r-rf)+12(r-rf)TM(r-rf)Kj=1jN(Zi|j,j)(19)其中 P 和 M 是正定增益矩阵。并进一步将固定时间控制FTC3与基于高斯混合模型的势函数相结合,提出高斯混合模型固定时间控制方法 GMM-FTC。其非线性坐标变换定义为sGMM-FTC-i=yi+GMM-FTC-i,(i=1,2)(20)其中GMM-FTC-1=0GMM-FTC-2=ksr+1y1+1y31(21)ks是正定增益矩阵,表示梯度,r 是基于混合高斯模型的势函数 相对于任务航天器位置矢量的梯度。根据式(20)和(21)
14、,式(10)等价于?sGMM-FTC-1=-1sGMM-FTC-1-1s3GMM-FTC-1+A12sGMM-FTC-2?sGMM-FTC-2=GMM-FTC(y1,y2)+A23(u+uf)(22)其中GMM-FTC(y1,y2)=-ksrr?r+rrf?rf()+A21y1+A22y2+1+31y21(1)0001+31y21(2)0001+31y21(3)|y2(23)切换面渐进律定义为SGMM-FTC-2=-2i=1if(SGMM-FTC-2,i)(24)其 中 SGMM-FTC-2(j)是 SGMM-FTC-2的 第 j 个 元 素,函 数 f(SGMM-FTC-2,i)定义为|SG
15、MM-FTC-2(1)|i|SGMM-FTC-2(2)|i|SGMM-FTC-2(3)|iT(25)因此,GMM-FTC 的控制律为uGMM-FTC=-2i=1if(SGMM-FTC-2,i)-GMM-FTC(y1,y2)uGMM-FTC=uGMM-FTC-ud(26)3.4 李雅普诺夫稳定性分析定义李雅普诺夫函数V1=12STGMM-FTC-2SGMM-FTC-2 0(27)则有V1=STGMM-FTC-2SGMM-FTC-2=-STGMM-FTC-22i=1if(SGMM-FTC-2,i)-2i=1i-minSGMM-FTC-2i+1(28)其中 i-min=min(ij)(j=1,2,3
16、)。可知V1-2i=1i-minSGMM-FTC-2i+1-2i=1i-min(2V1)i+12 -2i=12i-minVi+121 (29)因此,根据李雅普诺夫定理,GMM-FTC 有限时间内稳定,且可以确保从任意初始状态可在有限时间 TGMM-FTC内到达表面 S(t)TGMM-FTC=21-min(1-1)+22-min(2-1)(30)此外,根据式(21),控制误差 y1和 y2有限时间内可在终端切换面收敛为 0。4 数值仿真4.1 仿真环境图 1 所示为具有复杂外形(带有凸出天线和太阳能板)的目标航天器以及 LVLH 坐标系中任务航天器的相对运动路径。仿真中,任务航天器从起始位置(星号 1)出发,到达目标航天器天线附近的终点位置(星号 2)。目标航天器和任务航天器的物理参数见表 1,任务航天器在 LVLH 坐标系中的初始状态见表 2。08图 1 目标航天器以及 LVLH 坐标系中任务航天器的相对运动路径表 1 目标航天器和任务航天器物理参数目标航天器任务航天器边长10m质量50kg太阳能板10m5m最大推力30N天线5m半径0.5m 表 2 任务航天器在 LVLH 坐标系中的
