1、第 卷 第 期 年 月江西师范大学学报（自然科学版）（）收稿日期：基金项目：国家自然科学基金（）资助项目通信作者：徐丽平（），女，山东聊城人，副教授，博士，主要从事概率统计的研究：龙沁怡，徐丽平 基于上记录值 分布的统计推断 江西师范大学学报（自然科学版），（）：，（），（）：文章编号：（）基于上记录值 分布的统计推断龙沁怡，徐丽平（长江大学信息与数学学院，湖北 荆州）摘要：基于上记录值，该文讨论了在 分布总体中未知参数、系统可靠度及失效率的极大似然估计，并利用中心极限定理得到了模型参数的近似置信区间 首先，当 个参数的先验分布为混合分布时，在 种损失函数下计算了未知参数及可靠性指标的 估计，
2、并给出了超参数的估计方法；然后，分别用频率方法和 方法对未来的上记录值进行预测；最后，提出了一种模拟上记录值的算法，利用模拟的记录值计算了相关的结果关键词：分布；上记录值；先验分布；估计中图分类号：文献标志码：引 言两参数 分布的密度函数为（；，）（）（），（）其分布函数为（；，）（），（）根据式（）和式（），则可靠度函数（）和失效率函数（）分别为（）（），（）（），假设某种部件的寿命服从两参数 分布（），根据文献 可知，由 个相互独立的部件构成的串联系统可靠度为（，）（），由 个相互独立的部件构成并联系统可靠度为（，）（）（），当 时上述可靠度就是单个部件的可靠度 分布也被称为 型 分布，它
3、是一种重尾概率分布，常常被用于商业、经济和精算建模 该分布受到了统计学家的关注，主要原因是：它在可靠性和寿命测试研究中有着广泛的应用，特别地，当数据为重尾分布时，使用此分布可能更加合适 文献 用 方法讨论了形状参数的估计和 估计的性质 文献 用 方法研究了未知参数的估计，并与频率方法、方法进行比较 文献 使用无信息先验分布讨论了 分布的 推断问题假设，是来自某连续型分布的独立同分布随机变量，若观测值 比以前的观测值都更大，则它被称为一个上记录值 记录时间（）和记录值 具有如下的关系式：（），（）：（），（）设个上记录统计量（），（），（）来自分布（），根据文献 可以得到其似然函数为（，）（；，
4、）（；，）（；，），（）其中 （，）把式（）和式（）代入式（）可以得到（，）（）（）（）记录值是一种特殊的次序统计量，其大小由观测值和出现顺序决定 记录值在工程、寿命试验、体育、经济等领域的应用中都具有重要意义 在过去的 年里，人们对记录值的兴趣越来越大，它们的性质被广泛研究 文献 基于记录值样本进行了统计分析，并给出了未来记录值的预测值 文献 基于逐次定数截尾和记录值样本讨论了 分布的参数估计问题 文献基于记录值采用 方法对多种分布总体模型进行了统计分析 目前关于 分布模型的许多研究成果都是假设已知、未知，其原因是：对于多参数分布模型，若将未知参数的先验分布都取为连续型，则可能会遇到复杂的多
5、重积分，通常只能采用模拟的方法计算其近似值本文将 分布的参数、的先验分布分别取为离散型分布和连续型分布，即混合先验分布，可以得到一个封闭形式的 估计，这在利用先验信息的情况下是可取的 目前，基于记录值样本及混合先验分布，利用 方法对 分布的参数和可靠性指标进行统计推断的文献还鲜有报道 因此，本文将分别用频率方法和 方法讨论 分布的估计及预测问题频率估计 点估计根据式（），对数似然函数为（，）（）（），对（，）求关于、的阶偏导数，可以得到似然方程：（），（）（），（）方程组（）没有显式解，可以用数学软件求其数值解，此解就是、的极大似然估计，分别记为和 根据极大似然估计的不变性，可得（，）、（，）
6、及（）的极大似然估计分别为（，）（），（，）（）（），（）（）近似区间估计由对数似然函数可以得到 阶导数：（，），（，）（）（），（，）（）（）由极大似然估计的中心极限定理得（，）的近似分布为（，）（，），（，），其中 （，）（，）（，）（）（，）（）（，）|（，）当 时，和 的（）近似置信区间分别为（，）和（，），其中和是（，）的主对角线上的元素，是标准正态分布的上 分位数 估计接下来将用 方法对相关问题进行统计分析 假设 个参数都是未知的，且是离散型和连续型分布的混合形式 随着科学技术的进步，产品具有长寿命和高可靠性的特点，这可能导致实际的失效数据较少 因此，根据历史信息和专家经验，混合先
7、验分布可能比在实轴上的连续型先验分布更好假设 的分布为离散先验分布，且 的分布为连续的条件先验分布，即 的分布列为（），其中 ，且满足 ，对于给定的，参数 的条件先验分布为（），（）其中（，）是超参数根据式（）和式（），对于给定的，可得 的条件后验密度函数为（，）（）（，）（）（，）（）（）（）（，）的联合后验密度函数为第 期龙沁怡，等：基于上记录值 分布的统计推断（，）（）（）（，）（）（）（，）（）（）（）（）（）（）的边缘后验分布为（）（，）（）（）（）（）（）（）平方误差损失函数是一种常用的对称损失函数，它被定义为（），）（），其中 是（）的一个估计 由于在此类损失函数下的 估计是后验
8、期望，因此，在平方误差损失函数下，可以计算得到、（，）、（，）及（）的 估计分别为（）（），（，）（）（）（），（，）（）（）（）（），（）（）（）（）下面给出了另一种常用的损失函数，即平衡平方误差损失函数，它被定义为（），）（）（）（），其中 在平衡平方误差损失函数下，（）的 估计为 （）（），其中（）表示根据（）的后验密度函数求得的后验期望若将 取为（）的极大似然估计，则在平衡平方误差损失函数下，、（，）、（，）及（）的 估计分别为 （），（），（，）（，）（）（，），（，）（，）（）（，），（）（）（）（）一般地，要事先确定、及 的值 和 的值可以通过先验信息确定，而 的值比较难确定 下
9、面给出用样本信息确定 的方法当得到参数和的极大似然估计和后，可以进一步得到可靠度函数（）的极大似然估计为（）（）由先验分布（）可得（）的数学期望为（）（）（）（）（）令（）（），则可得（）（）若记 的估计为，则（）（），未来上记录值的预测引理 设，是分布函数（）的前 个上记录值，对于所有的 ，分布函数（）是连续且严格递增的，当 时，若表示上记录值 的预测值为（），则（）（）（）由引理 知，对于 分布（），的预测值为（）（）（）根据极大似然估计的不变性，可得 的极大似然预测值为（）（）（）在平方误差损失函数下，的 预测值为（）（）（）；在平衡平方误差损失函数下，的 预测值为（）（）（）（）（）（
10、）（）（）（）江西师范大学学报（自然科学版）年数值例子下面通过蒙特卡罗模拟产生出分布的上记录值，具体步骤如下：产生独立同分布于均匀分布（，）的样本，；设 （），；设 ，；计算 ，；对于任意的连续型分布函数（），记（），则（，）就是来自总体分布（）的上记录值，其中（）表示（）的反函数利用上面描述的算法，当 ，时，可以模拟出 分布的上记录值：，基于模拟出的记录值，给定 的先验分布可以得到和（，）值，相关的结果被列于表 中 参数、系统可靠度及失效率的估计被列于表 中，当 ，和 时，可以计算出（，）、（，）和（）的真值，它们分别为.、通过比较可以发现，相关指标的 估计比极大似然估计更接近其真值 表 给
11、出了未来上记录值的预测，可以发现 预测值大于极大似然预测值表 先验信息和后验概率（）参数 的值 表 参数及可靠性指标的估计（，）损失函数（，）（，）（）极大似然估计 平方误差损失 平衡平方误差损失 表 未来记录值的预测（）预测值 的值（）（）（）结论本文在上记录值样本下讨论了两参数分布的统计推断，并利用极大似然估计的渐近正态性得到了未知参数的近似置信区间 当 个参数的先验分布分别取为离散型分布和连续型分布时，计算了未知参数、系统可靠度及部件失效率的极大似然估计和 估计 通过与真值进行比较发现 估计比极大似然估计更接近真值 最后对未来的上记录值分别用极大似然法和 方法进行预测，其中在平衡平方误差损失函数下，的 预测值是（）与（）的一种加权平均值，与 的取值有很大关系 利用数值例子进一步验证了本文的结论 在本文的基础上可以尝试把 个未知参数的先验分布都取为离散型分布，这将会得到一些新的结论 参考文献 ，（）：，（）：，：，第 期龙沁怡，等：基于上记录值 分布的统计推断 ，：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：邓严林 双边定数截尾下 分布的 估计与预测 江西师范大学学报（自然科学版），（）：，（，）：，：；（责任编辑：曾剑锋）江西师范大学学报（自然科学版）年
