1、Jun.2023Fluid Measurement&ControlVol.4 No.3 工程流体力学基础（）Foundation of Engineering Fluid Mechanics（）沈昱明（上海理工大学，上海 200093）SHEN Yuming（University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）3流体运动的基本方程本章首先介绍定常流动、非定常流动、流量等基本概念，然后从运动学理论出发，建立流体运动的基本方程，包括连续性方程和伯努利方程。3.1定常流动和非定常流动、流量3.1.1定常流动和
2、非定常流动在流体力学中，研究流体运动可以用 2 种不同的方法，即拉格朗日（Lagrange）法和欧拉（Euler）法。拉格朗日法研究单个流体质点的运动要素（表征流体运动的物理量，如速度、加速度、压力和密度等）随时间变化的规律，然后把全部流体质点的运动综合起来，得到整个流体运动；欧拉法研究的是流体运动的各空间点上流体运动要素随时间的变化，然后把全部空间点上的流体运动综合起来，得到整个流场的运动规律。用欧拉法描述流体运动时，一般情况下，流体质点的速度和压力等运动要素是空间坐标和时间的函数。如果在流动空间的各点上，运动要素都不随时间而变，则这种流动称为“定常流动”。在定常流动中：|ux=ux(x,y
3、,z)uy=uy(x,y,z)uz=uz(x,y,z)p=p(x,y,z)(1)或uxt=0,uyt=0,uzt=0,pt=0(2)即流体质点的各速度分量均与时间 t 无关，当地加速度等于 0。若在流动空间的各点上，流体质点的运动要素的全部或其中之一随时间而变，则称这种流动为“非定常流动”。3.1.2流量、平均流速在流场中，任取一条与流线不重合的封闭曲线l，如图 1所示，在曲线上各点作流线，则这些流线将形成一个管状形状，称为“流管”。过流管横截面上各点作流线，这些流线将充满整个流管。将流管内的全部流线称为“流束”。在定常流动中，流束的形状不随时间而改变；而在非定常流动中，流束只是相对于某一瞬时
4、的一个概念。由于流线不可能相交，所以在流管内、外的流线不能穿过流管的表面，流 管 就 像 固 体 管 道 一 样，将 流 体 限 制 在 流 管 内流动。在流束中，与流线正交的横断面称为流束的“有效断面”。显然，当流线互相平行时，有效断面是平面；而当流线互相不平行时，有效断面是曲面。有效断面面积为有限大小的流束，称为“总流”。总流可以看成是由无数个微小流束组成。通常，微小流束的有效断面面积用 dA 表示，总流的有效断面面积用 A表示。单位时间内，通过有效断面的流体体积，称为“体积流量”，通常简称为“流量”，用 qv表示，单位为m3/s。流量的单位通常还有 m3/h、L/min 等。对于微小流束
5、，由于其有效断面上各点的流速 u 可认为相等，所以在 dt 时间内，通过有效断面的流体体积为 udtdA，把其除以时间 dt后，得到通过微小流束有效断面的流量为dqv=udA(3)对式（3）进行积分，得到总流的流量，即图 1流线 讲座 942023年 6月流体测量与控制第 4卷第 3期（总第 16期）qv=AudA(4)单位时间内，通过有效断面的流体质量，称为“质量流量”，通常用 qm表示，其单位为 kg/s。质量流量的单位通常采用 kg/h 等。上述 2 种流量之间的关系为qm=qv(5)在工程计算中，常引用有效断面的“平均流速”概念（在不会引起与体积混淆的前提下，用“V”表示平均流速）。所
6、谓有效断面的平均流速（简称平均流速）是一种假设，即假设在断面上各点都具有相同的流速。按照平均流速的定义，可得通过有效断面的流量为qv=AudA=VAdA=VA(6)因此，有效断面的平均流速为V=qvA(7)3.2连续性方程在流体力学中，认为流体是连续介质，流体在流动时将连续地充满整个流动空间。连续介质的该特性可以用数学形式，即连续性方程来表达。根据质量守恒定律，可以导出对于可压缩流体的连续性微分方程式为t+()uxx+()uyy+()uzz=0(8)或ddt+(uxx+uyy+uzz)=0(9)对于不可压缩液体，密度=const.，式(9)可以写为uxx+uyy+uzz=0(10)式(10)即
7、 为 不 可 压 缩 流 体 的 连 续 性 微 分 方程式。以下将推导流束状总流（例如管道中的流动）的连续性方程式。取一流束状的总流，假设流动为定常流动，有效断面 1 和 2 的面积分别为 A1和A2，相应的平均流速为 V1和 V2。在定常流动条件下，流束的形状不随时间改变；各点的密度也不随时间改变；流体是连续介质，内部不可能出现空隙；流体质点也不可能穿过总流的侧表面。因此，根据质量守恒定律，在 dt时间内，流入 A1有效断面的流体质量必定等于流出 A2有效断面的流体质量，即1V1A1dt=2V2A2dt(11)或|1V1A1=2V2A2qm1=qm2VA=qm=const.(12)式(12
8、)即为以质量流量表示的总流连续性方程式，适用于液体和气体。对于不可压缩流体，因为 =const.，故有|V1A1=V2A2qv1=qv2VA=qv=const.(13)式(13)就是以体积流量表示的总流连续性方程式，仅适用于液体。其表示有效断面平均流速与有效断面的面积成反比。流体连续性方程是一个运动学的方程，并不涉及力的问题，所以无论对理想流体还是黏性流体都正确。3.3伯努利方程设在运动的理想流体中，取一边长为 dx、dy 和dz 的微小平行六面体。作用在微元面上的压力为p，单位质量的质量力在 x、y、z上的投影分别为 fx、fy和 fz，则根据牛顿运动定律，得到|fx-1px=duxdtfy
9、-1py=duydtfz-1pz=duzdt(14)式(14)就是理想流体运动微分方程式，也称“欧拉运动微分方程式”。3.3.1微小流束的伯努利方程在以下假定条件下：理想流体；定常流动；沿同一条流线（或微小流束）；不可压缩流体；质量力仅为重力。对式(14)进行积分，可以导出微小流束的伯努利（Bernoulli）方程为z+pg+u22g=const.(15)或z1+p1g+u212g=z2+p2g+u222g(16)式中：z、p、u 分别为沿流线各点的流体相对于某一基 准 面 的 位 置 高 度（m）、静 压 力（Pa）和 流 速 （m3s2）。式(15)和式（16）称为“理想流体沿微小流束的
10、95Jun.2023Vol.4 No.3 Fluid Measurement&Control伯努利方程式”。伯努利方程式表明：在重力作用下，理想、不可压缩流体作定常流动时，沿同一流线（或微小流束）各点上单位质量流体所具有的总机械能相等。所以，该方程式实质上是能量转换与守恒定律在流体力学中的具体表现形式。在黏性作用很小或黏性作用可忽略不计的流动中，可以直接应用理想流体微小流束的伯努利方程求解工程问题。例如，假设在均匀的平行流动中放一个柱形物体，物体前未被扰动的流速为 u，压力为 p，如图 2 所示。流体流至物体前缘点 B 时，速度为零，B点称为驻点，表明流体在障碍物前要发生停驻。令 p0为驻点的
11、压力，则在通过驻点的流线上应用伯努利方程式(16)，得p+u22=p0p0=p+12u2（17）可见，驻点的压力 p0比流动未被扰动的压力 p增大了12u2，这增大的压力称为“动压”。对应于运动流体的每一点，都有一个在该点上原来未受扰动的压力 p，称为“静压”；而把 p0称为“总压”。根据总压和静压的关系，可以计算得到该点运动流体的流速 u：u=2()p0-p=2p（18）式中：为被测流体的密度，kgm3。总 压 p0可 用 一 根 两 端 开 口，弯 成 直 角，称 为“毕托管”的总压管测得，而通过在总压管的外侧再套一个同心圆管，其前段封闭，在外管侧壁上开一个或更多小孔来测量静压，如图 3
12、所示。作为一种测量流速的仪器，毕托管在工程实践中被广泛应用。有几点需要说明：首先，式(18)是在不可压缩、理想流体的条件下推导出来，所以严格地讲，只能适用于不可压缩流体。然而，如果马赫数 Ma0.1，式(18)也可以应用于可压缩流体的流速测量。其次，式(18)测得的是理想流体的流速。由于黏性阻力和毕托管对流场的扰动影响，实际测得的真实流速要小于理想流速。因此，要在式(18)右边乘以一个毕托管“流速系数”加以修正。由实验确定，一般=0.9500.995。3.3.2实际黏性流体总流的伯努利方程上节所述的伯努利方程只适用于理想流体、同一流线或同一微小流束。本节将推导实际黏性流体、适用于管道流动（即总
13、流）的伯努利方程式。设一黏性流体在管道中作定常流动，流体从管道的断面“l”流向断面“2”，断面“l”和断面“2”处流体的流动为缓变流动（所谓“缓变流动”就是指流线为平行直线的流动）；其有效断面面积分别为 A1和A2，2 个断面之间没有支流。对式(16)沿管道截面积 积 分，即 可 导 出 黏 性 流 体 总 流 的 伯 努 利 方 程式为z1+p1g+1V212g=z2+p2g+2V222g+hw(19)式中：1、2分别为截面“1”“2”的“动能修正系数”，由实验确定，在管道流动中，一般=1.051.12，工程上通常取 1=2=1；V1、V2分别为截面“1”“2”处的流体平均流速，（m/s1）
14、；hw为以高度表示的机械能损失，m，通常称为“水头损失”。式(19)就是著名的“黏性流体总流的伯努利方程式”。式(19)与总流的连续性方程式(13)，是解决工程上流体运动问题的两个非常重要的方程式。对总流的伯努利方程式作一些说明，总流的伯努利方程式的物理意义如图 4 所示。由图可见，由于存在黏性，流体在流动过程中，必然会有部分机械能 转 化 为 热 能 而 损 失，使 得 总 水 头 线 下 降 了 hw高度。图 2流体绕流固体图 3毕托管 962023年 6月流体测量与控制第 4卷第 3期（总第 16期）3.4运动流体的动量方程式流体力学中有一个重要方程式，即动量方程式。该方程式在需要确定作
15、用力的流体流动问题时特别重要。根据理论力学，动量定理可以表达为物体动量对时间的导数等于作用在物体上各外力的矢量和。如果以(mV)s为系统“S”的动量，F为作用在该流体系统上各外力的矢量和，则动量定理可以表示为F=()mVst（20）设有定常流动的不可压缩的总流，选取段面“1”和“2”，以及其间的边界面所组成的封闭曲面为控制面，所围成的体积称为“控制体”，用符号“CV”表示，如图 5所示。经过很短的时间间隔t，控制体内的动量变化为mV=mV2-mV1=qV2t02V2-qV1t01V1（21）式中：0为“动量修正系数”，其与上节所述的动能修正系数 类似，是由以平均流速 V 代替真实流速所引入的修
16、正系数，一般 0=1.021.05，实际计算时也可取 0=1。根据总流的连续性方程，qv1=qv2=qv。将式(21)代入式(20)，得到F=qv(V2-V1)(22)式(20)和式(22)为矢量方程，F的方向必须与速度的改变量方向(V2-V1)相同。将式(22)分别写出在 x、y、z这 3个方向上投影式，即|Fx=qv(V2x-V1x)Fy=qv(V2y-V1y)Fz=qv(V2z-V1z)(23)注意，以上F是作用在控制体内这段流体质量所有外力的矢量和，外力包括重力、黏性切应力和压力。而压力又包括包围这段流体周围流体所施加的部分，以及与这段流体相接触的固体边界所施加的部分。待求的力往往是这些压力中的一个，特别是固体边界施加在流体上的力。根据作用力与反作用力原理，该力也是流体作用在固体边界上的力。例 题 3 有 一 直 径 d1=200 mm 变 至 d2 150 mm 的渐缩弯管，其轴线位于同一水平面上，转角 60，如图 6 所示。通过弯管的水流量 qv 0.1 m3/s，在弯管的入口段的表压力 p1=20 kN/m2。若 不 计 弯 管 的 水 头 损 失，试 求 水 流 对 弯
