1、2023 年4 月 电 工 技 术 学 报 Vol.38 No.8 第 38 卷第 8 期 TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY Apr.2023 DOI:10.19595/ki.1000-6753.tces.211398 环形行波超声波电机动态接触摩擦特性 建模与分析 蒋春容1 赵子龙1 陆旦宏1 金 龙2（1.南京工程学院电力工程学院 南京 211167 2.东南大学电气工程学院 南京 210096）摘要 超声波电机的接触摩擦模型对电机结构设计和性能优化具有重要作用。该文考虑定子齿结构，基于 Dahl 摩擦这一动态摩擦定律，分析了定子
2、振动的瞬态响应过程、定子齿质点与转子的法向接触和切向摩擦及转子运动方程，建立了环形行波超声波电机定转子动态接触摩擦解析模型。基于所建立的模型，研究了定转子间的接触状态和法向接触应力，以及相对速度和切向摩擦应力，并分析了电机的输出性能。最后，测量了样机的输出特性，将测量值与所建立模型的计算值进行比较，二者基本吻合。此外，也对比了忽略定子齿结构并采用库仑摩擦定律的接触摩擦模型的计算值，结果表明，所建立模型的计算值能更好地与实验值相吻合，说明所建立的模型能够更准确地描述定转子接触摩擦传动特性。关键词：超声波电机 行波 接触 摩擦 定子齿 输出特性 中图分类号：TM35 0 引言 超声波电机具有动态响
3、应快、可断电自锁、电磁兼容性良好、低速大转矩等特点1-4。超声波电机定转子的接触摩擦特性直接影响电机的输出性能。因此，分析定转子的接触摩擦特性并建立其数学模型，对电机的设计、优化和控制具有重要作用5-7。为了放大定子的切向振动，行波超声波电机定子上设有定子齿结构。因此，电机定转子间的接触和摩擦，实际上是不连续的定子齿表面与转子上的摩擦材料之间的接触和摩擦。针对行波超声波电机定转子接触摩擦问题，常用的建模方法有解析法和有限元法。采用解析法建模时，为了简化定转子间的接触摩擦问题，往往忽略定子齿结构，将定子齿表面假设为连续表面，如学者提出的定转子弹性接触模型8-13以及黏弹性接触模型14-19，均忽
4、略了定子齿结构。而采用有限元法建模时，可以考虑定子齿结构20-22，模拟定子齿不连续表面与转子之间的接触，从而能够更为真实地反映定转子的接触状态，但该方法存在建模求解费时的缺点23-25。相比较有限元法建模，采用解析法建模时，求解过程更快，因此解析法建模更实用，也更常用。然而现有研究中，采用解析法建立的行波超声波电机定转子接触摩擦模型，忽略了定子齿结构，认为定子齿表面是连续的，这一做法虽然在一定程度上简化了模型，但由于无法反映不连续的定子齿表面与转子之间实际的接触状态，从而给计算结果带来一定的 误差。接触摩擦问题是复杂的非线性问题。现有对超声波电机接触摩擦问题的分析，大多基于库仑摩擦定律。库仑
5、摩擦定律属于经典的静态摩擦定律，无法反映摩擦界面的动态特性。除了静态摩擦定律，另有一类描述摩擦现象的动态摩擦定律，如 Dahl摩擦定律，能够同时描述摩擦界面的静态和动态特性26。当两个相互接触的物体相对运动速度保持不变时，采用静态摩擦定律来描述摩擦特性是足够准确的。然而，当两个相互接触的物体相对运动速度动态变化时，动态摩擦定律比静态摩擦定律能够更 国家自然科学基金项目（51777029）、江苏省“六大人才高峰”高层次人才项目（KTHY-040）和南京工程学院校级科研基金项目（CKJB202103）资助。收稿日期 2021-09-03 改稿日期 2022-05-17 第 38 卷第 8 期 蒋春
6、容等 环形行波超声波电机动态接触摩擦特性建模与分析 2037 为准确地描述接触界面的摩擦传动特性27。对环形行波超声波电机而言，定子齿表面质点与转子之间的相对速度是一直动态变化的，即使电机运行到稳态也是如此，因此，采用动态摩擦定律来描述其接触摩擦特性更为准确28。然而，现有对行波超声波电机接触摩擦模型的研究，以基于静态摩擦定律为主，采用动态摩擦定律建立的定转子接触摩擦模型的研究尚未见报道。本文考虑定子齿结构，基于 Dahl 摩擦这一动态摩擦定律，采用解析法建立环形行波超声波电机定转子的动态接触摩擦模型。分析了定子振动的瞬态响应过程、定子齿质点与转子之间的法向接触和切向摩擦及转子运动方程，从而建
7、立起电机的动态接触摩擦传动模型。基于所建立的模型，研究了定转子间的法向接触和切向摩擦特性，并分析了电机的输出性能。最后，测量了样机的输出特性，并与计算值进行对比，二者基本吻合。同时，也对比了忽略定子齿结构并采用库仑摩擦定律的接触摩擦模型的计算值，对比结果表明，本文所提出模型的计算值能够更好地与实验值相吻合。1 定转子动态接触摩擦模型分析 给压电陶瓷通电前，环形行波超声波电机定转子的接触如图 1 所示。定子上设置齿结构以放大定子的切向运动，定子齿与转子上的摩擦材料接触。为便于分析，采用(x,z)直角坐标系。图 1 通电前定转子的接触 Fig.1 Contact between the stato
8、r and rotor before energizing 1.1 定子振动 给压电陶瓷通电后，定子激发出行波运动，定子中性层的行波运动方程可表示为 m2(,)()sinw x tAttx=+|（1）式中，w 为轴向位移；Am为振幅，其值为时间 t 的函数；和分别为振动的角频率和行波波长。设定子行波波峰数为 n，定转子平均接触半径为 r，则 2=rn （2）定子振动的振幅Am随时间变化，给压电陶瓷通电后，Am从0开始逐渐增大，经过暂态过程最终到达稳态值。根据轴向振幅变化的趋势，可将轴向振幅Am表示为 crmcr()0()AP tttAtAtt=（3）式中，A 为定子振动进入稳态后的轴向振幅；t
9、cr为定子振动到达稳态值的临界时间；P(t)为拟合定子振幅变化趋势的多项式函数。从 0 开始到 tcr，定子轴向振幅随时间变化，到 tcr及以后，定子振动进入稳态，轴向振幅达到稳定值。定子振动的瞬态响应过程可以通过有限元分析软件 Ansys 进行瞬态特性分析得到。根据瞬态特性分析结果对定子振幅变化趋势进行拟合，拟合多项式可表示为 1()mmjjjP tp t-=（4）式中，m 为定子振幅变化趋势决定的多项式的项数；pj（j=1,2,m）为拟合多项式的系数。在特定的 m值之下，多项式的系数pj可通过最小二乘法确定。需要注意的是，m 取值既不能过小也不能过大，合适的 m 取值，可通过对比 m 取不
10、同值时，Ansys 仿真值与拟合值之间的方均根误差来确定，m 可取值为使方均根误差达到最小时的值。定子齿结构的存在使定子表面呈现不连续的状态，定子齿结构如图 2 所示。图 2 中，nt为定子上齿的总数，wt为单个定子齿沿周向的宽度，可根据每个定子齿所占的周向角度t而求得，有 wt=rt/180 。根据弹性体振动理论，并考虑到定子齿的不连续结构，定子齿表面质点的切向速度 vs可表示为 2tttsttt(,)22(,)220(1)w x trraixiwx tnnv x trriwxinn-+|=|+|（5）式中，a 为定子齿表面至中性层的距离；i 为整数，i=0,1,2,nt-1。1.2 定转子
11、法向接触 环形行波超声波电机定子开始高频振动后，定转子间的接触随着定子行波的移动而发生周期性变化。由于定子齿的存在，一个波长内定转子的接触是不连续的。考虑到定子齿表面各质点与摩擦材料 2038 电 工 技 术 学 报 2023 年 4 月 图 2 定子齿结构 Fig.2 The structure of stator teeth 的接触和分离过程是类似的，故可取其中某个质点作为代表来分析接触和分离过程。为便于分析，取x=0 处的质点（见图 2）作为代表。由式（1）可得，该质点的轴向位移为 m(0,)()sin()wtAtt=（6）不同振幅下该点与摩擦材料在一个周期内的接触状态可用图 3 来描述
12、。图 3 中，T 为定子振动的周期。定子振幅从 0 开始逐渐增加的过程中，当振幅较小时，该点与摩擦材料处于完全接触状态，没有分离过程，如图 3a 所示。随着定子振幅逐渐增大到一定值后，该点与摩擦材料才开始出现接触和分离交替的状态，如图 3b 所示。（a）振幅较小时（全接触）（b）振幅较大时（接触和分离）图 3 x=0 处的定子齿质点与摩擦材料的接触状态 Fig.3 Contact state between the tooth point at x=0 and the frictional material 在法向预压力的作用下，x=0 处的定子齿质点的法向接触应力fn可表示为 n0()00E
13、 wwfthw|=|（7）式中，E 和 h 分别为摩擦材料的弹性模量和厚度；w 为定子齿质点相对于摩擦材料未变形时边界的轴向位移。当w0 时，说明定子齿质点与摩擦材料处于接触状态，法向接触应力与摩擦材料的应变w/h 成正比；反之，当w0 时，说明定子齿质点与摩擦材料处于分离状态，法向接触应力为 0。w与定子齿质点轴向振动位移相关，可表示为 mm()()sin()wAtAtth=+-（8）式中，h 为摩擦材料未变形时的边界相对于定子齿质点振动最低点的位移，如图 3 所示。当定子振幅较小时，定子齿质点与摩擦材料在一个周期内处于完全接触状态，如图 3a 所示，此时h0。当定子振幅增加到一定值以后，定
14、子齿质点与摩擦材料在一个周期内出现接触和分离交替的状态，如图 3b所示，此时h0。随着定子振幅的逐渐增大，h也在逐渐增大，定子齿质点与摩擦材料接触的时长也会逐渐减小。用 tcp来表示一个周期内定子齿质点与摩擦材料的接触时长占比，则与不同振幅 Am对应的 tcp为 cpmm100%0()11arcsin100%02()hthAthAt|=-|（9）由于w 随时间变化，因此，定子齿质点的法向接触应力也随时间而变化。该点在一个振动周期 T内的平均法向接触应力fnavg可表示为 navgn1()dt TtffttT+=（10）设定转子间的法向预压力为 Fn，则定子齿表面接触区域内所有点的平均法向应力之
15、和与预压力平衡，即 nnavgtt=Ffbw n （11）式中，b 为定转子间的径向接触宽度。联合式（7）、式（8）以及式（10）、式（11），可求得不同振幅Am所对应的h，进而确定不同时刻定子齿质点的法向接触应力以及与不同振幅对应的 tcp。1.3 定转子切向摩擦 分析定转子间的切向摩擦时，同样取 x=0 处的定子齿表面质点为代表。由式（1）、式（3）和式（5）可知，该点的切向速度为 第 38 卷第 8 期 蒋春容等 环形行波超声波电机动态接触摩擦特性建模与分析 2039 crscr2 d()cos()0d(0,)2sin()P ttAatttvtAattt-.|=|（12）根据 Dahl
16、摩擦定律27，该点作用在摩擦材料接触表面的切向摩擦应力ft可表示为 ttrelrelCd()()1sgn()df tf tvvtf=-|（13）其中 relrelrelrel10sgn()=0 010vvvv|=|-（14）relsr=(0,)vvtv-（15）0tt=bw n （16）式中，fC为库仑摩擦应力的大小；sgn 为符号函数；vrel为x=0处的定子齿表面质点与转子之间的相对运动速度；vr为转子的切向线速度；为参数；0为刚度系数，其值与实际接触面积、接触表面粗糙度以及材料属性有关。要通过式（13）求切向摩擦应力ft，还需确定库仑摩擦应力fC的值。根据库仑摩擦定律，库仑摩擦应力fC与法向接触应力fn之间的关系为 dCdn0()=00E wwffthw|=|（17）式中，d为动摩擦因数。当定子齿表面质点与摩擦材料分离或刚接触时，库仑摩擦应力fC的值为 0。此时，式（13）中，由于处于分母位置的fC=0，该方程求解会面临无法收敛的问题。为解决这一问题，定义一个极小值，当库仑摩擦应力为 0 时，将库仑摩擦应力取为极小值。因此，可将式（17）修改为 dC000E wwfhw|=|（1
