1、第36卷第3期2023年6月Vol.36 No.3Jun.2023四川轻化工大学学报（自然科学版）Journal of Sichuan University of Science&Engineering(Natural Science Edition)功能梯度石墨烯增强复合材料旋转梁强迫振动林位麒1,2，杨宇康1,2，林百川1,2，李映辉1,2（1.西南交通大学力学与航空航天学院，成都611756；2.应用力学与结构安全四川省重点实验室，成都611756）摘要：研究了功能梯度石墨烯增强复合材料（Functionally Graded-Graphene-Platelets-Reinforced
2、Composite，FG-GPLRC）旋转梁的非线性强迫振动。首先采用修正Halpin-Tsai微观力学模型和混合理论得到FG-GPLRC的有效弹性模量；考虑旋转效应并引入von Ka?rma?n几何非线性假设，基于Hamilton原理建立了FG-GPLRC旋转梁的运动控制方程。然后使用Galerkin法和多尺度法求得主共振响应的渐近解析解。最后通过数值分析讨论了石墨烯片（GPLs）含量、分布方式及几何性质对旋转梁强迫振动行为的影响。结果表明：填充GPLs能够同时提高梁的线性刚度和非线性刚度，但两者对共振响应的影响是相反的，在耦合作用下梁的共振响应随着GPLs质量分数的增大而减小；旋转运动造成
3、的离心刚化效应增加了线性刚度但不能改变非线性刚度，从而使共振响应增大。关键词：复合材料；旋转梁；石墨烯增强；多尺度法；强迫振动中图分类号：O327文献标识码：A引言用碳纳米材料作为填充物进行机械性能增强的功能梯度复合材料，其材料性能与原基底材料相比有着巨大的提升，其中碳纳米管（Carbon Nanotubes，CNTs）和石墨烯片（Graphene-Platelets，GPLs）是较常见的碳基增强体。GPL增强复合材料（Graphene-Platelets-Reinforced Composite，GPLRC）相较于CNT增强复合材料（Carbon Nanotube-Reinforced Co
4、mposite，CNTRC）表现出了更优异的抗断裂能力1，被广泛应用于智能穿戴、能源、检测传感等领域。石墨烯是少见的二维材料，因其有着优越的力学性能如极高的弹性模量、载流子迁移率、热传导率和拉伸强度而备受关注2-5。石墨烯作为增强剂与多种材料混合制成的功能梯度复合材料，可以减轻甚至消除不同材料复合之后因性能差异所导致的界面损伤，从而可以满足不同领域对材料不同功能的需求，尤其是应用于极端情况如航天器中可能存在内外表面温差超过1000 的情形。上述优点使得功能梯度石墨烯增强复 合 材 料（Functionally Graded-Graphene-Platelets-Reinforced Compo
5、site，FG-GPLRC）在高铁、飞机、汽车、医疗等领域有着巨大的应用前景。因此，考察FG-GPLRC 制成的结构的动力学特性对提升现有设备的力学性能十分有必要。工程中大量构件可以简化为旋转梁，如风电叶收稿日期：2022-04-08基金项目：国家自然科学基金资助项目(11872319)通信作者：李映辉(1964-),男,教授,博士,研究方向为非线性动力学研究,(E-mail)文章编号：20967543（2023）03004208DOI:10.11863/j.suse.2023.03.06第36卷第3期林位麒，等：功能梯度石墨烯增强复合材料旋转梁强迫振动片、直升机旋翼、航天器机械臂等5-7。上
6、述构件所应用的领域对结构的强度和质量有很高的要求，因此，材料的选取对旋转梁结构有着重要的意义。学者们目前已针对旋转梁开展了大量的研究工作8-13。比如Wu等8建立了旋转悬臂梁振动模型。Yang等9基于时变单元对轴向运动自旋梁进行了动力学建模与分析。Warminski等10对具有拉伸效应的缓慢旋转梁进行了非线性振动及时滞控制研究。将FG-GPLRC应用于梁结构中是研究热点之一14-16，但现有文献中缺少关于 FG-GPLRC 旋转梁强迫振动主共振的研究。基于此，本文将研究GPLs含量、几何尺寸、物理性质等因素与旋转效应对梁非线性强迫振动的联合影响规律，为旋转梁的优化提供参考。1理论模型考虑图1所
7、示长、宽、高分别为L、b、h的FG-GPLRC旋转梁，该梁以转速r作旋转运动。图1中，R为轮毂半径，W=W(x,t)为沿z方向上的位移，t为时间。图1FG-GPLRC旋转梁模型设GPLs沿x轴和垂直x-z平面方向均匀分布，在z轴方向按对称、非对称、均匀3种形式分布，如图2所示。图3给出了GPLs在梁垂直于x轴的横截面上的分布情况，蓝色越深表示GPLs含量越高。图2GPLs分布函数示意图图3FG-GPLRC梁横截面GPLs含量分布示意图其数学描述可表示为：|1()z2()z3()z=|1-cos()zh1-cos()z2h+41（1）式中i(z)(i=1,2,3)为GPLs的分布函数。由GPLs
8、体积分数VGPL=Sii()z()i=1,2,3，可根据下式计算GPLs质量分数GPL17：-h2h2Sii()z dz=hmGPLmGPL+GPL-GPLGPL（2）其中，Si表示GPLs体积分布函数峰值，m和GPL分别为基底材料和GPLs的密度。由修正Halpin-Tsai微观力学模型可得FG-GPLRC有效弹性模量为：E()z=Em8()3()1+LLVGPL1-LVGPL+5()1+BBVGPL1-BVGPL（3）其中，|L=2 LGPLtGPLL=EGPL-EmEGPL+LEmB=2 bGPLtGPLB=EGPL-EmEGPL+BEm（4）上式中，EGPL和Em分别表示GPLs和基底
9、材料的弹性模量，LGPL、tGPL和bGPL分别为GPLs的平均长度、平均厚度和平均宽度。由混合原理得 FG-GPLRC 的密度为：()z=GPLVGPL+m()1-VGPL（5）假设 FG-GPLRC 旋转梁受到随时间作简谐变化的横向外激励，即432023年6月四川轻化工大学学报（自然科学版）FT()x,t=FT()x cos(t)（6）其中，FT为外激励幅值，为外激励频率，则基于Euler梁理论及 Hamilton原理可得 FG-GPLRC 旋转梁非线性强迫振动的控制方程为：DyW+mW?-m2r|R()L-x+12()L2-x2W+m2r()R+x W-32A11()W2W=FTcos(
10、t)（7）其中，()表示对x的偏导，m为梁面密度，Dy为梁弯曲刚度，A11为拉伸刚度。m，Dy及A11由下式计算：|m=A()z dADy=AE()z z2dAA11=AE()z dA（8）旋转悬臂梁边界条件为：W=W=0(x=0)W=W=0(x=L)（9）引入无量纲参量：|=xL,w=WL,Iy=112bh3,2r=mbhL42rEmIyr=RL,f=FTL2EmIy,=tEmIymbhL4c1=DyEmIy,c2=mmbh,c3=A11EmIy（10）其中，r表示无量纲转速，f表示无量纲外激励幅值。将式（10）代入式（7）得无量纲方程：c2w?+c1w-c2 2r|r()1-+12()1-
11、2w+c2 2r()r+w-32c3()w2w=fcos()（11）式(11)为非线性偏微分方程，首先采用Galerkin法将其离散为常微分方程，将位移函数 w()展开为：w()=i=1ni()qi()(n=1,2,3,)（12）其中，qi()为横向位移的广义坐标，i()为满足边界条件的i阶试函数，且有i()=ch(ki)-cos(ki)-()chki+coskish(ki)-sin(ki)shki+sinki（13）式中 ki满足coskichki=-1。将式（12）代入式（11）中得到离散后的方程，然后在方程两边同乘对应的各阶试函数 i()，并在梁的全长上进行积分，得到：c2i=1n()0
12、1ijdx q?i+c1i=1n()01ijdx qi+c2 2ri=1n|01()r+ijdx qi-c2 2ri=1n01|r()1-+12()1-2ijdx qi-32c3i=1nj=1nk=1n()01ijkldx qiqjqk=0（14）本文研究FG-GPLRC旋转梁的一阶共振响应，因此取离散阶数n=1，则式（14）化为：q?+21q1+q3=f1（15）其中，|21=1101c11+c2 2r(r+)11-c2|r 2r(1-)+12 2r()1-21dx=321c301()1211dxf1=f1011dx（16）其中，1=c201(1)2d。在主共振情况下，设外激励频率在系统的一
13、阶固有频率1附近，即：=1+21（17）其中，为小参数，1为调谐参数。引入以下尺度形式：q=qf1=3f1（18）则式（15）改写为：q?+21q+2q3=2f1cos()（19）引入不同尺度的时间参数：44第36卷第3期林位麒，等：功能梯度石墨烯增强复合材料旋转梁强迫振动Tn=n(n=0,1,2,)（20）并把不同的时间尺度变量Tn分别看作独立的变量。根据复合函数求导法则，对时间变量 的微分可写作：dd=T0dT0dt+T1dT1dt+T2dT2dt+=D0+D1+2D2+（21）d2d2=dd()T0dT0dt+T1dT1dt+T2dT2dt+=()D0+D1+2D2+2=D20+2D0D
14、1+2()D21+2D0D2+（22）其中符号Dn表示偏微分算子，定义为：DnTn()n=0,1,2,（23）在这里，只讨论二次近似解，将式（19）的解展开为：q()t,=n=02nqn()T0,T1,T2+（24）将式（24）代回式（19）可得：D20+2D0D1+2()D21+2D0D2q0+()D20+2D0D1q1+2D20q2+21()q10+q11+2q12-2()q0+q1+2q23=2f1cos()（25）比较等号两边的同次幂项的系数，得到0、2项的系数分别如式(26)、(27)所示：D20q0+21q0=0（26）D20q2+21q2=-()D21+2D0D2q0-2D0D1
15、q1+q30+f1cos()（27）式（26）的通解为：q0=A0ei1T0+A0e-i1T0（28）其中，A0为待定的复函数，A0为其共轭复数。将式（28）代入到式（27）中，并用欧拉公式展开外激励项得到：D20q12+21q12=-3A21A1-2i1D2A1+12f1ei2T0ei1T0+NST+cc（29）式中，cc表示其左边各项对应的共轭复数，NST表示非久期项，A1为幅值函数，为外激励频率。为了消去上式中的久期项，有如下表达式：-3A21A1-2i1D2A1+12f1ei2T0=0（30）把幅值函数A1表示为指数形式，即：A1()T2=12a()T2eig()T2（31）其 中 a
16、(T2)和 g(T2)均 为 T2的 实 函 数。将 其 代 入式（30）中，然后取1=T1 g，分离式（30）中的实部和虚部得到：1a?-12f1sin1=0（32）1ag?-3a38+12f1cos1=0（33）式中a为共振响应幅值。将稳态周期运动的解的条件a?=0、1=0代入式(32)、(33)中，可以得到：-381a3+1a=f121（34）式（34）可以看作是一个关于共振响应幅值a的一元三次方程，求解该方程可得系统在不同外激励下的响应幅值。2数值算例与讨论设梁由环氧树脂和 GPLs 制成，材料参数见表 1。模型几何参数：L=1 m，b/L=0.05，h/L=0.03，LGPL=2.510-6m，LGPL/bGPL=2，LGPL/tGPL=1000。表1环氧树脂和GPLs材料参数材料种类环氧树脂GPLs弹性模量E/GPa2.851.01103密度/(kg/m3)1200.01062.5首先对本文推导出的方法的准确性进行了验证。将构建的模型退化到旋转梁模型，不考虑GPLs的增强效果，计算得到相应的共振响应曲线，与已有的文献18做了对比，如图4所示。图4中可见，本文与文献18结果吻
