1、第 36 卷第 2 期2023 年 4 月振 动 工 程 学 报Journal of Vibration EngineeringVol.36 No.2Apr.2023结构恢复力非参数化模型识别的改进容积卡尔曼滤波方法杜义邦1，许斌1，2，赵冶1，邓百川3（1.华侨大学土木工程学院，福建 厦门 361021；2.福建省智慧基础设施与监测重点实验室（华侨大学），福建 厦门 361021；3.纽约州立大学布法罗分校土木、结构与环境工程系，纽约 布法罗 14260）摘要:对地震等强动力荷载作用过程中结构损伤的发生发展过程进行识别，必须考虑结构行为的非线性。本文运用相对位移和相对速度的幂级数多项式表征结
2、构恢复力模型，提出一种基于改进的容积卡尔曼滤波算法（Updated Cubature Kalman Filter，UCKF）和结构部分自由度上加速度响应时程的结构参数、未知响应及恢复力非参数化模型识别方法。以一个含磁流变阻尼器的多自由度数值模型为例，考虑 20%的加速度响应测量噪声影响，识别出模型的结构参数、未知响应及阻尼力。并将本文方法所得结果分别与基于扩展卡尔曼滤波算法、传统容积卡尔曼滤波算法及含记忆衰退的扩展卡尔曼滤波算法所得结果进行比较。对一个带磁流变阻尼器的四层剪切型框架模型进行激振试验，基于部分自由度上的加速度响应时程实测值，识别出结构参数、未知动力响应以及阻尼器阻尼力的非参数化模
3、型，通过与实测结果的比较，验证了本文方法的可行性。关键词:非线性恢复力；改进的容积卡尔曼滤波；非参数化识别；幂级数多项式；磁流变阻尼器中图分类号:TU311.3 文献标志码:A 文章编号:1004-4523（2023）02-0389-11 DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2023.02.010引言土木工程结构在服役过程中，除了因材料劣化等因素会出现结构损伤和性能退化外，也往往会因地震等强动力荷载的作用出现不同程度损伤甚至破坏。对强动力荷载作用过程中结构损伤的发生发展过程进行识别，并据此对结构剩余承载力和剩余寿命进行预测是亟待解决的课题。严格来讲，基于结构特征值和特
4、征向量抽取的结构识别方法仅适用于线性系统，可近似应用于材料劣化等引起的结构刚度缓慢变化情况下的识别问题。但结构在地震等强动力荷载作用过程中损伤的发生发展过程是一个典型的非线性过程，不同结构构件在不同时刻进入非线性阶段，构件和结构层次的刚度并非保持不变，运用特征值或特征向量来识别刚度，并用其描述不断发展的损伤存在不合理性。不同于刚度，结构或构件在振动过程中的恢复力是其非线性行为的最直接描述，结合结构动力响应识别结果，不仅可以评价不同构件在不同时刻和不同变形情况下的损伤状态，还可以定量计算振动过程中的耗能1-2。此外，由于实际土木工程结构材料和类型的多样性，结构恢复力往往难以通过某一事先假定的统一
5、参数化数学模型来准确描述。因此，针对强动力荷载作用后或灾后结构损伤的识别问题，通过建立恢复力的非参数化模型并识别结构恢复力具有重要意义。相较于线性结构，由于结构材料和类型的多样性，非线性结构的识别问题难度更大，因而得到国内外学者的重视。针对非线性结构的识别问题，Masri等3提出了恢复力曲面法并将其推广应用到了多自由度非线性动力系统。随后，Smyth 等4提出了一种基于最小二乘的结构参数的在线自适应识别方法，并估计了结构非线性恢复力。Xu等5-6基于线性等效思想，运用最小二乘法识别了结构恢复力，并运用一个具有磁流变（Magneto Rheological，MR）阻尼器的多自由度剪切型框架模型的
6、动力试验实测数据验证了该方法的可行性。考虑实际结构恢复力参数化模型难以预先确定的问题，许斌等7-8分别运用幂级数多项式和切比雪夫多项式作为结构非线性恢复力的非参数化模型，提出了恢复力的非参数化识别方法，并分别通过含有 MR 阻尼器和形状记忆合金阻尼器（Shape Memory Alloy，SMA）的非线性多自由度系统的数值模拟和模型试验实测数据，验证了所提出方法的有效性。收稿日期:2021-09-27；修订日期:2022-02-02基金项目:国家自然科学基金资助项目（50978092）；华侨大学科研基金资助项目（605-50Y18016）。振 动 工 程 学 报第 36 卷基于状态空间模型递推
7、的卡尔曼滤波类算法被广泛用于解决实际工程结构中激励与系统动力响应信息不完全已知情况下结构的识别问题。Jaz-winski9利用扩展卡尔曼滤波方法（Extended Kal-man Filter，EKF）对加速度测量进行滤波，并通过预测与估计识别得到了结构参数。Hoshiyam 等10提 出 了 加 权 全 局 迭 代 扩 展 卡 尔 曼 滤 波 算 法（Ex-tended Kalman Filter-Weighted Global Iteration，EKF-WGI）。王祥建等11又引入记忆衰退技术提高了 EKF 算法的稳定性。Lei 等12-13和 Liu 等14基于等效线性方法，实现了部分
8、观测下结构参数及非线性恢复力的识别。张肖雄等15-16则通过引入投影矩阵，推导了改进的观测方程，实现了外激励的实时识别。Xu 等17基于勒让德多项式和位移与加速度的数据融合方法，对结构恢复力和未知激励进行识别。EKF 通过一阶泰勒级数将非线性函数线性化，该方法存在精度不高、易于发散以及只适用于弱非线性系统的缺点。由于对概率分布进行近似要比对非线性函数进行近似容易得多，基于该思想，Julier等18-19提出了无迹变换（Unscented Transform，UT）与无迹卡尔曼滤波算法（Unscented Kalman Filter，UKF）。UKF对非线性函数的概率密度分布进行近似，用一系列确
9、定样本来逼近状态的后验概率密度。Wan等20验证了 UKF 的有效性。Wu等21-22的研究结果表明，在噪声更大的情况下对高维系统的参数进行估计时，UKF 相较于 EKF 具有更高的识别精度。Xie 等23运 用 迭 代 无 迹 卡 尔 曼 滤 波（Iterated Unscented Kalman Filter，IUKF）对 Bouc-Wen滞回系统进行识别，结果表明，相较于 UKF，IUKF 的识别精度更高和算法鲁棒性更好。针对地震作用下结构刚度突变的识别问题，Bisht等24提出了一种具有跟踪结构参数突变能力的自适应无迹卡尔曼滤波算法（Adaptive Unscented Kalman
10、Filter，AUKF），数值模拟结果表明，该方法能对多个结构构件在不同时刻的参数突变进行有效识别。实际应用卡尔曼滤波时，模型误差、噪声误差、计算误差均可能会造成预测误差协方差矩阵和增益矩阵随迭代次数增加而减弱修正状态估计的情况（即数据饱和或者观测老化），并进而导致滤波发散。针对此问题，渐消记忆滤波的扩展卡尔曼滤波算法（Extended Kalman Fil-ter-Memory Fading，EKF-MF）被提出，该算法通过增大新数据的作用而降低旧数据的负面影响25-26。为准确估计系统的噪声统计特性，Sage等27提出了一种可实时估计系统及测量噪声的自适应滤波算法，该方法在滤波的同时利用观
11、测量信息，对模型参数、噪声特性进行实时调整，进一步提高了滤波精度。为克服 UFK 在高维系统中出现滤波精度低和数值计算不稳定的问题，加拿大学者 Arasaratnam等28于 2009 年首次提出了基于 Cubature 变换的容积 卡 尔 曼 滤 波 算 法（Cubature Kalman Filter，CKF）。基于三阶球面径向容积准则（Cubature 准则），使用 2n 个（n 为扩展状态向量的维数）权值相同的容积点（Cubature 点），经非线性系统方程转换后进行加权处理，来逼近具有附加高斯噪声的非线性系统的状态均值和协方差。常宇健等29对比了EKF，UKF 和 CKF 的滤波性能
12、，结果表明 EKF 的滤波性能最差，而 UKF 对于高维非线性系统不仅调解参数困难，且在滤波过程中可能会出现协方差非正定的情况，使滤波结果不稳定甚至发散，而CKF 的滤波结果优于 EKF 与 UKF。孙枫等30比较了 CKF 与 UKF 的滤波精度，并通过数值模拟验证了对于高维（n3）的非线性系统，CKF 的精度、稳定性均高于 UKF，建议选择 CKF 作为滤波方法。CFK 是理论上当前最接近贝叶斯滤波的近似算法，是解决非线性系统状态估计的强有力工具。其中，将积分形式变换成球面径向积分形式和三阶球面径向准则是最为重要的两个步骤。CKF 方法一经提出便在姿态估计、导航、连续系统和混合滤波等领域得
13、到应用30。本文将记忆衰退权重、奇异值分解及 Sage-Hu-sa自适应滤波算法引入 CKF，提出一种运用改进的容 积 卡 尔 曼 滤 波 算 法（Updated Cubature Kalman Filter，UCKF）及部分加速度测量，适用于结构质量、刚度和阻尼参数均未知情况，不依赖于结构恢复力参数化模型的非线性结构识别方法。该方法基于UCKF，利用幂级数多项式表征结构非线性恢复力的非参数化模型，利用部分加速度测量响应，预测结构质量、刚度、阻尼系数，识别未知速度和位移响应以及幂级数多项式的系数，建立恢复力的非参数化模型，进而可以得到结构在振动过程中恢复力时程曲线及滞回曲线。为验证所提出方法的
14、可行性，首先建立了一个含 MR 阻尼器的四自由度的集中质量非线性数值模型，考虑 20%的加速度测量噪声的影响，通过本方法的识别结果与其理论值的比较，验证本文所提出方法的有效性与精确性。其次，将基于本 文 UCKF 方 法 的 识 别 结 果 与 基 于 EKF，CKF，EKF-MF 方法的识别结果进行比较，验证了本文方法的优点。最后，通过一个带 MR 阻尼器的四自由度非线性钢框架模型的动力试验，利用部分自由度上的加速度响应观测值，对模型的质量、刚度、阻尼系数、未测量动力响应时程及 MR 阻尼器阻尼力的非参数化模型进行识别，通过比较识别所得 MR 阻尼力与与试验实测值，进一步验证了本文方法的识别
15、结果的准确性。390第 2 期杜义邦，等：结构恢复力非参数化模型识别的改进容积卡尔曼滤波方法1基于 UCKF 与幂级数多项式的恢复力非参数化模型识别方法1.1等效线性化在外激励作用下，一个含非线性元件的多自由度动力系统的运动平衡方程可写为：Mx?(t)+Cx?(t)+Kx(t)+fnon(t)=f(t)（1）式中M，K和C分别为结构质量、刚度和阻尼矩阵；x?(t)，x(t)和x?(t)分别为加速度、位移和速度响应向量；fnon(t)为非线性元件的恢复力；f(t)为外激励。将式（1）进行等效线性化31，可得到如下方程：MEx?(t)+CEx?(t)+KEx(t)=f(t)（2）式中ME，CE和K
16、E分别表示等效线性结构的质量、阻尼和刚度矩阵。在结构非线性的发展过程中，可合理认为结构质量是不变的，故可将ME视为结构质量的识别值。一般而言，式（1）中结构非线性恢复力会体现在等效线性结构参数CE与KE的变化上。1.2恢复力非参数化模型的幂级数多项式表示式（2）可进一步表达为：Mx?(t)+Rnon(t)=f(t)（3）式中Rnon(t)为结构总非线性恢复力，可表示为：Rnon(t)=CEx?(t)+KEx(t)（4）对于链式结构，两个自由度间的非线性恢复力可通过一组相对速度及相对位移的幂级数多项式来表达31，如下式所示：Rnoni，i-1(t)k=1Kj=0J krnoni，i-1，k，jvji，i-1sK-ji，i-1（5）式中Rnoni，i-1(t)表示结构第i个与第i-1个自由度间总非线性恢复力；vi，i-1与si，i-1分别表示结构第i个与第i-1个自由度间的相对速度及相对位移；rnoni，i-1，k，j为幂级数多项式的系数。J取整数，K 的取值与结构的非线性程度相关，本文中取 K=3。根据式（5），结构第i个自由度的运动平衡方程可离散为：mix?i+k=1Kj=0J krn
