1、第40卷第2期2023年3月新疆大学学报（自然科学版）（中英文）Journal of Xinjiang University(Natural Science Edition in Chinese and English)Vol.40,No.2Mar.,2023具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型研究王雅萍，王生福，聂麟飞(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)摘要：基于HIV的传播特点，将易感人群分为普通易感人群和高危易感人群，提出一类具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型 利用下一代算子方法给出基本再生数R0的精确表达式 讨论无病平衡态和地方病平衡态的存在
2、性与稳定性，即：当R01时地方病平衡态全局渐近稳定关键词：HIV传播；高危易感人群；潜伏期年龄；基本再生数；稳定性DOI：10.13568/ki.651094.651316.2022.04.06.0001中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：2096-7675(2023)02-0160-09引文格式：王雅萍,王生福,聂麟飞.具有高危易感年龄和潜伏期年龄的 HIV 传播模型研究J.新疆大学学报(自然科学版)(中英文),2023,40(2):160-168+174.英文引文格式：WANG Yaping,WANG Shengfu,NIE Linfei.Analysis of HIV trans
3、mission model with high-risksusceptible age and latent ageJ.Journal of Xinjiang University(Natural Science Edition in Chinese and English),2023,40(2):160-168+174.Analysis of HIV Transmission Model with High-RiskSusceptible Age and Latent AgeWANG Yaping,WANG Shengfu,NIE Linfei(School of Mathematics a
4、nd System Sciences,Xinjiang University,Urumqi Xinjiang 830017,China)Abstract：Based on the transmission characteristics of HIV,the susceptible population is divided into generalsusceptible population and high-risk susceptible population,and an HIV transmission model with high-risk suscep-tible age an
5、d latent age is developed.The exact expression of the basic reproduction number R0is obtained byusing the next generation operator method.The existence and stability of disease-free steady state and endemicsteady state are discussed,that is,the disease-free steady state is globally asymptotically st
6、able for R01.Key words：HIV transmission;high-risk susceptible population;latent age;basic reproduction number;stability0引 言艾滋病医学全名为获得性免疫缺陷综合征(Acquired Immune Deficiency Syndrome,AIDS),是一种危害性极大的传染性疾病.自1981年世界上发现第一例艾滋病病毒(Human Immunodeficiency Virus,HIV)感染者以来,AIDS便以惊人的速度向全球蔓延,现已成为全球最大的公共卫生问题之一.据联合国艾滋病
7、规划署和世界卫生组织2018年公布的数据,全球约有3 950多万人感染艾滋病病毒,因艾滋病死亡人数达290多万1.近年来各国都在加大力度预防和控制艾滋病的传播,诸多学者也从不同角度出发建立了各类动力学模型,利用数学模型刻画HIV/AIDS的流行规律和流行趋势.例如,文献2-3提出了具有治疗的HIV/AIDS模型,用下一收稿日期：2022-04-06基金项目：国家自然科学基金“多宿主传染病模型动力学分析及应用”（11961066）；新疆维吾尔自治区自然科学基金“基于异质性的艾滋病传播的数学建模与防控分析以新疆为例”（2021D01C070）作者简介：王雅萍（1998-），女，硕士生，从事微分方程
8、理论及其应用的研究，E-mail:通讯作者：聂麟飞（1978-），男，博士，教授，主要从事微分方程理论及其应用的研究，E-mail:第2期王雅萍，等：具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型研究161代矩阵方法定义了基本再生数并刻画了HIV传播的全局动力学行为.文献4利用随机常微分方程建立了HIV传播模型,证明了模型全局正解的存在唯一性,给出了疾病灭绝和持续存在的充分条件.然而,上述HIV传播动力学模型在数学建模时都对易感人群采用了同质性假设,忽略了一些高危易感人群(如,血友病患者,吸毒者等)比普通易感人群更容易感染HIV,这会导致所得到的结果可能会跟实际情况有一定的偏差.因此,将易感人群
9、分为普通易感人群和高危易感人群,考虑具有不同感染率的HIV传播模型更具有现实意义.此外,在传染病的传播过程中,仓室年龄,如感染年龄、疫苗年龄等因素对疾病的传播有着重要的影响.例如,病原体在宿主之间的传播率与其入侵宿主的时间长短密切相关.目前,已有学者关注了这一问题,如,Mccluskey5提出了具有潜伏年龄和感染年龄的传染病模型,证明了该模型解的渐近光滑性和一致持久性,并通过构造Lyapunov函数研究了地方病平衡态的全局稳定性,其建模思想和研究方法被广泛引用68.基于上述讨论,为更精准地描述HIV/AIDS的传播规律,本文将易感人群分为高危易感人群和普通易感人群,提出一类具有高危易感年龄和潜
10、伏期年龄的HIV传播模型,讨论该模型无病平衡态和地方病平衡态的存在性和稳定性以及疾病的持久性.1模型的建立和预备知识将某个特定地区的人群分为五类:普通易感类、高危易感类、潜伏类、感染类、治疗类,并分别用S1(t),S2(t,a),E(t,b),I(t),J(t)表示,这里a,b分别表示高危易感类和潜伏类的仓室年龄.基于艾滋病在不同人群间的传播规律,建立如下具有类年龄结构的HIV传播模型,该模型由微分方程组|dS1(t)dt=hpS1(t)S1(t)1S1(t)I(t)+0(a)S2(t,a)da(t+a)S2(t,a)=(a)+2(a)I(t)S2(t,a),S2(t,0)=pS1(t)(t+
11、b)E(t,b)=(b)+)E(t,b)E(t,0)=1S1(t)I(t)+I(t)02(a)S2(t,a)dadI(t)dt=0(b)E(t,b)dbI(t)I(t)(1)和dJ(t)dt=I(t)J(t)J(t)(2)组成.这里,参数h为人群的补充率;1,2(a)分别是艾滋病感染者对普通易感者和高危易感者的感染率系数;p是普通易感者由于沾染不良行为转变成高危易感者的速率;(a)是高危易感者由于接受教育或改变自身行为等因素变为普通易感者的比率;(b)是HIV潜伏者发展为艾滋病感染者的速率;为因病死亡率;为人口的自然死亡率.由于个体感染艾滋病后无法治愈,所以表示感染个体的治疗率.注意方程(2)
12、与模型(1)是解耦的,因此只需考虑模型(1)的动力学行为,其初始条件为:(S1(0),S2(0,a),E(0,b),I(0)=(S10,S20(a),E0(b),I0)R+L1+(0,)L1+(0,)R+,这里R+=0,+),L1+(0,)是由定义在(0,)上的非负可积函数构成的空间.定义模型(1)的状态空间为X=R+L1+(0,)L1+(0,)R+,其范数为(x1,x2,x3,x4)X=|x1|+0|x2(a)|da+0|x3(b)|db+|x4|,其中(x1,x2,x3,x4)X.对任意x()L1+(0,),定义x()1=0|x()|d.为了简化计算,引入如下记号,对任意a,b 0,(t,
13、)=()+2()I(ta+),(t,a)=ea0(t,)d,(a)=(a)+2(a)I,(a)=ea0()d,(a)=(a)+,(a)=ea0()d,(b)=(b)+,(b)=eb0()d.应用Volterra公式,对模型(1)的第二、三个方程分别沿着特征线ta=c,tb=c(c为常数)积分可得S2(t,a)=S2(ta,0)ea0(t,)d=pS1(ta)(t,a),ta0S2(0,at)eaat(t,)d=S20(at)(t,a)1(t,at),at0(3)162新疆大学学报（自然科学版）（中英文）2023年E(t,b)=(1S1(tb)+02(a)S2(tb,a)da)I(tb)(b),
14、tb0E0(bt)(b)1(bt),bt0(4)为讨论模型(1)解的适定性,将其改写为抽象的Cauchy问题.令X=RRL1(0,),R)RL1(0,),R)R,定义线性算子A:D(A)X X和非线性算子F:D(A)X为A=|(p+)11(0)1(+)12(0)2(+)2(+)2|,F=|h112+0(a)1(a)dap1212112+202(a)1(a)da00(b)2(b)db|,其中=(1,0,1,0,2,2)(表示向量的转置),D(A)=R0W1,1(0,),R)0W1,1(0,),R)R,D(A)=R0L1(0,),R)0L1(0,),R)R,且D(A)在X中不稠密,W1,1(0,)
15、,R)是Sobolev空间,即由定义在(0,)上所有绝对连续函数构成的空间.令u(t)=(S1(t),0,S2(t,),0,E(t,),I(t),则模型(1)可写为du(t)dt=Au(t)+F(u(t),u(0)=u0=(S1(0),0,S2(0,),0,E(0,),I(0)(5)求解系统(5)可得u(t)=u0+At0u(s)ds+t0F(u(s)ds.令X0=D(A),X0+=R+0L1+(0,),R)0L1+(0,),R)R+.由文献9中的定理3.2可知,(A,D(A)是一个Hille-Yosida算子.从而由文献9中的引理2.2,它在其定义域的闭包上生成一个C0半群.因此,关于模型(
16、1)解的适定性,有下面的定理.定理1对任意的u0 X0+,模型(1)存在唯一的积分形式的连续解u(t).此外,由(t,u0)=u(t,u0)定义的映射:0,+)X|X是一个连续的半流,即,映射是连续的且满足(0,)=I(I是单位映射)和(t,(z,)=(t+z,).定理2对任意t0,具有非负初始条件的模型(1)的解都是非负且最终有界的.证明首先,对任意t0,S1(t)是非负的.事实上,若存在t00使得S1(t0)=0且对t 0,t0),S1(t)0,则有S1(t0)0.另一方面,由模型(1)的第一个方程和式(3)可得S1(t0)=h+t00(a)pS1(t0a)(t0,a)da+t0(a)S20(at0)(t0,a)(t0,at0)da0,这是矛盾的.因此,对任意t 0,S1(t)0.同理,对任意t 0,I(t)也是非负的.进而,由式(3)和(4),对任意t0,满足非负初始条件的S2(t,a)和E(t,a)是非负的.下证解的最终有界性.记H(t)=S1(t)+0S2(t,a)da+0E(t,b)db+I(t),则ddtH(t)h(S1(t)+0S2(t,a)da+0E(t,b)db+I
