1、 年第 卷 月第 期机 械 科 学 与 技 术 ：收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）、中国博士后科学基金会项目（）、陕西留学人员科技活动择优项目（）及陕西省教育厅协同创新中心项目（）作者简介：舒定真（），硕士，研究方向为结构优化设计与分析、轻量化设计，通信作者：郭伟超，副教授，硕士生导师，博士，舒定真，郭伟超，苏力争，等利用聚类分析的宏细观多尺度并行拓扑优化设计方法研究机械科学与技术，（）：利用聚类分析的宏细观多尺度并行拓扑优化设计方法研究舒定真，郭伟超，苏力争，任鹏飞，刘永，李言（西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，西安；西安电子工程研究所，西安）摘要：多孔材料因为具有质量轻、比
2、刚度和比强度大、隔振和隔热效果好等优点，越来越多的应用在航空航天和制造装备等领域。为充分发挥多孔材料的性能，本文提出同时考虑结构的宏观性能和细观微结构性能的多尺度并行拓扑优化设计方法，获得性能优良的多孔结构。论文采用聚类方法有效降低了计算成本，针对并行优化难收敛的问题提出改进模型，使迭代平稳收敛。最后以经典的悬臂梁、梁和 结构为例进行优化设计，通过对宏细观多尺度并行优化结果的分析，验证了所提方法的有效性与正确性。关键词：拓扑优化；多尺度；并行设计；聚类；微结构中图分类号：文献标志码：文章编号：（），（，；，）：，：；结构拓扑优化是用来寻找给定设计域最优结构材料分布的一种方法，被广泛应用在航空航
3、天、汽车、医学等领域。近年来已开发出许多不同的拓扑优化方法，例如均匀化方法、变密度法、进化结构法、水平集法等。随着现代工业产品对结构性能要求的日益提升，传统拓扑优化已无法满足这样的需机 械 科 学 与 技 术第 卷：求。由微结构组成的多孔结构具有出色结构性能的同时结构质量更轻，例如具有更高的比刚度和比强度，更好的能量吸收率，更强的热传导能力等性能。传统的蜂窝夹层结构由于其制造简单，已在航空航天、汽车、船舶等领域得到广泛的应用。增材制造（，）技术的出现极大的增加了结构设计、制造方面的自由度，具有复杂构型的多孔结构制造已不再是难题。使用拓扑优化的方法可以对微结构进行设计，得到性能优异的多孔结构。考
4、虑微结构的拓扑优化方法主要可以分为单尺度拓扑优化与多尺度拓扑优化。单尺度拓扑优化只考虑微结构的性能，从而得到具有特定性能的微结构，例如设计具有负泊松比、最大体积 剪切模量、特定热传导率等性能的微结构。这种方法主要集中在材料的细观结构设计上，为了追求性能更高的结构，应同时考虑材料的细观结构及宏观边界条件，因此多尺度拓扑优化的需求变的越来越强烈。从结构性能最大化的角度上看，应该对每个微结构进行设计，但这样设计变量的数目就会变的十分庞大，计算成本令人难以接受。为了将计算量降到可接受的程度，同时又得到整体性能较好的结构，目前大多数多尺度拓扑优化方法是假设宏观结构被划分为有限个区域，同一区域具有相同的微
5、结构，以此实现结构性能与计算效率并重的目的。等基于水平集的方法研究了具有多区域微结构的多尺度拓扑优化，采用自由材料分布的优化方法得到不同微结构的区域来限制微结构的位置，再采用并行优化得到微结构的构型和分布。杜义贤等研究了具有吸能和承载特性的多尺度优化结构，采用聚类的方法划分宏观区域，再根据聚类后的结果进行了微结构设计。等采用基于聚类的优化方法进行了防撞结构设计，通过模型全局优化、聚类、微结构设计等步骤对 维和 维结构进行优化设计验证了方法的有效性。等提出 均值聚类的微结构拓扑优化方法，在优化流程上使用非并行多尺度优化，首先对宏观结构进行拓扑优化，根据宏观优化结果使用聚类方法划分微结构的区域，之
6、后对每个区域内的微结构进行优化分析，同时通过引入转动自由度解决了微结构之间的连接性问题，得到连接性能良好的结构。目前采用聚类的多尺度拓扑优化方法没有考虑微结构构型对宏观聚类结果的影响，微结构构型优化与宏观优化是分开进行的，属于非并行的优化。本文提出了一种新的基于聚类方法的多尺度并行拓扑优化方法，针对宏观优化结果，采用聚类的方法进行微结构区域划分，得到微结构的体积及宏观位置分布；再进行细观的微结构拓扑优化，得到微结构的构型；之后将优化结果反映在宏观上，指导下一步的宏观优化，依次循环，直到得到最佳微结构构型及位置分布。这种方法根据每步优化的结果及时更新微结构的位置及体积，增加了设计的自由度。利用聚
7、类分析的多尺度并行拓扑优化模型多尺度拓扑优化需要根据宏观的优化结果指导细观微结构优化的进行。变密度法能产生丰富的中间密度单元，以中间密度单元作为微结构的体积约束，可以十分便利的进行多尺度优化，因此本文选取变密度法作为多尺度并行优化方法。固体各向同性材 料 惩 罚 模 型（，）是变密度法的最常用模型，主要原理是通过引入惩罚因子，建立单元相对密度与材料属性之间的显示表达式，其作用是对相对密度在（，）之间的单元进行惩罚，使其向 或 靠近，即（）式中：为单元相对密度为 时的弹性模量；为单元 的弹性模量；为单元 的密度；为惩罚因子。当 时对单元有惩罚的作用，当 时对单元无惩罚作用。为了产生丰富的中间密度
8、单元来设计微结构，宏观优化的，一般的，细观微结构优化的。在给定优化设计模型的前提下，以结构最大化刚度（柔度最小）作为设计目标，建立并行设计的宏观优化及细观微结构优化的数学模型为：，（，；，；，）（）（）（，）（，），|（）式中：为宏观单元总数；为微结构种类数；为第 类微结构包含的宏观单元数目；为微结构单第 期 舒定真，等：利用聚类分析的宏细观多尺度并行拓扑优化设计方法研究：元总数；为目标函数即结构柔度；为材料相对密度即设计变量；是材料最小相对密度；为第 个宏观设计变量；，为第 类微结构中的第 个设计变量；为宏观优化惩罚因子；为细观微结构优化惩罚因子；为第 个宏观单元位移向量；，为第 类微结构中
9、的第 个单元位移向量；为材料相对密度为 时的单元刚度矩阵；为宏观整体结构体积约束；为细观微结构体积约束（由聚类值决定）；为宏观整体结构最大可允许材料使用量；，为第 类微结构最大可允许材料使用量；为宏细观整体结构的载荷向量；为宏细观整体结构的位移向量；为宏细观整体结构的刚度矩阵。宏观优化的惩罚因子为 得到数量众多的中间密度单元，为减少设计变量提升计算效率，需将密度划分为数个区域，同一区域密度值相同。在多尺度优化中，其设计变量数目为（）。采用聚类策略，将多个宏观单元映射到同一个微结构，共享同一组设计变量，其设计变量数目减少为（），由此可见聚类方法可以有效地提升多尺度优化计算效率。常用的聚类方法有模
10、糊 均值聚类、均值聚类、层次聚类等方法。在对宏观优化结果进行划分时，采用模糊 均值聚类法得到的结果较稳定，故本文采用模糊 均值聚类法对结构进行聚类分析。在对宏观单元进行区域划分时，可以采用均匀密度划分方法将 分布的密度分为 等份，也可以采用聚类策略将宏观单元密度分为 区域。如图）所示为宏观优化结果，对宏观优化结果进行均匀密度划分。图 宏观单元密度划分将 之间的密度均匀的分为 类，当单元密度属于，.）时，假定单元密度为.；当单元密度属于.，.）时，假定单元密度为.；当单元密度属于.，.）时，假定单元密度为.；当单元密度属于.，.）时，假定单元密度为.；当单元密度属于.，时，假定单元密度为.，得到
11、均匀密度划分的结果如图）所示。采用模糊 均值聚类的方法对宏观单元进行划分，聚类数目为 类，划分后的单元密度分别为.，.，.，.，.，结果如图）所示。图 目标函数迭代曲线根据均匀密度划分和聚类划分的结果进行微结构优化设计。优化的目标函数迭代曲线如图 所示。采用均匀密度划分最终迭代的步数为 步，结构柔度为.；采用聚类划分最终迭代的步数为 步，结构柔度为.，与均匀密度划分方法相比性能提升了.。由此可以看出采用聚类方法划分宏观单元的分布更为合适。宏细观灵敏度分析为了求解上述包含多类微结构的多尺度并行优化模型，需要对宏观优化及细观微结构优化的目标函数进行敏度分析，即目标函数对设计变量的偏导，作为设计变量
12、的迭代更新的依据。宏观优化模型的敏度为：（）（），（）式中，为第 个宏观单元内包含的第 个微结构单元的应变能。细观微结构优化模型的敏度为：（，），（，），（，），（）式中：，；，为第 类微结构中的第 个宏观单元内包含的第 个微结构单元的应变能。在并行优化的后期阶段，由于聚类方法的加入，处于两聚类范围边界的密度值的划分会出现跳动现机 械 科 学 与 技 术第 卷：象，会极大的增加优化时间，所以本文建立聚类结果改进模型，方法为：，其他 ，（，），（）式中：，为采用聚类结果改进后的密度；为改进前密度；，为定义的相邻迭代步数；为当前迭代步数；为相邻（，）次优化中目标函数最小的密度；，为第 代的第 个宏
13、观密度；相邻（，）次优化密度值的均值；为自定义的收敛因子，定义的越小，目标函数收敛速度越慢。将聚类结果改进模型加入多尺度并行优化模型中，优化的目标函数迭代图变化如图 所示。图 聚类结果改进模型比较从图 中可以看出，在加入聚类结果改进模型后，目标函数在迭代 步以后变得平稳，能更快速的进入收敛，且目标函数最优值变化的很小，证明了改进模型的有效性。多尺度并行拓扑优化设计流程在确定宏观结构尺寸、单元数量、惩罚函数、聚类数，细观微结构尺寸、单元数量、惩罚函数后，采用模糊 均值聚类的方法对宏观密度进行聚类，得到微结构的密度及位置分布。为了减少聚类边界密度值的跳动现象，使用聚类结果改进模型对聚类后的密度进行
14、修正，对修正后的模型进行宏细观有限元分析，求解宏观结构及细观不同构型微结构的灵敏度。在 得 到 灵 敏 度 信 息 后，采 用 优 化 准 则 法（，）进行宏细观设计变量的更新，直到目标函数收敛后输出宏观整体结构及细观不同微结构的构型。具体求解流程如图 所示。图 基于聚类的宏细观多尺度并行拓扑优化流程图 数值算例及结果分析在本节中，采用上述构造的“基于聚类的宏细观多尺度并行拓扑优化模型”，针对拓扑优化中经典的悬臂梁、梁、结构问题进行讨论分析，验证构建模型的有效性。在所有模型案例中，结构的边界条件和材料属性都采用无量纲形式，假设杨氏模量为，泊松比为.，为避免刚度矩阵的奇异，令孔洞部分的杨氏模量为
15、。并行与非并行优化结果分析基于聚类方法的多尺度非并行优化的主要思想是采用聚类方法对宏观优化后的结果进行聚类，以宏观聚类结果指导细观微结构优化，在细观微结构优化时宏观形状不再改变。与并行优化相比，非并行优化实现较简单，收敛速度较快，但最终得到的结构性能较并行优化得到的结构性能差。图 悬臂梁结构设计域如 图 所 示，优化 模 型 为 悬 臂 梁 结构，几 何 尺 寸 和 分别为、，宏观结构设计域离散为 个 有 限 单元，每个 单 元 尺 寸 为。细观微结构的几何尺寸为 ，离散为 个有限单元，一个宏观单元包含一个第 期 舒定真，等：利用聚类分析的宏细观多尺度并行拓扑优化设计方法研究：微结构。宏观结构
16、左侧全约束，宏观载荷采用无量纲形式 ，施加在右侧边界的中间位置，优化目标为最大化结构刚度，体积约束为整体结构体积的。多尺度非并行拓扑优化首先需要对宏观结构进行拓扑优化，令惩罚因子，结果如图）所示。采用模糊 均值聚类，聚类数为。聚类后小于.和大于.的密度，其微结构会出现极细的杆或极小的孔洞，制造会是个难题，所以当聚类密度属于，.时，假定其密度为，当聚类密度属于.，时，假定其密度为。聚类值为，.，.，.，结果如图）所示。图 宏观优化及聚类结果根据宏观聚类结果进行细观微结构优化，惩罚因子 即可，在本算例中取 .，得到的微结构较清晰，过滤半径.，微结构优化结果如表 所示，包含了体积百分比分别为、的微结构单胞最优构型图、周期性分布图。整体结构最优构型如图 所示，结构最终柔度.。表 非并行悬臂梁微结构优化结果体积百分比 单胞图 非并行悬臂梁结构最优构型采用多尺度并行拓扑优化对上述悬臂梁模型进行求解，模型尺寸、网格数量、体积分数都保持不变，宏观惩罚因子，细观微结构惩罚因子.，过滤半径.，微结构优化结果如表 所示，包含了体积百分比分别为、的微结构单胞最优构型图、周期性分布图。整体结构最优构型如图 所示
