1、第 44 卷第 6 期2 0 2 3 年 6 月兵工学报ACTA AMAMENTAIIVol 44 No 6Jun2023DOI:10 12382/bgxb 2022 0175梁弯曲振动的键合空间表示及其在炮口扰动分析中的应用林圣业1，王茂森1，谢杨杨2，李勇2，戴劲松1(1 南京理工大学 机械工程学院，江苏 南京 210094;2 西北机电工程研究所，陕西 咸阳 712000)摘要:为模拟梁类复杂系统的动力学行为，基于键合空间理论建立 Timoshenko 梁弯曲振动的动力学模型和固有频率特性分析方法。定义梁单元势、流、动量和位变空间向量，推导以动量空间向量和位变空间向量及其 1 阶导数表示
2、的梁单元状态方程;通过直接求解特征值问题获得梁弯曲振动的固有频率和相应振型，所提方法与解析法计算的前 6 阶固有频率最大相对误差为0.796 0%，MAC 不小于 0.997 2，说明梁弯曲振动键合空间模型是正确的。在此基础上，将所建梁弯曲振动键合空间模型嵌入某火炮自动机系统发射动力学模型中，开展了炮口扰动分析，仿真与连发射击试验测试结果相符，说明所建炮口扰动分析模型是正确的，为弹炮耦合发射系统动力学分析提供了新方法。关键词:Timoshenko 梁;弯曲振动;固有频率;炮口扰动;键合空间法中图分类号:TJ301文献标志码:A文章编号:1000-1093(2023)06-1775-09收稿日期
3、:2022-03-21基金项目:基础加强计划重点项目(2019 年)Bond Space Expression of Bending Vibration in Timoshenko Beamand Its Application in Muzzle Disturbance AnalysisLIN Shengye1，WANG Maosen1，XIE Yangyang2，LI Yong2，DAI Jinsong1(1 School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 21009
4、4，Jiangsu，China;2 Northwest Institute of Mechanical Electrical Engineering，Xianyang 712000，Shaanxi，China)Abstract:In order to accurately simulate the dynamic behavior of complex beam system，a dynamicmodel for the Timoshenko beam is established based on the bond space theory，and the method to analyze
5、the natural frequency is presented The space vectors of effort，flow，momentum，and displacement forthe beam unit are defined，and the state equations expressed in momentum space vectors，displacementspace vectors，and their first derivatives are derived Then，the natural frequencies and correspondingmode
6、shapes of the bending beam are obtained by directly solving the eigenvalue problem The naturalfrequencies of the free beam，calculated using the proposed bond space approach，match well with theanalytical method On this basis，the proposed model for the bending beam is used to extend thetraditional lau
7、nching system of the automatic gun The calculated muzzle disturbance aligns well with thefiring experiment，indicating that the proposed method is valid This study provides a new method for thedynamic analysis of projectile-barrel coupling systemsKeywords:Timoshenko beam;bending vibration;natural fre
8、quency;muzzle disturbance;bond spacemethod兵工学报第 44 卷0引言梁的弯曲振动问题一直是学术界和工程界的研究热点。目前，国内外学者已开展了大量关于梁弯曲振动的研究1 3，分析方法主要包括解析法4、有限元法5 和传递矩阵法6 等。这些方法各具特色，均已在梁弯曲振动分析中获得广泛应用。但应该看到，以上方法对外接口方式单一，不能很方便地嵌入到多能量范畴耦合的复杂系统动力学模型中。如针对火炮开展连发射击条件下的发射动力学研究时，往往需要联合仿真7，费效比高。键合图法8 10 根据能量守恒，采用统一的方式描述多能量范畴物理量，是解决上述问题行之有效的方法。如惯
9、性元 容性元(IC)混合场键合图法11、双功率流键合图法12 和拉格朗日键合图法13 等，都在梁弯曲振动分析中获得了成功应用，取得了良好效果。然而，传统的键合图理论将平动和转动视为两个能量范畴的运动，为表征梁弯曲的平动转动耦合作用，键合图拓扑结构十分复杂，给因果关系的确定带来了困难，不利于发挥键合图法自动符号推导状态方程的独特优势。本文针对梁发生小挠度弯曲振动的特点，在满足功率守恒的条件下将平动和转动集成到一个能量范畴，构建梁弯曲振动的键合空间表示方法，继而建立梁弯曲振动的键合空间模型，推导系统状态方程，分析自由梁的固有频率特性，以验证梁弯曲振动系统键合空间模型的正确性，再将之嵌入到某火炮自动
10、机发射系统动力学模型中，开展连发射击条件下的炮口扰动分析，通过射击试验验证所提方法的有效性。1梁弯曲振动键合空间模型1.1梁的键合空间表示以 Timoshenko 梁为研究对象，根据质量不变原则和转动惯量不变原则，将梁离散成由 N 1 个弹簧联接而成的 N 个集中质量无质量刚杆组合。定义梁单元的势空间向量、流空间向量、动量空间向量和位变空间向量分别为ei=QyQzMyMzTi(1)fi=yzyzTi(2)pi=m ym zJ yJ zTi(3)qi=yzyzTi(4)式中:下标 i 表示集中质量的序号，i=1，2，N;Qy和 Qz为剪力，My和 Mz为弯矩，y 和 z 为挠度;y和 z为速度;
11、y和 z为角速度;m 为质量;J 为直径转动惯量;y和 z为转角。根据功率流和因果关系绘制梁弯曲振动的拓扑结构图，如图 1 所示。图 1 中，集中质量表示为共流结 1 和惯性元件 I 的组合，刚杆表示为转换器 TF，弹簧表示为共势结 0 和容性元件 C 的组合。图 1梁弯曲振动的键合空间拓扑结构图Fig 1Bond space model for the beam unit1.2梁弯曲振动系统状态方程从图 1 可以看出，独立的元件为 Ii(i=1，2，N)和 Ci，i+1(i=1，2，N 1)，其特性方程如下:1)惯性元件:fi=I1ipi(5)式中:pi为第 i 个集中质量的动量向量;Ii为
12、惯量矩阵，Ii=m0000m0000J0000Ji。2)容性元件:ei，i+1=C1i，i+1qi，i+1(6)式中:qi，i+1为第 i+1 个集中质量相对第 i 个集中质量的位变空间向量;Ci，i+1为柔度矩阵，Ci，i+1=Ci+CLi+1，CLi和 Ci分别为第 i 个集中质量左、右弹簧等效柔度，可由 Timoshenko 梁理论计算得到:CLi=(l/2)36EIB(1)00(l/2)22EIB0(l/2)36EIB(1)(l/2)22EIB00(l/2)22EIB(l/2)EIB0(l/2)22EIB00(l/2)EIBi(7)6771第 6 期梁弯曲振动的键合空间表示及其在炮口扰
13、动分析中的应用Ci=(l/2)36EIB(1)00(l/2)22EIB0(l/2)36EIB(1)(l/2)22EIB00(l/2)22EIB(l/2)EIB0(l/2)22EIB00(l/2)EIBi(8)l 为梁单元等效刚杆的长度，E 为弹性模量，IB为惯性矩，为剪切系数。根据因果关系和功率流方向推导pi和qj，j+1:pi=TiC1i，i+1qi，i+1 TLiC1i 1，iqi 1，i(9)qi，i+1=(TLi+1)TI1i+1pi+1(Ti)TI1ipi(10)式中:Ti为转换模数矩阵，根据几何关系得到第 i 个集中质量左、右刚杆的模数矩阵分别为TLi=100001000l/210
14、 l/2001i(11)Ti=100001000 l/210l/2001i(12)2梁弯曲振动固有频率求解2.1固有频率求解方法令:X=pTqTTp=p1p2pipNTq=q1，2q2，3qi，i+1qN 1，NT(13)将梁弯曲振动系统的状态方程写成矩阵形式:X=AX(14)式中:A=0N NKM0(N 1)(N 1)，K 和 M 的表达式分别为K=K1，1K2，1K2，2Ki，i 1Ki，iKN，N1(15)M=M1，1M1，2Mi，iMi，i+1MN 1，N 1MN 1，N(16)Ki，i 1=TLiC1i 1，i，Ki，i=TiC1i，i+1，Mi，i=(Ti)TI1i，Mi，i+1=
15、(TLi+1)TI1i+1。式(14)的特征值问题为=A(17)式中:为特征值;为特征向量。按王艾伦等14 提出的方法求得特征值和相应的特征向量，分别为=diag*0(18)=pq=p*p0psq*q0qs(19)式中:为固有频率矩阵;和*为一组共轭的固有频率矩阵;为模态矩阵;p和 q分别动量模态矩阵和变形模态矩阵;p和*p为一组共轭的动量模态矩阵;0ps为零动量模态矩阵;q和*q为一组共轭的变形模态矩阵;0qs为零变形模态矩阵。位移模态的表达式为u=diag(IS)1 p(20)式中:=1，2，;=1，2，;S为 Laplace 算子;和 分别为独立动量变量和位变变量的个数。2.2算例取一长
16、度为 1.2 m 的等截面均质自由梁，梁截面为圆环形，圆环外径为 50 mm，内径为 30 mm，材料密度 7 800 kg/m3，材料的弹性模量为 204 GPa，泊松比为 0.26。由于所研究自由梁是各向同性的，因此仅计算竖直方向的固有频率。为验证所建立的梁弯曲振动键合空间模型，同时采用解析法15 计算自由梁的固有频率和相应振型:n=s2nEI槡A(21)Wn(x)=cosh snx+cos snx+vn(sinh snx+sin snx)(22)式中:n为第 n 阶固有频率，n=1，2，;Wn(x)为与第 n 阶固有频率对应的振型;sn和 vn为系数，表达式分别为sn=(n+0.5)lb(23)7771兵工学报第 44 卷vn=sinh snlb+sin snlbcosh snlb+cos snlb(24)lb为梁的总长度。采用键合空间法和解析法得到的固有频率列于表 1，相应的振型如图 2 图 7 所示。从对比结果可以看出，键合空间法与解析法的计算结果吻合较好，固有频率最大相对误差为 0.796 0%，振型相关系数(MAC)不小于 0.997 2，说明所建立的梁弯曲振动键合空间模
