1、2023.6Vol.47No.6研 究 与 设 计收稿日期：2022-11-16作者简介：刘征宇(1979)，男，安徽省人，博士，主要研究方向为锂电池能量均衡拓扑。通信作者：黄威基于密度函数的模糊混合SOC估计方法刘征宇，黄 威，孟 辉，郭乐凯(合肥工业大学 机械工程学院，安徽 合肥 230009)摘要：针对传统锂离子电池荷电状态估算中开路电压-荷电状态(OCV-SOC)曲线拟合及估算算法精度的问题，在二阶RC模型的基础上，引入高斯多项式来更好地拟合SOC和开路电压曲线，同时利用带自适应遗忘因子的最小二乘法进行模型参数的在线辨识，并将所得模型参数带入由扩展卡尔曼滤波器和安时积分法组成的模糊混合
2、算法中，最终完成对SOC的估算。实验结果表明，该联合算法能够迅速收敛初始误差，静态恒流下SOC最大误差在1.1%以内，欧洲循环驾驶标准工况(NEDC)下SOC和端电压的均方根误差分别为0.12%和1.82%，具有很好的估算精度和鲁棒性，可以实现对SOC的准确估算。关键词：锂离子电池；高斯多项式；自适应遗忘因子；最小二乘法；SOC估计；模糊混合算法中图分类号：TM 912文献标识码：A文章编号：1002-087 X(2023)06-0750-06DOI:10.3969/j.issn.1002-087X.2023.06.013Fuzzy hybrid algorithm for SOC estim
3、ation based on density functionLIU Zhengyu,HUANG Wei,MENG Hui,GUO Lekai(School of Mechanical Engineering,Hefei University of Technology,Hefei Anhui 230009,China)Abstract:Aiming at the accuracy of OCV-SOC curve fitting and estimation algorithm in traditional state of chargeestimation of lithium-ion b
4、attery,based on the second-order RC model,Gaussian polynomial was introduced to betterfit SOC and open circuit voltage curve.At the same time,the least square method with adaptive forgetting factor wasused for on-line identification of model parameters,the obtained model parameters were introduced i
5、nto the fuzzyhybrid algorithm composed of extended Kalman filter and ampere hour integral method,and the SOC estimation wascompleted.The experimental results show that the joint algorithm can quickly converge the initial error.Themaximum error of SOC under static and constant current is less than 1.
6、1%,and the root mean square errors of SOCand terminal voltage under NEDC are 0.12%and 1.82%,respectively.It has good estimation accuracy androbustness,and can realize the accurate estimation of SOC.Key words:lithium-ion battery;Gaussian polynomial;adaptive forgetting factor;least square method;SOCes
7、timation;fuzzy hybrid algorithm目前，锂离子电池因其能量密度大、使用寿命长等优点已广泛应用于新能源汽车等领域。荷电状态(SOC)是描述锂电池工作状态的重要特征参数之一，但由于其非线性且不可直接测量，还受限于温度、充放电倍率和充放电循环次数等因素，因此很难对其精确估算。常用的 SOC估算方法有：安时积分法(AH)1通过对电流积分来计算，但对SOC初值精确度要求较高且易产生累积误差；开路电压(OCV)法2根据OCV-SOC曲线查得当前SOC值，精确度较高，但在每次测量前都要长时间静置电池来消除迟滞效应；机器学习法3-4用大量数据来训练模型，如神经网络、支持向量回归等，
8、但严重依赖训练数据的精确性和学习方法本身的泛化能力；应用最广泛的是基于电池模型的滤波法。滤波法常用模型有电热模型、电化学模型5和等效电路模型(ECM)。电化学模型和电热模型需要太长的计算时间，故能实时反映动态特性且复杂度更小的等效电路模型得到广泛使用，等效电路模型有 Thevenin 模型、新一代车辆伙伴关系(PNGV)模型和RC模型等。而常见的滤波方法有扩展卡尔曼滤波器(EKF)6、龙贝格观测器、粒子滤波器和观测器，虽然滤波方法具有较良好的鲁棒性和准确性，但各个滤波器仍有各自不同的局限性，如 EKF就会由于温度、噪声等因素的干扰而降低估算精确度。文献7-8在 ECM 的基础上加入温度、噪声等
9、因素，提高一定的精度，但会大大增加模型复杂度；文献9-10在模型参数辨识时采用最小二乘和双卡尔曼滤波(DEKF)算法，但没有考虑等效电路模型的动态性，不能很好地反应实时情况；文献11-12实现了模型参数的在线更新，却不能高精度地拟合OCV-SOC曲线，导致选取SOC初值时误差较大。针对以上拟合OCV-SOC曲线及估算精度的问题，本文提出了一种新型 SOC联合估算算法。对选取的ECM和在线参数辨识方法带有自适应遗忘因子的最小二乘法(VFFRLS)进行介绍，论述了如何在拟合OCV-SOC曲线时引入高斯方程，展示了基于 AH和 EKF的模糊混合算法及其求解过程，在恒定电流以及动态电流下验证了所提算法
10、的有效性。7502023.6Vol.47No.6研 究 与 设 计1 电池模型及其参数辨识1.1 等效电路模型根据Lai等的研究13，综合模型准确度和复杂度，本文选用如图 1的二阶 RC等效电路模型。其中，UOCV为开路电压，UL为端电压，R0为欧姆内阻，Rp1、Rp2为极化电阻，Cp1、Cp2为极化电容，I为电路中电流。根据基尔霍夫电流、电压定律得到的状态方程和输出方程，离散后选取极化电压 Up1、Up2以及 SOC作为状态变量，选取端电压UL为观测变量，建立的状态空间方程如下：(1)式中：k为 k时刻系统噪声；vk为 k时刻观测噪声；UOCV(SOCk)为k时刻开路电压UOCV的值。1.2
11、 OCV和SOC关系式的建立OCV与SOC关系式建立的精确度直接影响到 ECM参数识别的准确性。UOCV=f(SOC)的关系式常用 n 阶多项式来拟合：UOCV=anSOCn+an-1SOCn-1+a1SOC+a0(2)系数an，an1，a0可通过最小二乘法获得。该方法适用于曲线变化平缓的情况，一旦数据点趋势多变，拟合效果会下降。其次，低阶多项式会使方程难以准确反映数据趋势，但阶数增加将导致计算量变大，还会产生过拟合现象。因此本文采用一个基于高斯函数的多项式来建立函数UOCV=f(SOC)。高斯函数形式为：f(x)=ae-(x-b)2/c(3)式中：a为曲线峰值高度；b 为峰值中心位置；c=2
12、2(为标准方差)控制曲线宽度。式(3)两边同时取对数，则有：(4)式中：A2=1/c；A1=2b/c；A0=lnab2。根据最小二乘法，系数计算公式为：|(x2,x2)A2+(x2,x)A1+(x2,1)A0=x2,lnf(x)(x,x2)A2+(x,x)A1+(x,1)A0=x,lnf(x)(1,x2)A2+(1,x)A1+(1,1)A0=1,lnf(x)(5)通过解式(5)，得到系数A0、A1和A2，进而得到式(3)中的参数a、b和c。考虑到当项数大于 3时对精度提高的帮助很小，又增加计算量，所以选用3项多项式，称之为高斯函数三项式(GFT)，公式为：(6)1.3 模型参数辨识锂电池充放电
13、时内部的化学反应极其复杂，模型参数会随着 SOC、温度、循环次数等因素变化，为提高 SOC 估计精度，增强模型的适应能力，本文选用带自适应遗忘因子的最小二乘法。通过向旧数据中引入可变适应权重因子，减小旧数据影响来避免数据饱和，实现参数在线辨识。将电压差E(s)U(s)作为输入，I(s)作为输出，再进行双线性变换s=2T1-z-11+z-1后，得离散传递函数：G(z-1)=a3+a4z-1+a5z-21-a1z-1-a2z-2(7)式中：a1，a2，a3，a4，a5为相应的待定系数。将式(7)转化为差分方程：(8)分别令：引入噪声误差 e(k)，根据带自适应遗忘因子最小二乘法原理，得递推公式为：
14、|(k)=1-11+(k-1-l)P(k-1)T(k-1-l)e2(k)R?(k)=?(k-1)+K(k)y(k)-(k-1)?(k-1)K(k)=P(k-1)T(k-1)(k)+(k-1)P(k-1)T(k-1)P(k)=1(k)I-K(k)(k-1)P(k-1)(9)式 中：(k)为 可 变 遗 忘 因 子。其 中，令 y?(k)=(k-1)?(k-1)为基于 k1时刻的历史数据对实际观测值 y(k)的预测值。最后利用计算出的最优?，可得模型参数辨识方程式为：|1+2=1+a21-a1-a2T12=1+a1-a21-a1-a2T24R1+R2+R3=a3+a4+a51-a1-a2R01+R
15、02+R12+R21=a3-a51-a1-a2TR012=a3-a4+a51-a1-a2T24(10)图1二阶RC等效电路模型222210ln()(1/)(2/)(ln/)f xc xb c xabcA xA xA=-+-=+12345()=(1)(2)()(1)(2)y ka y ka y ka I ka I ka I k-+-+-+-()T12345()(1)(2)()(1)(2)ky ky kI kI kI kaaaaa-=1,12,11P1,11P2,11P1,P1,1P2,P2,11P1,12P2,1L,e000e0001(1 e)(1 e)(kkkkkktkktkkkktkUtkU
16、SOCNkUUUUSOCSOCRRItCUwww-|=+|-|-+|-|()P1,P2,0)()110kOCVkkkkkUUSOCUR ISOC|=+-+|22223311223()/()/()/()/1231eeeeiiSOC bcSOC bcSOC bcSOC bcOCViiUaaaa-=+OCV7512023.6Vol.47No.6研 究 与 设 计2 SOC估算方法2.1 模糊混合算法AH 法是通过电流的积分运算来实现电池 SOC 的估算，用式(11)计算。而EKF由初始化、预测估算、最优估算三部分构成，其流程图如图2所示。SOC(t)=SOC(0)-0tii(t)CNdt(11)式中：SOC(t)表示 t 时刻的荷电状态；SOC(0)是初始 SOC 值；i(t)表示t时刻的电流；表示充放电效率；CN是额定容量。AH法估算精度较低，但估计结果相对稳定；EKF具有较高的精度，却易受到ECM模型参数和测量误差影响。结合两种算法的特点，本文提出了一种结合 AH 和 EKF的模糊混合算法来计算SOC。混合算法利用EKF和AH的增量来设计模糊特征，可有效地避免这两种算法的缺点。在混合算法
