1、第 50 卷 第 4 期2 0 2 3 年 4 月Vol.50，No.4Apr.2 0 2 3湖 南 大 学 学 报（自 然 科 学 版）Journal of Hunan University（Natural Sciences）面向双层插值边界面法的非结构自动网格划分池宝涛 1，2，朱玉麒 1，郭前建 1，袁伟 1，张耀明 3（1.山东理工大学 机械工程学院，山东 淄博 255000；2.山东锣响汽车制造有限公司博士后工作站，山东 临沂 276211；3.山东理工大学 数学与统计学院，山东 淄博 255000）摘 要：针对数值模拟前处理过程中网格划分存在的困难，提出一种面向双层插值边界面法的非
2、结构自动网格划分方法.该方法基于网格尺寸、表面曲率、实体厚度等几何特征进行体二叉树自适应细分，避免使用任何协调过渡模板处理悬挂点，降低网格划分的困难.构建了体网格拓扑元素与实体模型边界的快速求交算法，有效提升求交计算效率，降低算法实现复杂度.实验结果表明，最终网格划分实现整体以六面体网格为主，实体边界附近的部分网格以四面体、三棱柱或金字塔网格为辅的非结构自动网格划分，验证了该方法的准确性、有效性及鲁棒性.关键词：边界元法；二叉树；自适应算法；网格划分中图分类号：TP182 文献标志码：AAdaptive Unstructured Mesh Generation in Dual Interpol
3、ation Boundary Face Method ImplementationCHI Baotao1，2，ZHU Yuqi1，GUO Qianjian1，YUAN Wei1，ZHANG Yaoming3（1.School of Mechanical Engineering，Shandong University of Technology，Zibo 255000，China；2.Shandong Luoxiang Automobile Manufacturing Postdoctoral Research Institute，Linyi 276211，China；3.School of M
4、athematics and Statistics，Shandong University of Technology，Zibo 255000，China）Abstract：To resolve the difficulties of mesh generation existing in the preprocessing module of numerical simulation，an adaptive unstructured mesh generation method for the implementation of the dual interpolation boundary
5、 face method is presented.The binary tree adaptive refinement generation is carried out according to the mesh size，surface curvatures，thickness distribution，and other geometry features.This method avoids using any coordinating transitional template to deal with the hanging points and reduces the dif
6、ficulties of mesh generation.In addition，a fast intersection algorithm between the volume elements and solid boundaries is proposed.The algorithm 收稿日期：2022-04-08基金项目：国家自然科学基金资助项目（12202251，12172201），National Natural Science Foundation of China（12202251，12172201）；中国博士后科学基金面上项目（2021M702024，2022M712393）
7、，China Postdoctoral Science Foundation（2021M702024，2022M712393）；教育部产学合作协同育人项目（220606517023742），Ministry of Education Industry-school Cooperative Education Project（220606517023742）；山东 省 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目（ZR2022ME122，ZR2022QA072）；Shandong Provincial Natural Science Foundation（ZR2022ME122，ZR2022QA072
8、）；山东理工大学自主科研计划资助项目（4003-122237，4041-420047，9101-2222431），Scientific Project of Shandong University of Technology（4003-122237，4041-420047，9101-2222431）作者简介：池宝涛（1991），男，山东德州人，山东理工大学讲师，博士 通信联系人，E-mail：文章编号：1674-2974（2023）04-0076-11DOI：10.16339/ki.hdxbzkb.2023156第 4 期池宝涛等：面向双层插值边界面法的非结构自动网格划分improves th
9、e computational efficiency and reduces the complexity of algorithm implementation.Experimental results show that the final mesh generation is mainly composed of hexahedral element mesh as a whole and a few pentahedral，tetrahedral，and pyramid element mesh for auxiliary，which verified the validity，acc
10、uracy，and robustness of the proposed method.Key words：boundary element method；binary trees；adaptive algorithms；mesh generation随着计算机辅助技术的发展，有限元法、边界元法等数值计算方法在计算科学与工程分析领域发挥着举足轻重的作用.当前计算机辅助工程（Computer Aided Engineering，CAE）技术广泛应用于汽车工业、航空航天和国防军工等行业，已成为支撑国民经济发展和制造业转型升级不可或缺的重要手段之一.然而，全自动CAE分析是数值计算领域至今尚未完全解
11、决的难题之一1-2.前处理过程90%用时消耗在网格划分，而真正用于数值计算的时间仅占4%左右，复杂几何模型的全自动网格生成面临诸多挑战，网格划分仍是整个数值计算过程中的主要性能瓶颈.网格划分作为CAE分析的关键步骤之一，已发展成为一个横跨多学科领域且自成体系的研究领域.任意复杂结构的全自动网格生成方法是三维网格生成的研究热点和难点.近年来，国内外不少研究者对复杂结构的网格生成方法进行了卓有成效的研究和探索3-5，现有网格生成技术已取得丰硕的研究成果，四面体/六面体网格划分研究居于主体地位6-7.在网格生成研究领域，四面体网格单元具有良好的自适应性和通用性，全四面体网格生成技术已趋于成熟，能够处
12、理非常复杂的工业级算例.常见的四面体网格生成方法8包括推进波前法和Delaunay方法等，但四面体网格单元的计算精度不高，在某些情况下不能满足高精度数值计算的要求.六面体网格单元以其优良的计算特性被誉为“黄金网格”，常见的六面体网格生成方法包括映射法、栅格法、扫掠法、中轴面分解法等.相对于四面体网格划分，全六面体网格生成方法9-10在理论和算法层面还存在诸多困难：全六面体网格生成没有严格的理论基础，算法的鲁棒性难以保证.另外，受拓扑和几何上的限制，六面体网格的自动划分、质量优化、自适应加密和局部网格重构仍非常困难.由于六面体网格单元的稳定性和几何适应性较差，复杂实体模型的全六面体网格自动生成问
13、题始终未能从根本上得到解决.与具有完备理论储备的数值计算方法不同，网格划分的理论基础相对比较薄弱，大多为经验启发式的网格生成算法，以至于有专家学者形容网格划分不仅是科学研究而更像一门艺术，可见实现任意复杂结构的全自动网格划分极为困难.任意复杂三维实体难以实现全自动网格划分的主要困难包括：高质量网格生成对计算机辅助设计（Computer Aided Design，CAD）模型有特殊要求，而由于几何噪声的种类难以穷举，难以实现任意复杂实体的全自动几何修复.由于实体边界特征的复杂性，实现任意复杂实体的全自动特征识别和子域分区极为困难.由于有限元法的势函数存在连续性要求，网格划分过程中需构建大量的协调
14、过渡模板保证节点的连续性，在全六面体网格划分过程中需构建大量的协调模板保证节点的连续性.双层插值边界面法（Dual interpolation Boundary Face Method，DiBFM）11-12是边界元法领域发展的一种新型数值计算方法，该方法将单元插值与无网格法相结合，统一了传统的连续插值单元和不连续插值单元，可以自然模拟连续函数和非连续函数.DiBFM在提高数值计算精度的同时，最大程度地发挥势函数无需连续性要求的优势，网格划分允许使用包含悬挂点的非连续网格且无需几何修复，极大地降低了数值计算对网格单元形状和节点连续性要求13，为实现网格自动生成创造了有利条件.为充分发挥DiBF
15、M在网格划分方面的诸多优势，本文开展了适用于DiBFM的非结构网格自动划分方法研究.1 双层插值边界面法1.1 双层插值单元的构建边界元法以成熟的边界积分方程理论为基础，在工程科学计算领域曾被公认为有限元法的一种重要补充，其具有降维和计算精度高等优势，网格节点无协调性要求，在数值计算中允许使用连续插值单77湖南大学学报（自然科学版）2023 年元和不连续插值单元.与传统边界元法不同的是，DiBFM建立一种新型的数值计算单元双层插值单元，其节点包括源节点和虚节点两类，其中实心圆“”表示源节点，空心圆“”表示虚节点.在DiBFM计算中，第一层插值主要用于物理变量的计算，第二层插值主要用于消除虚节点
16、的自由度.如图1所示，以四边形双层插值单元为例，根据单元阶次不同，常值、线性和二次四边形双层插值单元分别定义为 QS1单元、QS4单元和 QS9单元.QS1单元、QS4单元和QS9单元中数字的含义分别表示不同阶次四边形双层插值单元中源节点的数目.若考虑源节点和虚节点，双层插值单元等价于传统的连续插值单元；若忽略虚节点，双层插值单元等价于传统的不连续插值单元.由于双层插值单元中引入虚节点，与传统不连续插值单元相比，双层插值单元的插值精度至少提高两阶，具有计算精度高和收敛性好等优点.1.2 DiBFM的第一层插值计算DiBFM的第一层插值类似于传统的连续插值单元，该插值主要用于物理量的计算，其主要区别在于双层插值单元的形函数由源节点和虚节点共同推导得出.对于任意点(，)处的物理量 u 插值计算公式为：u(，)=1M1Ns(，)u(Qs)+=1M2Nv(，)u(Qv)（1）式中：Ns(，)和Nv(，)分别表示源节点和虚节点对应的形函数，上角标s和v分别表示双层插值单元中的源节点和虚节点；M1和M2分别表示双层插值单元中源节点和虚节点的总数.1.3 DiBFM的第二层插值计算由于双层插值单元中
