1、文章编号：（）非对合剩余格的犹豫模糊理想格刘春辉，白彦辉（赤峰学院 教育科学学院，内蒙古 赤峰 ；赤峰学院 数学与计算机科学学院，内蒙古 赤峰 ）摘要：进一步深入研究非对合剩余格的犹豫模糊理想问题。引入了由非对合剩余格上的一个犹豫模糊集生成的犹豫模糊理想概念，给出了其基本性质并建立了其表示定理。证明了一个非对合剩余格的全体犹豫模糊理想之集 （）在犹豫模糊包含序下构成一个完备 代数，进而构成一个 。关键词：非对合剩余格；犹豫模糊理想；生成犹豫模糊理想；完备 代数；中图分类号：；文献标识码：引言模糊逻辑作为一门涉及数学与计算机科学的交叉科学，是由美国控制论专家 于 年与模糊集概念同时提出的，在 多
2、年的发展中，已取得了颇为丰富的研究成果。模糊逻辑主要采用代数逻辑的方法研究问题，而代数逻辑则以逻辑代数为对象开展研究工作。因此，对模糊逻辑代数的研究自然成为了贯穿于模糊逻辑发展全过程的重要研究方向之一。滤子和理想是刻画模糊逻辑代数结构特征的两个重要的工具性概念，尤其在解决各类模糊逻辑代数的完备性问题时发挥着不可替代的作用。因此，对滤子和理想问题的研究又自然成为模糊逻辑代数研究领域的一个重要话题，相关研究成果更是层出不穷。值得注意的是，在否定运算满足对合性质的模糊逻辑代数中，滤子和理想是相互对偶存在的，各种类型理想的性质均可通过与之对偶的滤子性质获得。正因如此，导致人们对滤子问题的关注远超理想，
3、明显给人一种“重滤子而轻理想”的感觉。然而，当模糊逻辑代数中否定运算失去对合性时，理想与滤子的这种自然的对偶关系也随之被打破，因此，在非对合模糊逻辑代数框架下研究理想及其应用问题是一项十分有意义的创新性工作。近年来，国内外学者开始关注并致力于这一工作的探索，并先后在非对合剩余格 这一非对合模糊逻辑代数的典型代表及作为其特殊子类的 代数和 代数中引入了理想概念，相应地考察了理想的性质和刻画，获得了一些有价值的成果，从而赋予了理想概念更充分的意义和价值，为构建非对合模糊逻辑代数的理想之研究体系奠定了基础 。自然界和现实生产生活中存在着大量的不确定性信息和不确定性问题，然而，建立在 集合论上的经典数
4、学工具往往很难甚至无法对这些信息和问题作出处理。模糊集 的概念提出后，在一第 卷第期 模糊系统与数学 ，年月 ，收稿日期：基金项目：内蒙古自治区高等学校科学研究项目（）作者简介：刘春辉（），男，内蒙古赤峰人，教授，研究方向：非经典数理逻辑，理论，拓扑学；白彦辉（），女，内蒙古赤峰人，副教授，研究方向：模糊集理论及应用。定程度上为不确定信息的处理和不确定性问题的解决提供了一个有效的途径。目前，模糊集理论已经得到了迅速发展，并在数学及与数学密切相关的模式识别、控制、优化、决策等领域得到了广泛应用并取得了举世公认的成就。随着社会的进步以及人类思维能力和认知水平的不断提高，为了更加细腻地刻画客观对象的
5、模糊性本质，人们相继提出了模糊集的多种拓展形式，如直觉模糊集、二型模糊集、模糊集、区间值模糊集、集 和模糊多集 等，极大地推动了模糊集理论及其应用研究的不断拓展。考虑到人们在进行群决策时，决策者们经常会表现出明显的犹豫性，在几个可能的方案之间徘徊，甚至不同决策者的可能方案数目也不相同，并且彼此不能说服对方，最终导致决策结果难以达成共识。年，和 在文 中提出了模糊集的一种新的拓展形式，称之为犹豫模糊集（）。年，又在文 中分析了犹豫模糊集与直觉模糊集、二型模糊集和模糊多集间的关系，并定义了犹豫模糊集间的一些基本运算。之后，国内外众多学者加入到了犹豫模糊集理论及其应用研究的行列，获得了一系列有价值的
6、成果 。近几年，人们将犹豫模糊集的思想方法成功应用于抽象代数和逻辑代数问题的研究，不但丰富了代数理论的研究内容，而且进一步拓展了犹豫模糊集的应用领域 。受这些工作的启发，文献 将犹豫模糊集理论与非对合剩余格的理想概念相结合，引入非对合剩余格的犹豫模糊理想概念，考察其性质和结构特征，初步建立了非对合剩余格的犹豫模糊理想的研究框架。作为上述工作的继续和深入，为了进一步揭示犹豫模糊理想的结构特征，进而为应用犹豫模糊理想性质研究逻辑问题奠定基础，本文考察一个非对合剩余格上犹豫模糊理想全体之集的格结构特征，获得了一些有趣且有意义的结果。预备知识本节先回顾一些基本概念和基本结论。有关偏序与格的知识大多取自
7、文献 。定义，（）称（，）型代数（，）是一个剩余格，简称是一个剩余格，如果下列条件（）（）成立：（）（，）是分别以和为最小元和最大元的有界格；（）（，）是一个以为单位元的交换半群；（）（，）是上的伴随对，即（，）（）。（）称剩余格是一个非对合剩余格，如果满足：（）（），其中。引理，设是非对合剩余格，则下列各结论成立：，（）；（），；（）（）（）（）；（），（）；（）（），（）；（），。引理 设是非对合剩余格。在上定义二元运算使得，则满足结合律但不满足交换律，且下列各结论成立：，（），；（）（），（）（）（）；（）（）（）（），（）（）（）；（）（），（）。定义 设是非空集合，（，）是，的幂集。
8、则上的一个犹豫模糊集 定义为：，（）（）（，），模糊系统与数学 年即，：（，）。其中，对任意的，（）是由区间，中若干个不同数值构成的集合，表示中元素属于集合 的若干种可能的隶属度。由上的全体犹豫模糊集构成的集合记为 （）。注设是一个非空集合。则显然和，都是上的犹豫模糊集，其中，对任意的都有（）且，（），。上的一族犹豫模糊集 的犹豫模糊交集和犹豫模糊并集分别定义为：（）（）（），；（）（）（），。特别地，上的两犹豫模糊集 和 的犹豫模糊交集 和犹豫模糊并集 分别定义如下：（）（）（）（），；（）（）（）（），。同时，定义一个关于上的犹豫模糊集之间的二元关系满足：对任意的，（），（）（），显然，是
9、 （）上的一个偏序关系，称之为上的犹豫模糊包含序。定义 设是非对合剩余格，（）。若满足如下二条件：（）（）（）（），（）（，）（）（）（），则称是的犹豫模糊理想。由的全体犹豫模糊理想构成的集合记为 （）。注设是非对合剩余格，显然，（）且，（）。引理 设是非对合剩余格，（）。考虑如下各条件：（）（，）（）（），（）（，）（）（）（），（）（，）（）（）（），（）（，）（）（）（），（）（，）（）（）（）（），则 （）（）（）（）（）（）（）。非对合剩余格的生成犹豫模糊理想及其表示本节给出由一个犹豫模糊集生成的犹豫模糊理想的定义并建立其表示定理。定义设是非对合剩余格，（）和 （）。若与满足：（）；
10、（）对任意的 （），则称 是的由 生成的犹豫模糊理想，记为。注设是非对合剩余格且 （）。则由定义显然有 （）。定理设是非对合剩余格，（）。则下列各结论成立：（）若 （），则；（）若，则。证明由定义直接可得。下面给出生成犹豫模糊理想的表示定理。第期刘春辉，白彦辉：非对合剩余格的犹豫模糊理想格定理设是非对合剩余格，（）。定义 （）满足：，（）（）（）（）则。证明首先，证明 （）。对任意的，由 的定义显然可得（）（），即 满足（）。任取，设存在和使得（）（）（）（）则对式（）运用依次（）和次（）得（）（）（）从而由（）得（），进而由式（）并次运用（）得（）（）于是（），故由式（）得（）（）（）因此便
11、得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）且（）（）（）（）即 亦满足（）。因此由定义便得 （）。其次，任取，因为由（）得 ，所以由式（）得（）（），故。最后，设 （）且，则对任意的，由引理（）便得（）（）（）（）（）（）从而。因此由定义便得。推论设是非对合剩余格，（）。定义 （）满足：，（）（）（）则。证明对任意的，因为由（）和（）得（）当且仅当，所以由定理及式（）得推论结论成立。例设格，且，在上定义二元运算和如下表所示，模糊系统与数学 年 规定，则（，）是一个非对合剩余格。定义 （）满足：（）.，.），（）（）.，.，（）则由（）（）（）（）.，.（）可知 （）。利用定
12、理或推论可以验证 （）满足：（）.，.），（）（）.，.（）非对合剩余格的犹豫模糊理想格本节考察非对合剩余格的全体犹豫模糊理想之集 （）的格论性质。定理设是非对合剩余格，则（），）构成一个完备格。证明对任意集族 （），由文献 中定理和上述定义可知和分别是 的下确界与上确界，即且 而由注又显然可知 （）和，（）分别为 （）上关于犹豫模糊包含序的最小元和最大元，故（），）构成一个完备格。定理得证。注设是非对合剩余格，则在完备格（），）中有，（）。为了进一步讨论完备格（），）结构特征，我们给出如下定义和引理：定义 设（，）是一个格，若存在上的二元运算：使（），则称（，）是一个 代数。注（）任一 代数
13、（，）都是有最大元的分配格；（）若（，）是有限格，则（，）是 代数当且仅当（，）是分配格。引理 设（，）是 代数，则下列各结论成立：（）（，）（）（）（）；（）（，）（）且（）。众所周知，（，），）是一个完备格，称为，的幂集格。定义（，）上的二元运算如下：（，），（，）则容易验证（），（，）。因此，（，），）构成一个完备 代数。通常称为（，）上的 蕴涵算子。定义设是非对合剩余格，（）。定义上的犹豫模糊集 满足：（）（）（），其中，是（，）上的 蕴涵算子。定理设是非对合剩余格，（）。则 是 （）上的一个二元运算，即 第期刘春辉，白彦辉：非对合剩余格的犹豫模糊理想格 （）。证明一方面，任取，因为，
14、（），所以由的性质及引理得 （）（）（）（）（）（）（）（）故 满足（）。另一方面，任取，因为，（），所以由的性质及引理和引理得 （）（）（）（）（）（）由定义.（）（）（）（）由运算性质（）（）（）由引理.（）（）（）（）由引理.（）（）（）由引理.（）（）（）由引理.（）（）由定义.故 亦满足（），因此由引理得 （）。定理设是非对合剩余格，则（），）构成一个完备 代数。证明由定理和定理以及注可知，只需证明，（），（）事实上，假设（），则有（）（）。故由的性质和引理（）得（）（）（）由注.（）（）（）由假设条件（）（）（）由定义.（）（）（）由运算性质（）（）（）由运算性质（）（）（）由运算
15、性质（）（）由引理.（）（）因此，成立。反之，假设，则，有（）（）（）（）。故由的性质和引理（）得 （）（）（）由定义.（）（）由引理.（）（）（）（）由假设条件（）由引理.（）（）由引理.（）（）因此，（）。定理得证。注文献 指出，完备格（，）成为 代数当且仅当（，）满足如下交无限分配律：模糊系统与数学 年（）（），而这又当且仅当（，）是一个 。因此由定理、注和定理立即可得如下定理：定理设是非对合剩余格，则下列各结论成立：（）（），）是一个完备 代数；（）（），）是一个 ；（）（），）满足交无限分配律：（）和 （），（）（），即，（）结束语众所周知，理想是反映剩余格结构特征的一个重要工具性概
16、念。本文运用运用代数学的方法和原理对非对合剩余格的犹豫模糊理想问题作了进一步深入研究，给出了由一个犹豫模糊集生成的犹豫模糊理想的定义并建立了其表示定理，讨论了一个非对合剩余格全体犹豫模糊理想之集的格结构特征，获得了一些有趣的结论。这些工作不但进一步丰富了非对合剩余格理想及其模糊化问题的研究内容，而且也为运用犹豫模糊集理论研究逻辑代数相关问题找到了一个切入点。未来，我们将继续关注这一话题的进展。参考文献：王国俊非经典数理逻辑与近似推理北京：科学出版社，（）：，：，：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：刘春辉否定非对合剩余格的 理想理论高校应用数学学报（辑），（）：，（）：，：，（）：，：，：，第期刘春辉，白彦辉：非对合剩余格的犹豫模糊理想格 ，：，（）：，：，：，：，：，：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：彭家寅剩余格的犹豫模糊滤子理论计算机科学与探索，（）：刘春辉 蕴涵代数的犹豫模糊滤子模糊系统与数学，（）：傅小波，张建忠格蕴涵代数的反犹豫模糊滤子模糊系统与数学，（）：刘春辉非对合剩余格的犹豫模糊理想山东大学学报（理学版），（）：郑崇友
