1、第 卷 第 期 年 月电 子 器 件 .项目来源：河南省高等学校重点科研项目（）；河南省高等学校青年骨干教师培养计划（）收稿日期：修改日期：，（，；，）：，：；：二维四涡卷混沌电路的设计及实现吕恩胜，熊 丽（河南应用技术职业学院机电工程学院，河南 郑州；河西学院，机电工程学院，物理与机电工程学院，甘肃 张掖）摘 要：为了得到二维多涡卷混沌系统，以状态变量，的阈值设计切换规则，构建了二维四涡卷混沌系统，仿真并实现了物理混沌电路，分析了系统的混沌特性，设计了一个保密通信电路，实现了对信号的保密，结果表明混沌电路设计的正确性和有效性。关键词：二维系统；四涡卷；混沌电路；保密通信中图分类号：文献标识码
2、：文章编号：（）在自然、社会以及工程系统中，当环境发生变化，时间或状态变量达到临界阀值时，系统会在不同的子系统之间来回切换，表现出不同的模态，这种切换往往会导致系统产生非常复杂的动力学行为，甚至进入混沌状态，这种现象引起诸多学者的关注并得以利用。年，等设计的经典蔡氏电路，是典型的在三个子系统之间回来切换的控制系统，在三维系统，常用状态反馈控制、输出反馈控制等方法设计切换混沌系统，理论和应用均趋于成熟。在二维系统中：连续自治系统的状态方程为：?（），：，其平衡点的解为：（），由微分方程解的唯一性和存在性定理，可知，解的轨迹不能存在交叉，所以这类系统不存在混沌现象，即便（）无论属于哪类连续非线性函
3、数，其平衡点都是稳定与不稳定的结点或焦点，最为复杂的运动形态为周期解或极限环，会出现振荡的情况，至于最多有多少个极限环的存在，目前学术界还没有定性解决。非自治系统显含时间，严格来说属于三维系统，存在混沌现象的系统较多，最为有名的是 方程。针对非连续自治系统，李清都等等设计了二维单涡卷混沌系统、二维二涡卷混沌系统，目前，二维自治系统的多涡卷混沌系统还鲜有报道。本文在一类二维连续自治系统的基础上，选取状态变量，的阈值设计控制切换规则，构建二维非连续自治混沌系统，系统分段线性，在 的 个子系统之间来回切换，设计了其混沌电路，并揭示了产生混沌的机理，对混沌系统进一步改进结构，最后应用于混沌同步与保密通
4、信。对二维平面混沌系统现象的研究，有助于我们认识和预测高维复杂的混沌系统动力学行为，有着深刻的理论和应用价值。二维平面系统考虑一类二维连续自治微分方程组，矩阵 中：，其定义为：?|（）系统式（）的平衡点为（，）（，），特征根为：，当，时，有一第 期吕恩胜：二维四涡卷混沌电路的设计及实现 对正实部共轭特征根，是发散不稳定的。式（）在给定的初始条件（，）时，它的解为：|（）（）（）（）（）（）|（）式中：，从几何的角度看，决定向量（，）的扩张速度和方向，决定向量（，）的旋转速度。设，在原点附近取向量（，）初始值为（），仿真得到的系统式（）的轨道如图 所示，绕原点螺旋扩散。图 二维系统的 相图 二维
5、四涡卷混沌系统设计 子空间的设计将相平面 划分为四个子空间，子空间有重叠的部分，且对称，即，|（）子系统设计在相平面 上建立 个坐标点：（，）、（，）、（，）、（，），个子系统在 个子空间的方程组为式（）、式（），其定义如下：?|（）或，|（）二维相平面中的 个坐标点、，分别为 个子系统式在各自子空间的平衡点，为了方便描述，系统式（）的参数归“”化，即：、。图 所示为 个子系统在各自空间的运动形态，它们的轨道分别是绕着各自的平衡点做螺旋扩散运行，都是不稳定的。图 子空间的 相图为此，针对 个不稳定的发散的子系统，设计一个切换规则，使系统在 个不稳定的子系统之间来回切换，控制面积发散、膨胀，致使
6、系统总体稳定，并且切换规则，使得整体模态不等于各子模态之和，呈现出完全相反的模态，有稳定的轨迹。出口边界设计出口边界：假设系统初始位于四个子系统中任意的一个做螺旋扩散运动，当向量（，）中的某一个变量先扩张到某一临界值时，系统从当前子空间切换至相应的相邻子空间中做运动，当某一个变量再次扩张到某一临界值时，再次切换至相应的相邻子空间运动，以此控制各子系统的膨胀，图 的实线端点为各子空间的起点，虚线为进入相邻子空间的轨道，定义四个子空间的切换“出口边界”如下：对照图，系统位于 子空间的出口边界如下：或（）对照图，系统位于 子空间的出口边界如下：或（）对照图，系统位于 子空间的出口边界如下：或（）对照
7、图，系统位于 子空间的出口边界如下：电 子 器 件第 卷或（）图 子系统出入口规则 入口规则在定义子空间与出口边界的基础上，定义子空间的入口规则，其中（）代表 时刻系统所在空间的子系统，而（）则代表 时刻所在空间的子系统。系统处于 子空间时，进入相邻子空间的入口规则为：（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）系统处于 子空间时，进入相邻子空间的入口规则为：（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）系统处于 子空间时，进入相邻子空间的入口规则为：（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）系统处于 子空间时，进入相邻子空间的入口规则为：（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）混沌电路设
8、计研究式（）式（）的切换规则，发现四个子空间平衡点的坐标值、分别受状态变量、的阈值控制，进一步研究发现 与、与 存在如式（）（即图）所示的滞回关系，（）、（）为滞回函数，其定义为式（）：（）（）|（）图 （）和（）的函数图形式（）定义的系统，根据式（）（）的切换规则，设计得到的切换混沌系统方程，如式（）所示：?|（）（）|（）对照式（）设计的混沌电路如图 所示，集成运放、电路构成积分器，输出变量、，集成运放 电路构成加法器，集成运放、电路构成滞回比较器，实现滞回函数（）、（），软件仿真混沌系统电路的相图如图 所示。图 二维四涡卷混沌电路原理图图 二维四涡卷电路原理图和输出相图仿真结果表明，系统
9、式（）的运动模态不会停留在任何一个子空间中，它在四个子空间之间来回切换，无穷长时间，系统轨道可以“遍历”吸引子的每一个区域，波形具有噪声特性，相空间的面积是有界的，第 期吕恩胜：二维四涡卷混沌电路的设计及实现 各子系统是不稳定的，但整体稳定，这些特征是混沌系统的典型特点。可以理解为，线性旋转实现了拉伸机制，切换实现了折叠机制，系统变得混沌。优化的二维四涡卷混沌电路设计 优化的混沌电路观察式（），发现状态方程的?受（）、（）两个滞回函数的控制，理论上可以减少一个滞回函数（），系统式（）优化为式（）?|（）（）|（）同 节的出口边界与 节的入口规则，优化的混沌电路原理图如图 所示，比图 少一个电阻
10、，进行物理实验，以基本元器件搭建电子线路，示波器的相图如图 所示。图 优化的二维四涡卷混沌电路原理图图 二维四涡卷相图 混沌动力学对比分析对比图 与图，两个电路原理图只相差一个电阻和一条导线，当 、时，式（）的 指数为，式（）的 指数为，均大于零，表明两个系统均是混沌的，此外，两个方程表达式差别也较大，这种微小的改进，引起意想不到的效果，在混沌电路研究领域具有重要的理论和工程意义。以系统式（）为例，研究李指数，由于二维系统的一个 指数为零，只需研究最大 指数的变化即可，固定参数 ，参数：变化时，由图 可见，最大 指数螺旋上升；固定参数 ，参数：变化时，最大 指数是震荡状态的，符合图 的几何结构
11、分析结论，影响螺旋扩张的速度，决定分离的快慢，和 共同影响旋转的角速度，确定周期的大小。图 最大 指数图 二维四涡卷混沌电路调制保密通信系统 混沌保密通信以本文设计的图 混沌电路为例，采用反馈型驱动响应式同步混沌保密通信制式进行试验，电路原理图如图 所示，由发送端、接收端和信道三部分组成，发送端输出信号为、，接收端输出电 子 器 件第 卷信号为、，以 信号为载波，调制信号为，信道传输的是携带调制信息的混沌加密信号，由于严格的同步，因此，就是发送端的被调制信号，从而完成了混沌保密通信。只要保密通信系统的收、发电路对应元件的参数相同，就可以达到设计的实验效果。物理电路实验时，图 中，（）、（）为示
12、波器显示的收、发端同步时，的相图，同步得很好；（）、（）是将 的正弦调制信号 加入保密通信电路时，发送端的 混沌相图与接收端的 混沌相图，均为 涡卷混沌；（）是系统携带加密信号 时的发送端 波形图与接收端 波形图，观察不到二者的差别；（）是调制信号波形图与解调信号波形图，完全一致。在发送端，调制信号 被混沌所产生的混沌信号所遮掩，加密信号 具有混沌的随机性，在接收端，只有窃听者的电路与发送端的电路完全相同且同步时，才能窃听到调制信号，其实现在技术上是有难度的。此外的，混沌电路的状态变量以电压形式输出，单位是伏特，调制信号是毫伏级，因此该保密通信电路噪声系数小于，保密系统可靠。图 优化的二维四涡
13、卷混沌保密通信电路信号图 结论滞回切换系统同以往研究的连续动力系统有较大的不同，主要是它的状态函数有不连续的跳跃现象，在给定的切换规则作用下，以不同的模态在不同的子系统中跳跃运动，这种现象更接近控制系统的现实情况，对工业生产中的混沌控制与反控制技术带来许多启示，例如，机械系统的齿侧间隙、轴承支承间隙，电力系统的限幅、死区等环节导致系统切换混沌振荡的研究；切换系统具有复杂性，整体不等于各模态的叠加，即，有时会比含有非线性项方程组的混沌系统表现出更为复杂的动力学行为，同时具备连续和离散混沌系统的特征，适合于混沌保密通信，尤以主从式反馈型驱动响应式混沌调制保密通信为优；本文运用滞回切换，设计的二维混
14、沌系统是对称的。非对称系统的设计，在数学表达式上修改阈值范围和平衡点的坐标值即可；在技术上，只需调节滞回比较器的阈值电压和输出电压的大小即可。参考文献：，（）：吕恩胜 基于 的 系统标度化设计及硬件其实现 电子器件，（），（）：，第 期吕恩胜：二维四涡卷混沌电路的设计及实现 ，（）：，（）：，（）：王小娥，蔺小林，李建全 具有 型功能反应捕食系统的状态反馈控制 应用数学和力学，（）：施伟丰，蒋国平 基于 模糊模型的蔡氏混沌电路及其输出反馈同步 南京邮电大学学报（自然科学版，（）：禹思敏 混沌系统与混沌电路：原理、设计及其在通信中的应用 西安：西安电子科技大学出版社，：陈关荣，汪小帆 动力系统的
15、混沌化 理论、方法与应用 上海：上海交通大学出版社，：曹保锋，李鹏，李小强，等 基于强耦合 振子的微弱脉冲信号检测与参数估计 物理学报，（）：杨晓松，李清都 混沌系统与混沌电路 北京，科学出版社出版，：李清都，杨晓松 二维混沌信号产生器的设计 电子学报，（）：，：，（）：李清都，郭建丽 切换系统 指数的算法及应用 物理学报，（）：，：田亚平，徐璐，宋佩颉 基于 的含间隙单级齿轮系统混沌运动控制 振动与冲击，（）：，薛安成，付潇宇，王嘉伟，等 双馈风机系统的切换型混沌振荡及其非光滑分岔特性电力自动化设备，（）：吕恩胜（），男，汉族，河南光山人，硕士，主要研究方向：电路理论与应用、嵌入式技术，；熊 丽（），女，汉族，甘肃张掖人，教授，博士，主要研究方向：电路理论及应用。
