1、文章编号：（）具有输出约束的多柔性机械臂的模糊自适应一致性控制李俊鹏，王巍，于洋（辽宁工业大学 电气工程学院，辽宁 锦州 ）摘要：本文研究具有输出约束的多柔性机械臂的一致性控制问题。利用模糊逻辑系统在线辨识柔性机械臂的未知动态；在部分柔性机械臂获取领导者信息的情况下，将反步法与模糊自适应控制相结合，并运用正切类型的障碍李雅普诺夫函数处理柔性机械臂的输出约束问题，设计了模糊自适应一致性控制算法。根据李雅普诺夫稳定性理论，证明了闭环系统所有信号一致最终有界，所有具有约束的柔性机械臂能够跟踪领导者且跟踪误差收敛到原点的极小邻域内。最后，通过计算机仿真，验证了所提模糊自适应一致性控制算法的有效性。关键
2、词：多柔性机械臂；一致性控制；模糊逻辑系统；输出约束中图分类号：文献标识码：引言随着科学技术的日新月异，人工智能与互联网技术不断推广，机器人已经逐渐替代人们完成具有危险性和高度重复的工作。柔性机械臂作为机器人的一个分支，由于具有重量轻，能耗低，惯量小等优点，在工业生产、航空航天、医疗等诸多领域发挥着重要的作用。然而，柔性机械臂在运动过程中易产生振动，进而降低力和位置控制的控制精度，导致其控制难度增大。针对此问题，国内外学者提出了各种控制方案解决柔性机械臂的控制问题，例如：基于无源理论的控制方法，奇异摄动控制，反步法控制，动态面控制，以及基于观测器的输出反馈控制 等。此外，柔性机械臂在实际运行过
3、程中，考虑到模型特点、控制性能及安全因素等方面，要求系统在运行过程中给满足一定的约束条件。因此，文献 研究了考虑约束的柔性机械臂系统的控制问题，提出的控制算法能够有效抑制系统约束对控制性能的影响。由于工业生产领域对负载的类型、作业的精度以及容错性等方面的要求不断提高，因此单个机械臂的性能很难满足需求。目前，多机械臂系统的一致性控制已成为热点研究问题，并得到了控制理论与工程领域的广泛关注。关于多机械臂系统的一致性控制问题，已经取得了一些研究成果 。例如：文献 针对参数不确定的多机械臂系统，结合滑模控制技术，提出了神经网络自适应一致性控制算法。文献 利用模糊逻辑系统神经网络对未知函数的逼近特性，提
4、出了模糊神经网络自适应一致第 卷第期 模糊系统与数学 ，年月 ，收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；辽宁省应用基础研究计划项目（）；辽宁省自然科学基金资助项目（）作者简介：李俊鹏（），男，博士研究生，研究方向：智能控制与智能信息处理；王巍（通信作者）（），女，教授，研究方向：多智能体系统智能协同控制及其应用；于洋（），男，教授，研究方向：智能车辆的感知与运动控制，计算机视觉，工业过程控制等。性控制器设计方法，解决了动态未知多机械臂系统的一致性控制问题。注意到，上述一致性控制算法仅适用于基于 方程建模的多机械臂系统，无法直接应用到多柔性机械臂系统。此外，上述研究成果没有考虑多机械臂
5、输出约束的问题，然而机械臂在工作过程中，其实际输出被限制在一定范围内。因此，文献 提出的控制算法在实际应用过程中，会降低系统的控制性能，甚至会导致系统不稳定。目前，关于具有输出约束的多柔性机械臂系统的一致性控制问题鲜有报道，有待于进一步研究。在上述研究成果基础上，本文研究具有输出约束的多柔性机械臂系统的一致性控制问题。针对动力学参数不确定的多柔性机械臂系统，利用模糊逻辑系统在线辨识系统的未知参数，提出一种新型模糊自适应一致性控制算法。与文献 相比，本文主要贡献如下：（）文献 研究了单个具有约束的柔性机械臂的跟踪控制问题。本文研究的是存在信息通信的具有约束的多柔性机械臂系统，文献 中提出的控制算
6、法无法解决本文的控制问题。本文在部分柔性机械臂获取领导者信息的情况下，仅利用自身和邻居信息设计的模糊自适应一致性控制器，可以保证所有柔性机械臂跟踪领导者信号，即实现具有约束的多柔性机械臂的一致性控制。（）文献 研究了以 系统作为动力学模型的多刚性机械臂系统的一致性控制问题。相比于刚性机械臂，柔性机械臂的动力学模型更加复杂，具有非线性、强耦合等特点。文献 提出的一致性控制算法无法直接应用于多柔性机械臂系统。此外，文献 未考虑机械臂系统的输出约束问题，本文在控制设计中引入正切类型的障碍李雅普诺夫函数，可以有效克服输出约束对系统控制性能的影响。问题描述考虑由个“柔性机械臂”和一个“领导者”组成的多柔
7、性机械臂系统。第个柔性机械臂的数学模型如下：（）（），（）式中，是电机的角位置，是机械臂的角位置，是机械臂电机的输入力矩。是惯性，是电机与连杆间弹簧刚度，是电机转动惯量。是机械臂的质心与末端的距离，是机械臂的质量。令，?，?，。选取，作为系统的输出，则（）可以表示为如下形式：?，?，（，）?，?，（，），（）式中，是个柔性机械臂的输出，且（）。，（，）（），（，）（）。由于柔性机械臂参数的不确定性，（）和，（）可看做未知非线性函数。“领导者”标记为，其输出定义为，且，?，有界。个柔性机械臂之间的信息通信由有向图（，）描述，其中，是点的集合，表示第个“柔性机械臂”；（，）是边的集合，（，）表示第
8、个柔性机械臂把信息传递给第个柔性机械臂。是邻接矩阵，如果（，），；否则；不允许出现自边，即。度矩阵定义为 （，），其中。有向图的拉普拉斯矩阵定义模糊系统与数学 年为：。，描述“柔性机械臂”能否获得“领导者”的信息。如果“领导者”，则，否则。假设：柔性机械臂之间的通信网络是有向图，“领导者”与每个柔性机械臂的运动独立，且仅部分柔性机械臂能获得“领导者”的信息。控制目标：在有向通讯网络下，设计模糊自适应一致性控制器使得所有具有输出约束的柔性机械臂的输出能够跟踪“领导者”，即：且跟踪误差在原点的极小邻域内。模糊自适应一致性控制器设计结合反步法和模糊自适应控制技术进行控制器设计，每个柔性机械臂的控制器
9、设计包含步，实际控制器在最后一部给出。定义如下误差面：，（）（）（），（）式中，是虚拟控制器。第一步：对式（）求导，并将式（）代入得到?，（）（，），?（）为了解决输出约束问题，选取正切类型的障碍李雅普诺夫函数：，（）（）式中，是一个常数，且，（），。对，求导，并将式（）代入，得到：?，（）（，），?，（）（）第个虚拟控制器，设计如下：，（），（），（），?（）式中，是设计参数。则式（）可以表示为：?，（）（），（）（）注当，时，（），（），可以得到：，（），（）在没有约束的情况下，正切类型的障碍李雅普诺夫函数可以降为标准二次型函数，即正切类型的障碍李第期李俊鹏，王巍等：具有输出约束的多柔性机
10、械臂的模糊自适应一致性控制雅普诺夫函数也适用于没有输出约束的系统。第二步：对式（）中，求导，并将式（）代入得到?，（，）?，（）根据万能逼近定理，利用模糊逻辑系统逼近未知函数如下非线性函数：（），（），（，）?，（），（）其中，是最优参数向量，（），（，）是模糊基函数，（，?，），是最小模糊逼近误差。李雅普诺夫函数选取如下：，?，?，?，（）其中，是常数矩阵，是设计常数。?，其中，是，的估计值；?，其中，是，的估计值。对，求导，并将式（）和式（）代入，得到：?，（），（），（，），（，）?，（，），?，?，?，?，（）利用杨氏不等式，得到：，（），（，），（）其中，是设计常数。则?，可以进一步
11、表示为：?，（），（，）?，（，），?，?，?，?，（）设计虚拟控制律，参数，的自适应律分别为：，（，），（）?，（，），（）?，（）式中，是设计常数。将式（）至式（）代入到式（），并注意到：?，?，则有：模糊系统与数学 年?，（），?，?，（）第三步：对式（）中，求导，并将式（）代入得到?，?，（）根据万能逼近定理，得到：?，（），（）其中，是最优参数向量，（），（，）是模糊基函数，是最小模糊逼近误差。李雅普诺夫函数选取如下：，?，?，?，（）其中，是常数矩阵，是设计常数。?，其中，是，的估计值；?，其中，是，的估计值。对，求导，并将式（）代入，得到：?，?，（），（，），（，）?，（，），
12、?，?，?，?，（）利用杨氏不等式，得到：，（），（，），（）其中，是设计常数。则?，可以写为：?，?，（，）?，（，），?，?，?，?，（）设计虚拟控制律，参数，的自适应律分别为：，（，），（）?，（，），（）?，（）式中，是设计常数。将式（）至式（）代入到式（），得到：?，?，?，?，（）第四步：对式（）中，求导，并将式（）代入得到第期李俊鹏，王巍等：具有输出约束的多柔性机械臂的模糊自适应一致性控制?，（，）?，（）根据万能逼近定理，得到：，（，）?，（），（）其中，是最优参数向量，（），（，）是模糊基函数，是最小模糊逼近误差。李雅普诺夫函数选取如下：，?，?，?，（）其中，是常数矩阵，是
13、设计常数。?，其中，是，的估计值；?，其中，是，的估计值。对，求导，并将式（）和式（）代入，得到：?，?，（），（，），（，）?，（，），?，?，?，?，（）利用杨氏不等式，得到：，（），（，），（）其中，是设计常数。则?，可以写为：?，?，（，）?，（，），?，?，?，?，（）设计控制律，参数，和，的自适应律分别为：，（，），（）?，（，），（）?，（）式中，是设计常数。将式（）至式（）代入到式（），得到：?，?，?，?，（）稳定性分析本文的主要研究结果由下面的定理给出。定理考虑具有输出约束的多柔性机械臂系统（）满足假设，在控制器设（），虚拟控制器（），（），（）和参数自适应律（），（），（
14、），（），（），（）作用下，对于有界初始条件，所有模糊系统与数学 年柔性机械臂的输出能够跟踪“领导者”，且系统的输出不违背输出约束限制。证明选取如下李雅普诺夫函数：，（）对式（）求导，并将式（），式（），式（）代入，得到：?，（），?，?，?，?，?，?，（）注意到：?（）?，则式（）可以进一步表示为：?，（）（，），（，）?，?，（，）?，?，（，）?，?，?，?，?，（）其中，（，）。选择设计参数满足：，（）其中，都是正常数。则有?（）其中，。式（）表明闭环系所有信号是一致最终有界的。由式（）得到，（）是有界的，因此，即，始终保持在（，）区间内。此外，定义，注意到：（?），其中，?，。则有
15、?（），其中（）是矩阵 的最小奇异值。由此，可以推导出跟踪误差，（），最后得到，其中，（）（）。综合上述分析，可以得到：文中提出的控制算法可以保证所有柔性机械臂输出能够跟踪“领导者”，并且通过调节设计参数可以使跟踪误差收敛到零点的极小邻域内；此外，系统输出在约束范围内。第期李俊鹏，王巍等：具有输出约束的多柔性机械臂的模糊自适应一致性控制数值仿真本节通过仿真，验证本文提出的自适应一致性控制器的有效性。考虑由个单连杆柔性机械臂组成的系统，模型参数选取为：，.，.。柔性机械臂之间的信息通信由图描述。图网络通信图模糊隶属函数如下：.（，），.（，），.（，），.（，），.（，），。仿真中.。初始条件选
16、取如下：，（），（），（），（）.；.；，（），（），（），（）.；.；，（），（），（），（）.；.；，（），（），（），（）.；.；.；，（），（）。设计参数选取为：，.，.，.，.，.，是阶单位矩阵。在本文提出的控制算法（控制方案）作用下，仿真结果图至图所示。在不考虑多柔性机械臂系统存在输入约束问题的情况，设计模糊自适应一致性控制器（控制方案），其仿真结果如图至图所示。可以看出，控制方案和控制方案 均能实现多柔性机械臂的一致性控制，但是控制方案的误差，在约束范围内，而控制方案 的误差，不在约束范围内。因此，本文提出的模糊自适应控制算法不仅能实现多柔性机械臂的一致性控制，而且能约束系统的输出在一定范围内运行。图柔性机械臂和“领导者”的输出曲线（控制方案）模糊系统与数学 年图控制输入曲线（控制方案）图误差曲线，（控制方案）图柔性机械臂和“领导者”的输出曲线（控制方案）第期李俊鹏，王巍等：具有输出约束的多柔性机械臂的模糊自适应一致性控制图误差曲线，（控制方案）结论本文研究了具有输出约束的多柔性机械臂系统一致性控制问题。利用模糊逻辑系统辨识柔性机械臂的未知动态，结合反步法提出了模糊自适应
