1、 年月重庆师范大学学报（自然科学版）第 卷 第期 （）：平坦模与非诣零凝聚环张 晓 磊（山东理工大学 数学与统计学院，山东 淄博 ）摘要：【目的】为了研究非诣零凝聚环的理想理论刻画和模理论刻画。【方法】引入并研究了平坦模，并证明了平坦模类是盖类。【结果】类似于经典的凝聚环刻画，给出了非诣零凝聚环的理想理论刻画和模理论刻画。【结论】非诣零凝聚环是算子中非常值得研究的环。关键词：余挠理论；平坦模；非诣零凝聚环中图分类号：文献标志码：文章编号：（）在本文中，是有单位元的交换环。将的诣零根记为 （），的零因子元素集合记为（）。如果 （）是一个素理想，则称为 环。记是一个交换环并且对任意 （），都有 （
2、）（）。设是 环，如果，则称是环。更进一步，如果（）（），则称环是强环。环是整环的自然延伸，许多代数学家将整环的相关概念推广到环上。本世纪初，等人研究了链环和伪赋值环；将经典的 整环、伪赋值整环、整环和强 整环推广到环上；引进和研究了非诣零诺特环。年，等人引进了平坦模类和 正则环等相关概念。年，等人给出了非诣零凝聚环和凝聚环的概念。最近，张晓磊等人利用余挠理论研究了平坦模类的盖包性质，证明了对于任意环，平坦模类都是盖类；平坦模类是预包类当且仅当环是非诣零凝聚环。年，王芳贵等人 引入并研究了强 整环（简称为 整环）上的模。直到 年，尹华玉等人 将强 整环推广到一般交换环上，并称之为诺特环。对于整
3、环情形，平坦模首先出现在文献 中。王芳贵等人 将平坦模推广到一般交换环上。年，等人 引入了 环，并且证明了是 环当且仅当 （）是诺特整环。从而 环可以看成版本的诺特环。最近，张晓磊等人 对平坦模和平坦模进行推广得到了平坦模，并利用平坦模类刻画了正则环和 。本文首先利用平坦模类构成的余挠证明平坦模类是盖类。此外，平坦模类是预包类当且仅当平坦模类关于直积封闭。还引入了非诣零凝聚环并通过理想角度给出非诣零凝聚环的等价刻画。对于强环，是非诣零凝聚环当且仅当 （）是凝聚整环。最后，给出了非诣零凝聚环版本的 定理。平坦模根据文献，交换环的理想称为非诣零理想，如果存在非幂零元素。记（）是的所有非诣零理想构成
4、的集合。容易证明若是 环，则（）是理想乘法系统，即（）且对任意（），（），都有（）。设是模，记：（）存在（）满足 。如果 （），则称为挠模，如果 （），则称为无挠模。挠模类和无挠模类构成有限型的遗传挠理论。收稿日期：修回日期：网络出版时间：资助项目：国家自然科学基金面上项目（）第一作者简介：张晓磊，男，讲师，博士，研究方向为代数学，：网络出版地址：根据文献 ，如果对于有限生成理想，自然映射：（，）是同构，则称是 理想。的所有理想构成的集合记为（）。设是模，定义：（）存在（）满足 。如果 （），则称为 挠模；如果 （），则称为 无挠模。一个 无挠模称为模，如果对任意（），（，）。任意模都是模的环
5、称为环。若理想是模，则称为理想。如果是一个极大的理想，则记 （）。设是一个无挠模，定义（）存在（），使得 ，并称之为的包络。同态：称为单同态（满同态、同构），如果对任意 （），都有：是单同态（满同态、同构）。序列称为正合列，如果对任意 （），是正合列。根据文献 ，如果对任意单同态：，：也是单同态，则称模为平坦模。根据文献，模被称为平坦模，如果单同态：，其中 （）是挠模，：也是单同态。最近，张晓磊等人 对平坦模和平坦模进行了如下推广。定义 设是环。模被称为平坦模，指的是如果对于任意单同态：，其中 （）是挠模，都有：是单同态。所有的平坦模记为。显然，平坦模和平坦模都是平坦模。若基环是整环，则平坦模
6、是平坦模；若基环是环，则平坦模是平坦模。下面引理给出了平坦模的等价刻画。引理 对于模，下面各结论等价：）是平坦模。）对任意非诣零理想，：是单同态。）对任意非诣零理想，（，）是挠模。）对任意非诣零理想，乘法同态：是同构。）对任意有限生成非诣零理想，乘法同态：是同构。）对任意有限生成非诣零理想，（，）是 挠模。）对任意有限生成非诣零理想，：是单同态。从而易得到如下结论。引理设是环，则下面各结论成立：）若是平坦模或平坦模，则是平坦模。）平坦模的直和还是平坦模。）平坦模的纯子模和纯商模都是平坦模。）平坦模的直向极限还是平坦模。证明）根据定义，若是平坦模或平坦模，则显然是平坦模。）假设是平坦模，其中，则
7、对任意，任意：，其中 （）是挠，都有：是单同态，故：（）（）是单同态。所以是平坦模。）假设是纯正合列，其中是挠模，则有行列均正合的交换：。设是平坦模，故是单同态，所以和也是单同态，从而和都是平坦模。第期张晓磊：平坦模与非诣零凝聚环）假设是直向集，是平坦模，其中。考虑纯短正合列 。由结论）得，是平坦模，从而由结论）得 是平坦模。证毕一个模类称为预盖类，如果对任意模，存在一个同态：（），其中（）使得对任意，：必然经过分解。此外，如果使分解 成立的只有同构，则称为盖类。对偶的，可以定义预包类和包类。一对模类（，）称为余挠对，如果，并且，其中 （，），（，），。余挠对（，）称为完全的，如果是盖类并且是
8、包类。等人 证明了平坦余挠对是完全的，从而完全解决了著名的平坦盖猜想：任意结合环上，每个模都有平坦盖。下面证明平坦模类也是盖类。定理记是全体平坦模构成的模类，则（，（）是完全的余挠理论。从而，是盖类。证明显然，是平坦模，并且关于扩张和直和项封闭。由引理和文献 的定理 可知，（，（）是完全余挠理论。因此，是盖类。证毕命题记是全体平坦模构成的模类，则关于直积封闭当且仅当是预包类。证明由引理，关于纯子模封闭。若关于直积封闭，则由文献 的引理 和推论 得是预包类。另一方面，假设是一些平坦模构成的集合。如果是平坦预包，则对每个，存在分解。从而是恒等同态。因此，是的直和项，即是平坦模。证毕非诣零凝聚环假设
9、是模，如果存在有限生成自由和一个满同态：，则称为有限型的；如果存在正合序列，其中和有限生成自由模，则称为有限表现型的。根据文献 ，交换环称为凝聚环，如果任意有限型理想都是有限表现型的。称为凝聚环当且仅当任意有限生成理想是有限表现型的。假设是环，如果任意有限生成非诣零理想都是有限表现理想，则称是非诣零凝聚环。下面对凝聚环和非诣零凝聚环进行推广。定义假设是环。如果任意有限型非诣零理想都是有限表现型的，则称是非诣零凝聚环。显然，凝聚环和非诣零凝聚环都是非诣零凝聚环。非诣零凝聚整环显然是凝聚整环，非诣零凝聚 环显然是非诣零凝聚环。由文献 的定理 和命题 ，下面引理成立。引理设是短正合列，有下面条件成立
10、：）若是有限表现型，则是有限表现型当且仅当是有限型；）若和是有限表现型，则是有限表现型。下面通过理想角度给出非诣零凝聚环的等价刻画。定理设是环，则下面各结论等价：）是非诣零凝聚环。）如果任意有限生成非诣零理想都是有限表现型的。）任意两个有限型非诣零理想的交是有限型且任意非幂零元素的零化子是有限型的。）任意两个有限生成非诣零理想的交是有限型且任意幂零元素的零化子是有限型的。）对任意非幂零元素和任意有限型非诣零理想，（：）是有限型理想。）对任意非幂零元素和任意有限生成非诣零理想，（：）是有限型理想。证明）、）、），显然。）。设和是有限型非诣零理想，从而是有限表现型，故是有限表现型的。考虑短正合列。
11、由于是有限型非诣零理想，则根据引理可得是有限型理想。假设 （），考虑短正合列 （）。由于 是有限表现型，从而 （）重庆师范大学学报（自然科学版）：第 卷是有限型的理想。）。假设是有限型非诣零理想，则存在有限生成子理想使得是 挠模。因为是非诣零理想，存在非幂零元素，从而存在 理想使得。由于是非诣零理想，是环，所以是非诣零理想。从而是有限表现型的，故是有限表现型的。）。假设由至少个元素生成的有限生成理想。下面对进行归纳证明是有限表现型的。若，则由短正合列 （）（其中 （）可得。假设时，结论成立。设，则非诣零理想，其中 （），是由至少个元素生成。则有正合列 。假设是非诣零理想，则 是有限型的，又因为
12、 是有限表现型，从而根据引理可得 是有限表现型的。假设是诣零理想，则，从而 ，矛盾。）。假设是非幂零元素，是有限型非诣零理想。考虑行正合交换：（：）（）（）。由于是非诣零凝聚环，是有限型非诣零理想，有 是有限表现型。由引理，（）是有限表现型，故（：）是有限型。）。利用归纳证明至少生成非诣零理想是有限表现型的。当时，同样可由短正合列 （）可得。假设（其中）时，结论成立。设，则。与）类似，可以假设是由至少生成非诣零理想，（）。考虑短正合列（：）（）。根据引理，（）是有限表现型的。再考虑短正合列，由于是有限表现型的，故由引理可得是有限表现型的。证毕推论假设是非诣零凝聚环，是非零因子乘法集，则是非诣零
13、凝聚环。证明设是有限生成非诣零理想，其中是有限生成理想。显然，是非诣零理想，从而是有限表现型理想。由文献 的引理 得是有限表现型理想。证毕推论设是强环，则是非诣零凝聚环当且仅当 （）是凝聚整环。证明假设是非诣零凝聚环。若 （）是有限生成非零 （）理想，则是有限生成非诣零理想。因为是非诣零凝聚环，所以是有限表现型的。从而存在两个短正合列和，其中和是挠模，是有限表现模。则有 （）模短正合列 （）（）。根据文献 的引理 结论（）可得，是 挠 （）模，（）是有限生成 （）模。考虑正合列：（）（）（）。由文献 的引理 结论（）可得 （）（）（）。则有短正合列 （）（）。再根据文献 的引理 结论（）得是
14、挠 （）模。因为 （）是有限表现 （）模，所以 （）是有限表现型 （）模。反之，假设是有限生成非诣零理想，则 （）是有限生成 （）理想。因为 （）是凝聚整环，所以 （）是有限表现型 （）理想。假设 （）（，），其中是中的非幂零元素（，）。不妨设（，）。对进行归纳证明是有限表现型理想。当时，由于是强环，从而 是有限表现型理想。对于一般情形，则（，）。根据归纳，有（，）和 都是有限表现型理想。由于 （）是凝聚整环，所以（，）（）（）（，）（）是有限型 （）理想。从而根据文献 的引理 可得（，）是有限型非诣零理想。考虑短正合列（，）（，）（，），则根据引理，有是有限表现型理想。许多非整环的例子是通过
15、理想化（）构造的，其中是模。令（）作为模同构于，定义：）（，）（，）（，）；）（，）（，）（，）。第期张晓磊：平坦模与非诣零凝聚环在此定义下，（）成为有单位元（，）的交换环。下面通过理想化（）构造说明非诣零凝聚环不一定是凝聚环，也不一定是非诣零凝聚环。例假设是非凝聚的凝聚整环，是的商域，从而不是有限生成模。令（），则是强环。诣零根 （）（），所以 （）是凝聚环但不是凝聚环。根据推论，是非诣零凝聚环。再由文献 的注 ，不是非诣零凝聚环。下面说明不是凝聚环。注意到（，）是有限生成理想。考虑自然短正合列（，），则 （）（）。由于模不是有限生成模，从而不是有限型模。根据文献 的引理 ，可得理想 （）不
16、是有限型理想，从而（，）不是有限表现型的。凝聚环的研究很大程度上得益于 教授在 年给出的结论（现称为 定理）：是凝聚环当且仅当平坦模的任意直积还是平坦模。证明过程依靠于如下自然同态：（），（）a（）。式中：是模，是模。同样根据此自然同态可证明如下的非诣零凝聚环版本的 定理。定理设是环，则下面各结论等价：）是非诣零凝聚环；）任意非诣零平坦模的直积是平坦模；）任意平坦模的直积是平坦模；）任意投射模的直积是平坦模；）的任意直积是平坦模。证明）。设 是一族非诣零平坦模及是的有限生成非诣零理想。则根据定理，是有限表现型的。从而根据文献 中引理 的结论（），可得存在正合列，其中是有限表现模及是挠模。考虑如下行正合交换：（）（）（）。因为是 挠模，所以 （）也是 挠模。现在考虑如下行正合交换：（，）（，）（）（）。注意到 （，）（），所以 （，）是 挠模。因此，根据引理可得是平坦模。），显然成立。）。只须证明任意有限生成非诣零理想是有限表现型的。考虑如下自然同态交换：。由于是平坦模，从而是单同态。从而是单同态。根据文献 的命题 ，是有限表现型。重庆师范大学学报（自然科学版）：第 卷下面可以给出既不是
