1、Gronwall不等式的推广石婷，孙甜，张辉*（安庆师范大学 数理学院，安徽 安庆 246133）摘要：Gronwall不等式是数学理论研究和应用的重要工具之一。经典的Gronwall不等式在现代偏微分方程理论研究中具有举足轻重的地位。本文通过系列的数学分析方法对其进行了改进和推广，该研究结果不仅丰富了Gronwall不等式的理论，同时也扩大了其应用范围。关键词：Gronwall不等式；分离变量；积分求解；积分因子中图分类号：O177.1文献标志码：A文章编号：1007-4260（2023）02-0010-04Generalization of Gronwall InequalitySHI T
2、ing,SUN Tian,ZHANG Hui*(School of Mathematics and Physics,Anqing Normal University,Anqing 246133,China)Abstract:Gronwall inequality is a crucial tool in mathematical theory and its applications.The classical Gronwall in-equality is fundamental to modern mathematics,especially in the study of partial
3、 differential equations.In this paper,the classi-cal Gronwall inequality is improved and extended by various methods of mathematical analysis.These results not only enrichthe corresponding theory but also enlarge the application scope of Gronwall inequality.Key words:Gronwall inequality;separate var
4、iables;integral solution;integral factorGronwall不等式是一类非常重要的不等式，其广泛应用在数学的各个分支。该不等式主要通过微分或积分等方式获得未知函数的数值估计，在利用偏微分方程进行能量估计方面尤为重要。然而，经典的Gronwall不等式在具体应用时有一定的局限性。许多学者对该不等式进行了改进和推广1-8。例如，文献1研究了具有多个奇异点的广义Gronwall不等式。文献2将经典的Gronwall不等式应用到由实际问题所提出的偏微分方程组。文献4通过构造辅助函数，得到了证明Gronwall不等式的一个新方法，拓宽了学术思维。也有学者运用多种数学方
5、法对一般的Gronwall不等式进行延拓，推广了高阶线性不等式、一阶线性Gronwall不等式等，且其推广结果有着广泛应用6-8。本文从经典的Gronwall不等式出发，对其基本结构进行了改进并获得相应结果。与其他文献相比，本文推广方式没有改变不等式的基本结构，而形式也没有变复杂，可以使读者更好理解其基本思想，为开展深入研究提供了有益参考。1经典Gronwall不等式经典的积分型Gronwall不等式可以表述如下9：收稿日期：2022-04-11基金项目：安徽省质量工程项目（2020mooc271）和安庆师范大学研究生学术创新项目（2021yjsXSCX046）作者简介：石婷（1998），女，
6、安徽安庆人，安庆师范大学数理学院硕士研究生，研究方向为偏微分方程。E-mail：通信作者：张辉（1980），男，安徽桐城人，博士，安庆师范大学数理学院副教授，硕士生导师，研究方向为偏微分方程。E-mail：DOI：10.13757/34-1328/n.2023.02.0022023年5月第29卷第2期安庆师范大学学报（自然科学版）Journal ofAnqing Normal University（Natural Science Edition）May 2023Vol.29 No.2第2期定理1设E(t)是定义在0,T 上的一个非负连续函数，且满足不等式E(t)c0tE()d+M，（1）其中，
7、c、M均为正常数，则对任意的t 0,T，有E(t)Mect。证明记I(t)=0tE()d，有I(0)=0且dIdt=E(t)，则不等式（1）可转化为dIdt cI(t)+M，（2）上式两边同时乘以e-ct，得到ddt(e-ctI(t)Me-ct，将不等式两边同时对t积分，有I(t)Mc(ect-1)，（3）将公式（3）代入公式（2），得到E(t)=dIdt M(ect-1)+M Mect，则定理1成立。2Grownwall不等式的推广通过改变经典的积分型Gronwall不等式条件，如定理1的不等式（1），考虑被积函数的幂次发生改变、常系数换成变系数，以及被积函数再乘以一个函数的多种组合情况，可
8、得到定理2-8。2.1对积分号内E(t)的次数进行改进文献10推广了n维空间下的Gronwall不等式，但其被积函数的幂次为1。在本文中，我们将讨论被积函数的幂次不再是1时，即当E(t)的次数满足0 1的两种情形（此时讨论的是一维空间，n维空间可以类似推导），分别得到如下两个结论。定理2设E(t)是定义在0,T 上的一个非负连续函数，且满足不等式E(t)c0tE()d+M，0 1，（4）其中，c、M均为正常数，则对任意的t 0,T，有E(t)c(1-)t+M1-11-。证明记I(t)=0tE()d，有I(0)=0且I(t)=E(t)，则不等式（4）可转化为I(t)(cI(t)+M)-1，将上式
9、两边同时对t积分，有(cI(t)+M)1-c(1-)t+M1-，由条件可知0 0，有cI(t)+M c(1-)t+M1-11-，由E(t)cI(t)+M可得I(t)E(t)-Mc，将其代入上式得E(t)c(1-)t+M1-11-。证毕。由定理2可知，当被积函数E(t)的次数为0 1，（5）其中，c、M均为正常数，则对任意的t 0,T，有E(t)c(1-)t+M1-11-。证明令I(t)=0tE()d，有I(0)=0且I(t)=E(t)，则不等式（5）可转化为I(t)(cI(t)+M)，分离变量得到I(t)(cI(t)+M)-1，将上式两边同时对t积分，得(cI(t)+M)1-c(1-)t+M1
10、-，由条件可知 1，则1-0，有cI(t)+M c(1-)t+M1-11-，由E(t)cI(t)+M可得I(t)E(t)-Mc，将其代入上式可得E(t)c(1-)t+M1-11-。证毕。2.2对常数c和M进行改进同时改变定理1中c、M的条件，利用分离变量的方法，找到合适的积分因子，从而也能够找到一个石婷，孙甜，张辉：Gronwall不等式的推广 11安庆师范大学学报（自然科学版）2023年E(t)的控制函数。定理4设E(t)是定义在0,T 上的一个非负连续函数，c(t)、M(t)为正连续函数，且满足不等式E(t)c(t)0tE()d+M(t)，（6）则对任意的t 0,T，有E(t)c(t)e0
11、tc()d0te-0sc()dM(s)ds+M(t)。证 明令I(t)=0tE()d，有I(0)=0且I(t)=E(t)，则 不 等 式（6）可 转 化 为I(t)-c(t)I(t)M(t)，将两边同时乘以e-0tc()d，有 I(t)-c(t)I(t)e-0tc()d M(t)e-0tc()d，同时对两边t积分，得e-0tc()dI(t)0tM(s)e-0sc()dds，由E(t)c(t)I(t)+M(t)得I(t)E(t)-M(t)c(t)，将其代入上式有E(t)c(t)e0tc()d0te-0sc()dM(s)ds+M(t)。证毕。2.3对积分号内E(t)乘以一个正连续函数来改进在定理1
12、基础上将被积函数乘以一个正连续函数k(t)，推导发现，利用变量分离和通过找合适的积分因子的方法，也可以得到类似于定理1的结论，即找到一个E(t)的控制函数。定理5设E(t)是定义在0,T 上的一个非负连续函数，k(t)为正连续函数，且满足不等式E(t)c0tk()E()d+M，（7）其中，c、M均为正常数，则对任意的t 0,T，有E(t)Me0tck()d成立。证明令I(t)=0tk()E()d，有I(0)=0且I(t)=k(t)E(t)，则不等式（7）可转化为I(t)-cI(t)k(t)Mk(t)，将上式两边同时乘以e-0tck()d，有e-0tck()dI(t)-Mce-0tck()d，同
13、时对上式两边t积分，得到e-0tck()dI(t)Mc-Mce-0tck()d，由E(t)cI(t)+M知I(t)E(t)-Mc，将其代入上式得E(t)Me0tck()d。证毕。以上只是对定理5证明的一种思路。事实上，通过不等式（7）直接变形，然后对变形后的结果直接积分，也可以得到定理5的结论。以下给出定理5的另一种证明。由不等式（7）可得cE(t)k(t)c0tk()E()d+M ck(t)，两边同时对t积分，有ln(c0tk()E()d+M)-lnM c0tk()d c0tk()E()d+M Me0tck()d。由0tk()E()d E(t)-Mc得E(t)Me0tck()d。证毕。2.4
14、对积分号内E(t)乘以一个正连续函数与其次数来改进文献11建立了函数矩阵中的一个Gronwall型积分不等式，另外文献12对Gronwall不等式进行了推广并应用在一阶常微分方程Cauchy初值问题研究中，但被积函数幂次均为1。因此，本文考虑了当E(t)的次数为0 1时的结果，并分别得到定理6和定理7。定理6设E(t)是定义在0,T 上的一个非负连续函数，k(t)为正连续函数，同时0 1，且满足不等式E(t)c0tk()E()d+M，（8）12第2期其中，c、M均为正常数，则对任意的t 0,T，有E(t)c(1-)0tk()d+M1-11-。证明记I(t)=0tk()E()d，有I(0)=0且
15、I(t)=k(t)E(t)，则不等式（8）可转化为I(t)(cI(t)+M)k(t)，同时对上式两边 t 积分，得到1c(1-)cI(t)+M 1-0tk()d+M1-c(1-)，由 条 件 可 知0 0，有cI(t)+M c(1-)0tk()d+M1-11-，由E(t)cI(t)+M，可得E(t)c(1-)0tk()d+M1-11-。证毕。定理7在定理6的条件下考虑 1的情况，且满足不等式E(t)c0tk()E()d+M，（9）对任意的t 0,T，则定理6的结果为E(t)c(1-)0tk()d+M1-11-。证明记I(t)=0tk()E()d，有I(0)=0且I(t)=k(t)E(t)，则可
16、此将不等式（9）转化为I(t)cI(t)+M-k(t)，同时对两边t积分，得到cI(t)+M 1-c(1-)0tk()d+M1-，由条件可知 1，则1-0，有cI(t)+M c(1-)0tk()d+M1-11-，由E(t)cI(t)+M，可得E(t)c(1-)0tk()d+M1-11-。证毕。2.5对常数c、M以及积分号内E(t)乘以一个正连续函数来改进同时改变定理5中不等式（7）的c、M条件，利用分离变量的方法找到合适的积分因子，也能够找到一个E(t)的控制函数，从而得到定理8。定理8设E(t)是定义在0,T 上的一个非负连续函数，k(t)、c(t)、M(t)为正连续函数，且满足不等式E(t)c(t)0tk()E()d+M(t)，（10）则对任意的t 0,T，有E(t)c(t)e0tk()c()d0te-0sk()c()dM(s)k(s)ds+M(t)成立。证明记I(t)=0tk()E()d，有I(0)=0且I(t)=k(t)E(t)，则可此将不等式（10）转化为I(t)-k(t)c(t)I(t)M(t)k(t)，将上式两边同时乘以e-0tk()c()d，有 I(t)e-0tk()c
