1、第 43 卷 第 7 期2023 年 7 月电 力 自 动 化 设 备Electric Power Automation EquipmentVol.43 No.7Jul.2023电力系统低频减载的单调控制特性刘印，陈民权，李京，张谦，甘德强（浙江大学 电气工程学院，浙江 杭州 310027）摘要：新能源占比的不断提高使得频率稳定问题日渐突出，因此迫切需要研究系统的频率稳定量化评估分析方法，也需对频率安全控制的最后一道防线低频减载进行更深入的分析。将单调控制系统理论运用到低频减载分析过程中，根据单调控制系统的输入-输出判定条件，推导单机和多机系统低频减载时频率分别需要满足的保序特性量化关系。此外
2、，分析时采用全状态模型，在保证电网规律性和解析性的同时获得更高的可扩展性，综合频率与功角、电压以及相关参数间的耦合关系。并结合灵敏度分析了电网内部变量之间的相关关系，以指导电网故障时的参数设置。最后，分析目前光伏参与调频的3种常见情况，分别说明单调控制理论的适用性，并通过算例进行验证。关键词：电力系统；低频减载；单调控制；保序；全状态模型；灵敏度中图分类号：TM761+.2 文献标志码：ADOI：10.16081/j.epae.2022100060 引言截至2021年底，我国风力发电和太阳能发电装机容量已分别达330 GW和310 GW，发电量同比分别增长16.6%和20.9%1。随着新能源占
3、比的不断提高，电力系统电力电子化特征愈发凸显，严重影响系统的频率稳定性。电力系统频率响应能力主要由系统的转动惯量与调频能力决定，由于新能源一般通过电力电子换流器与电网接口，在常规控制下其输送功率与电网频率解耦，不具备传统电机按照惯性时间常数分配扰动功率的能力，不能主动响应电网频率变化，从而不具备惯量及一次调频能力，使得系统频率调节能力变差23。并且新能源出力受电压影响显著，在出现扰动时进一步恶化系统频率特性，导致系统频率快速跌落或飙升，可能触发低频减载，严重时甚至会造成系统解列。为提升高占比新能源电网频率的认识水平，迫切需要深入研究系统的频率稳定分析方法。目前频率稳定分析方法主要包括时域仿真法
4、、模型分析法、机器学习法。时域仿真法是将电力系统等效为1组微分代数方程，用仿真软件进行时域仿真，得到扰动后系统的频率变化曲线，判断频率变化曲线最低点、频率变化率等关键指标是否越限4。模型分析法通过对时域仿真的详细模型进行合理的假设和简化，进而建立表征频率动态特征量的解析化表达式，求解频率特征。机器学习法指通过对数值仿真获得的样本数据进行特征提取和离线学习，将预想故障及运行数据输入已训练好的机器学习模型，以实现频率响应快速计算5。时域仿真法可利用详细的系统频率模型，计算结果精度相对较高，具有较好的可扩展性，但存在计算量大、耗时长的特点，并且由于新能源的加入，电网不确定因素增加，复杂度更高，系统更
5、难以满足频率安全在线评估需求6。机器学习法的样本数据必须由数值仿真获得，其精度本质上仍依赖于时域仿真计算。此外，上述2种方法对电网的可解释性和泛化能力较弱。系统频率动态及相关参数的解析关系以及电网规律性和解析性结论的获取主要依靠模型分析法7。为提升分析效率，模型分析法中通常采用平均系统频率（average system frequency，ASF）模型8和系统频率响应（system frequency response，SFR）模型9。这2种模型都具有降低系统规模、计算量小以及直观快速地求解频率特征的特点，但这2种模型都忽略了电压动态变化、网络拓扑和机组之间的影响，并忽略了频率与功角、电压之间
6、的耦合关系。例如当机组间频率振荡或系统电压发生较大偏移时，计算结果与真实值之间往往存在较大偏差。只有当系统采用全状态模型10，即综合考虑机组、负荷、网络以及控制器的动态特性时，才能在保证电网规律性和解析性的同时获得更高的精确度。此外，模型分析法常结合灵敏度分析探究物理量间的微分关系，即利用灵敏度刻画因变量对自变量的敏感程度。比如文献 11 采用轨迹灵敏度分析再热时间常数、惯性常数等不同参数对系统频率及其变化率的影响。文献 12 利用特征根灵敏度分析调速器参数对频率偏移峰值的影响。文献 13 根据阻尼灵敏度大小选择最佳光伏并网节点。而本文利用灵敏度分析在低频减载故障下相关变量间的关系，表征当系统
7、收稿日期：20220518；修回日期：20220818在线出版日期：20221012基金项目：国家自然科学基金资助项目（U2166601）Project supported by the National Natural Science Foundation of China（U2166601）182第 7 期刘印，等：电力系统低频减载的单调控制特性处于某一初始条件或参数发生微小变化时，利用系统中物理量之间的微分或代数关系，得到系统某一因变量对另一因变量的变化趋势及变化大小，以探究系统各变量之间的相关性。本文将单调控制理论运用到低频减载问题的分析中，论证频率响应曲线对应不同切载比率的保序关系。
8、采用全状态模型，综合考虑系统频率与功角、电压间的相互作用，尽可能真实地分析扰动作用下系统的动态行为。并通过灵敏度分析方法，分析电网内部变量之间的相关关系，以指导电网故障时的控制参数设置。1 单调控制系统理论单调动态系统理论已有悠久的历史，最早的经典结果是Muller-Kamke定理，其发现常微分方程解关于初值存在保序性质，即单调性，并将满足此性质的系统称为单调系统。但此时单调性仅指系统的解与状态量的对应关系。经过不断发展，Angeli 和Sontag将其推广到包含输入控制的系统中，即单调控制系统，并得到其输入量和输出量之间满足单调保序特性的条件和特征14。考虑输入-输出的控制系统如式（1）所示
9、。x?=f(x，u)y=h(x，u)（1）式中：状态向量x定义在X Rn上，n为状态向量的维数；输入向量u定义在U Rp上，p为控制向量的维数；输出向量y定义在Y Rm上；映射 f：X UIRn（IRn指有序欧几里得空间）在(x，u)上连续，在x上为局部李普希茨连续；映射h：XY 连续。若式（1）所示系统满足式（2）所示条件，则称其为单调控制系统。x1，x2X，u1，u2U，x1x2，u1u2 h(t，x1，u1)h(t，x2，u2)，t0（2）式中：x1、x2和u1、u2分别为x、u中的元素。对于系统单调控制系统保序特性的确定可参考文献 15 中的结论：在任意时间断面上，输出向量y均可由输入
10、向量 u 和状态向量 x 经过映射 h 得到。假设在 t时刻，系统状态向量中包含 x1、x2这 2个元素，对应的输入量为u1、u2，可得单调控制系统的保序特性判定条件，如式（3）所示。yi(t，x2，u2)-yi(t，x1，u1)=01j=1nhixj(x1+r(x2-x1)，u1+r(u2-u1)(xj2-xj1)dr+01j=1phiuj(x1+r(x2-x1)，u1+r(u2-u1)(uj2-uj1)dr0（3）式中：yi为第i个输出量；上标 j 表示各变量的第j 个分量；r为积分变量。2 电力系统频率全状态模型2.1单机系统电力系统频率全状态模型是一个闭环控制系统，通过考虑全网机组、网
11、络结构的动态特性，从而尽可能地反映系统在扰动作用下的动态行为。由于单机系统是分析频率稳定的最简系统，并能有效反映系统有功频率控制的动态过程，以附录A图A1所示单机系统为例开展频率全状态模型研究。利用网络间代数关系消去代数方程部分，从而得到1组表征电网动态的纯微分方程。原动机调速器的动态模型为16：TSVdPSVdt=-PSV+PC-1RD(-1)（4）TCHdPMdt=-PM+PSV（5）式中：PSV、PC、PM分别为汽室输入功率、功率改变值、机械功率；TSV为调速器的时间常数，其取值通常小于 100 ms；TCH为汽室的时间常数，其取值范围为 0.2，2 s；为同步发电机转子转速；1/RD为
12、调速器增益，RD为静调压系数，其典型的取值范围为0.03，0.06。功率改变值PC作为1个控制输入项，可以是固定常数或是自动发电控制的输出。当PC为固定常数时，考虑稳态平衡点可得：PC=PMref（6）式中：PMref为参考机械功率。同步发电机采用 3 阶模型，并忽略凸极效应。当需要考虑暂态过程中转速变化对转子运动方程的影响时，同步发电机的转子运动方程为：Mddt=PM-Pe-D()-ref（7）式中：M为惯性时间常数；Pe为电磁功率；D为负荷-阻尼常数；ref为同步发电机转子额定转速。文献17 分析了同步发电机建模中转子运动方程考虑转速变化与否对仿真计算结果的影响：绝大多数情况下忽略转速变化
13、会使稳定性评估偏保守；但对于同步发电机3阶模型，其是否考虑转速变化对结果影响很小。为简化分析，本文忽略转速变化因素，当同步发电机配置比例型励磁电压调节器时，其动态模型为：|?=s()-refM?=PM-Pe-D()-refTd0E?q=Efd-Eq-()Xd-XdIdTAE?fd=KAUref-Efd-KAUG（8）式中：s为同步发电机转子标称转速；为同步发电机功角；Xd、Xd分别为同步发电机d轴电抗和d轴暂态电抗；Eq、Efd分别为同步发电机q轴暂态电动势相183电 力 自 动 化 设 备第 43 卷量Eq、励磁电压相量Efd的幅值；UG为同步发电机机端电压幅值；Id为d轴定子电流幅值；Td
14、0、TA分别为同步发电机d轴暂态时间常数和励磁调节器时间常数；KA为调节器放大系数；Uref为内部电压调节参考值，由潮流数据确定，如式（9）所示。Uref=UG0+Efd0/KA（9）式中：UG0为稳态机端电压幅值；Efd0为稳态励磁电压幅值。单机系统中同步发电机的电磁功率Pe为：Pe=EqULXsin（10）式中：UL为负荷节点电压相量UL的幅值；为Eq和UL的相角差；X为系统电抗，X=Xd+Xe，Xe为系统外接电抗。将式（10）代入式（8），消去代数方程，从而得到式（4）、（5）、（8）所示微分方程组以描述单机系统频率的全状态模型。2.2多机系统多机系统参数设置与单机系统一致。只需将式（4
15、）、（5）、（8）所示单机系统模型的微分方程扩展成矩阵形式，详细推导过程见附录A式（A1）（A7），最终可得多机系统频率的全状态模型如附录 A 式（A8）所示。3 单机系统频率单调验证3.1单机系统低频减载中的单调控制现象基于单机系统，设置同步发电机参数如附录A表A1所示，并取外接电抗（包括变压器和输电线路的电抗）Xe=0.1 p.u.，负荷为恒阻抗类型，其有功功率为80 MW，无功功率为60 Mvar；同步发电机容量等于系统基准容量SB，取SB=100 MV A。由单机系统全状态模型可知：状态向量x包含汽室输入功率、机械功率、同步发电机功角、转子转速、q轴暂态电动势Eq、励磁电压Efd；控制
16、量（即输入量）为负荷节点切载比率u；输出量y为系统频率。故单机系统数学模型可写成式（1）所示的输入-输出系统形式。首先分析代数方程，由电路方程可得考虑切载比率的负荷电压相量UL的解析表达式为：UL=RL+jXLj()Xd+Xe()1-u+()RL+jXLEqej（11）式中：RL+jXL为等值负荷阻抗。令Xu=()Xd+Xe()1-u+XL，由式（11）可得负荷电压幅值UL的简化表达式为：UL=()R2L+X2L()R2L+X2uR2L+X2uEq=K1Eq（12）将式（12）代入式（10），以q轴暂态电动势Eq表示电磁功率。对于稳态平衡点，将式（4）、（5）、（8）所示微分方程的等号左端项置0，可得输出量表达式为：y=RD|PMref-K1(Eq)2Xsin +ref（13）由式（13）可知：稳态频率的变化量由系数K1、Eq和sin 决 定。不 同 切 载 比 率 下K1、Eq、sin 和K1(Eq)2sin 的变化情况见表 1，表中Eq为标幺值。由表可知：系数K1随切载比率的增加而上升，逐渐趋近于 1；Eq与sin 均随切载比率的增加而下降。结合式（13）和表1可知：切载后频率的稳
