1、融会贯通 深入本质 两道“姊妹习题”的教学与思考刘向权 刘子岭(利辛中学 安徽亳州 2 3 6 7 0 0)摘要:通过两道经典的“姊妹习题”的教学,从系统的角度审视数学,置散乱知识于系统之中,着眼于数学知识间的紧密联系和内在规律,以及数学思想方法的渗透,在融会贯通的过程中,透过纷繁复杂的现象,深入数学的本质。关键词:习题教学 联系规律 思想渗透 义务教育数学课程标准(2 0 2 2年版)(以下简称 新课标)在“课程实施”之“教学建议”部分明确指出:教学内容是落实教学目标、发展学生核心素养的载体。在教学中要重视对教学内容的整体分析,帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数
2、学知识体系。基于上述观点,怀揣着对数学教研孜孜不倦的热情,笔者对沪科版八年级上册数学教材中两道“姊妹习题”进行了认真挖掘与剖析,并尝试在融会贯通中深入并揭露数学的本质。本文将这两道习题的教学设想、教学实施和教学思考对读者加以分享,旨在为广大初中数学教育同行提供教学参考,以求抛砖引玉。一、习题呈现习题1:已知,如图1,A BA B,B CB C,B C交A B 于点D。求证:B=B。图1习题2:已知,如图2,A BA B,B CB C,B C 交A B于点D。求证:B+B=1 8 0。图2这两道习题源自沪科版八年级上册数学教材第8 5页第1 3章第2节“命题与证明”节末习题1 3.2中第7题、第
3、8题。为便于叙述,本文分别将第7题、第8题称为“习题1”“习题2”。因这两道习题在教材中连续出现且关系特殊,可共同抽象、归纳得到一个重要数学命题,故称它们为“姊妹习题”。二、教学设想“命题与证明”是初中生正式学习几何证明的起始章节,通过翻阅沪科版八年级上册数学教材可以发现,本节教材的教学内容约需5个课时完成,而整节教材仅安排了9道习题,足见题目数量之少。因此,如何才能最大限度地发挥每道习题的教学价值与效益,无疑是对数学教师教学智慧的一大考验。读者若能细细品味习题1、习题2的编排顺序与逻辑关系,教材编写者的深刻意图和巧妙设想便可见一斑。在本节两道“姊妹习题”的教学中,如果仅停留在“完成证明”的肤
4、浅层面,这无异于坐失良机。基于此,笔者试图依托两道“姊妹习题”的教学,引导学生纵深挖掘数学知识之间的微妙联系和内在规律,进而将散乱的数学知识系统化,让学生在融会贯通中,透过纷繁复杂的外在现象,认识事物的内在本质,进而领悟数学的真谛。三、教学实施(一)引导分析,证明习题教师:请同学们结合习题1的条件和图1进行思考,这两个角离得比较“远”,要证明B=B,该怎么办呢?学生1:可以利用平行线的性质,先证明B和B 都等于A D C(或B D B)。教师:具体说说怎么书写证明过程吧!学生1选择利用“两直线平行,同位角相等”这25融会贯通 深入本质 一性质(在实际教学中,也可能会有同学选择利用“两直线平行,
5、内错角相等”这一性质)口述证明过程,其余同学补充如下:证明 A BA B,B CB C,(已知)B=A D C,B=A D C。(两直线平行,同位角相等)B=B。(等量代换)教师:在这里,A D C就像一座“桥”,建立了B和B 之间的联系,这个思路很巧妙!我们接着分析习题2,哪位同学来谈谈自己的想法?学生2:这道题也可以类似地通过A D B 这座“桥”将B与B 联系起来。教师:请说说具体怎样联系。学生2:利用平行线的性质,先证A D B+B=1 8 0,再由“两直线平行,同位角相等”可证B=A D B,从而得到B+B=1 8 0 这一结论。此题可先让学生尝试证明,再逐步规范证明过程,具体如下:
6、证明 A BA B,(已知)A D B+B=1 8 0。(两直线平行,同旁内角互补)B CB C,(已知)B=A D B。(两直线平行,同位角相等)B+B=1 8 0。(等量代换)教师要善于鼓励学生从不同角度分析问题,尝试用不同方法解决问题,只要思路清晰合理,方法得当,均应予以肯定。(二)自然联想,整合归纳教师:对于习题1,在不改变题目条件的前提下,如果教材未给出图形,你能通过联想,画出与图1不同的图形吗?学生3与同学充分交流讨论,结合图1联想得到图3。图3教师:那么,对于习题2,如果将题目中的“B C 交A B于点D”改为“B C交A B 于点D”,其他条件和所要证明的结论不变,你还能画出与
7、图2不同的图形吗?学生4先自主尝试画图,再与同学进行必要的交流讨论,联系图2得出图4。图4在引导学生尝试画出图3、图4时,个别同学可能只是简单地将图1、图2中的B 平移,便误以为得到了新图形,若遇此情况,教师需引导学生对前后所画图形加以比较分析,在不挫伤学生积极性的前提下予以明确否定,以免对其他同学造成误导。教师:接下来,我们能不能想办法将上面四个图形整合成一个图形呢?经学生交流讨论后画出草图,教师引导学生对草图进行适当调整,做出标注得到图5。图5教师:结合整合后的图5及习题1、习题2的证明,你能尝试着归纳出结论吗?学生5:如果两角的两边分别互相平行,那么这两个角相等或互补。学生的语言未必简洁
8、精炼,教师应注意引导学生对语言进行梳理和推敲。(三)梳理升华,发掘联系教师:但是,两角何时相等,何时互补呢?此时,若学生感到有难度,可审时度势引导学生从“两组平行边的射线方向”这一角度进行思考分析。学生6:当两组平行边的射线方向全部相同(图5中B和 1)或全部相反(图5中B和 3)时,这两个角相等。学生7:当两组平行边的射线方向一同一反(图5中B和 2,B和 4)时,这两个角互补。学生6和学生7的回答未必如此准确精练,只要大意正确,再加以引导和完善,师生便可逐步达成共识。352 0 2 3年5月下 第1 5期(总第1 5 1期)教师:如果我们将两组平行边射线方向相同的关系规定为“正”,方向相反
9、的关系规定为“负”,进而将两角相等的关系规定为“正”,互补的关系规定为“负”,那么,刚才两位同学梳理总结出的结论,可以怎样描述呢?学生8:“正、正”得“正”,“负、负”得“正”,“正、负”得“负”,“负、正”得“负”。教师:还能描述得更简洁一些吗?学生8(回顾并联系有理数乘、除法法则,与同伴进行深入交流讨论后回答):“同号”得“正”,“异号”得“负”。教师:原来,这和有理数乘、除法的符号法则竟然有如此微妙的联系!(四)平移直线,深化联系教师:如果我们试着平移图5中的直线E F,使它与射线B A所在的直线重合,得到图6。大家对这个图形熟悉吗?图6学生9:在七年级下册第1 0章学习“平行线的性质”
10、时,经常见到与图6类似的图形。教师:你说得很好,也很具体!由于在图6中仍然有A B C=1,A B C=3,A B C+4=1 8 0,因此上述关系分别是对“两直线平行(GHB C),同位角相等(A B C=1)”、“两直线平行(GHB C),内错角相等(A B C=3)”和“两直线平行(GHB C),同旁内角互补(A B C+4=1 8 0)”这几个性质的生动诠释。学生恍然大悟,用目光相互交流,思维得到碰撞,并向纵深发展。教师:在图6的基础上,如果我们再将直线GH平移,使其与射线B C所在的直线重合,得到图7。这个图中又蕴含了哪些我们熟悉的数学知识呢?图7学生1 0:两角相等的定义。学生1
11、1:平角的定义。学生1 2:(邻)补角的定义。学生1 3:对顶角相等。学生的回答未必如此全面、有序,也可能会有变化,必要时需稍作引导,逐步完善,进而达成共识。教师:由此看来,数学知识之间的联系,有时竟如此让人意想不到,却又那么合情合理。至此,数学知识之间的联系又得到深化,学生的心灵被彻底震撼,他们已深深折服于数学的无穷魅力。(五)透过现象,揭露本质教师:从对两道“姊妹习题”的证明开始,一路走来,摸爬滚打,我们发现两角相等的定义、平角的定义、(邻)补角的定义、对顶角相等、平行线的性质这些看似散乱的数学知识原来包括在同一个结论(如果两角的两边分别互相平行,那么这两个角相等或互补)之中。或者说,它们
12、原本就属于同一个系统。由此可见,要学好数学,我们就应该善于透过现象学生:(齐答)看本质!教师总结点题,在帮助学生简化记忆数学结论、自主建构数学知识体系的同时,数学课堂也得到了升华,彰显至高的教学境界。四、教学思考(一)从解决问题到问题解决解题教学的最低境界是“为解题而解题”,解完一道再来一道,下课了,一节课自然也就结束了 这是低效甚至无效的解题教学,显然没有真正解决问题,更没有实现问题解决。解题教学要引导学生“从最近联想到优化思维,从优化思维到借题发挥,从借题发挥到解决问题,从解决问题到问题解决”这样一个螺旋生长的思维链中去进行解题训练。本节课,就两道“姊妹习题”的教学而言,若仅以学生会证明两
13、道习题为目标,教学效率固然会显得很高,但教学效果则会大打折扣,教学效益也远未得到深入挖掘;若教师顺势引导学生由图1、图2分别联想到图3、图4,通过整合图形优化思维,并借题发挥总结结论,再举一反三运用结论,基本上就能算作解决问题了;而如果能在解决问题的基础上,努力发掘数学知识之间的内在联系,并将微妙的联系逐步引向纵深,进而将看似散乱的知识纳入同一个系统中,便能称得上问题解决了。45融会贯通 深入本质 (二)从知识碎片到结构体系例题教学唯有立足当下,承前启后,一以贯之,既有必要的纵向延伸,又有适当的横向拓展,学生的数学知识才能获得自然生长。例题教学是这样,习题教学也是如此。笔者以为,对于上述两道“
14、姊妹习题”的教学,大致可分为以下3个层次(或3种教学境界)。层次1:教师带领学生依次完成两道习题的证明后,再对证明思路和方法做简评或互评。层次2:在完成两道习题证明后,教师进一步启发学生思考:这两道习题之间有何内在联系?通过习题证明,你能归纳出一个怎样的数学结论?层次3:在习题证明、点评完毕后,教师先引导学生抽象归纳数学结论,再进一步鼓励学生展开适当联想,启发、引导他们对习题1、习题2的原图(前文中的图1、图2)加以变换、整合,从而建立起“两角相等”“平角”“(邻)补角”“对顶角”“平行线的性质”这些数学知识之间的联系,构建完整的数学知识体系,揭示数学的内在规律与本质。显然,教学层次1充其量只
15、算完成了习题证明,仅停留在单纯利用“平行线的性质”这一知识点解决数学问题的层面,数学知识无疑被严重碎片化了。而从教学层次2到数学层次3,则逐步揭示了数学知识之间的联系,实现了前后贯通。纵观这3个不同的教学层次,还会发现,数学知识已实现由“点”到“线”、由“线”到“面”的飞跃,碎片化的数学知识已逐渐形成严谨的结构体系。(三)从观察现象到深入本质因图1和图2中都有“两角相等”“平角”“(邻)补角”“对顶角”“平行线性质”的“影子”,且在证明两道“姊妹习题”时主要用到了这些数学知识,而这些数学知识又分散在沪科版七年级数学教材上、下册不同的章节中。故教师引导学生完成习题证明后,顺便带领学生复习回顾这些
16、知识内容,这一做法不仅有用而且很有必要。但问题是,如果教师走马观花式地带领学生将这些数学知识“过一遍”,这样的处理方式不仅过于肤浅、粗糙,数学课堂也会显得索然无味。其实,只有教师真正做到了对数学知识方法的高位理解,才能让学生体会到数学知识之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。在此前提下,教师与学生一起将相关数学知识“理一遍”,便能拨开笼罩在数学课堂上的“团团迷雾”,化“观察现象”为“深入本质”。参考文献:1 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2 0 2 2年版)M.北京:北京师范大学出版社,2 0 2 2.2 卜以楼.生长数学:卜以楼初中数学教学主张M.西安:陕西师范大学出版总社,2 0 1 8.3 刘向权.承前启后 一以贯之J.中学数学教学参考(中旬),2 0 2 0(5):4 3 4 5.责任编辑:唐丹丹 红蜻蜓 征订启事 红蜻蜓 杂志(C N 3 4-1 1 1 1/G 4,I S S N 1 0 0 9-3 1 1 7),创办于1 9 9 9年,由安徽教育出版社主办,是一份以小学生为主要读者对象的综合性刊物。红蜻蜓
