1、第 30 卷第 2 期2023 年 4 月海南热带海洋学院学报Journal of Hainan Tropical Ocean UniversityVol 30 No 2Apr 2023收稿日期:2022 09 03基金项目:贵州省教育厅青年科技人才成长项目(ky 2017 133)第一作者:江利情，女，贵州毕节人，硕士，研究方向为非线性泛函分析及应用。通信作者:蒋敏，女，四川泸州人，副教授，博士，研究方向为非线性泛函分析及应用。具间接信号及逻辑源的拟线性趋化模型的全局有界性江利情，蒋敏(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院，贵阳 550025)摘要:针对一类具间接信号及逻辑源的拟线性趋化模型
2、，在初始条件、扩散系数、趋化敏感度和逻辑源等参数满足相关条件下，利用 Young s 不等式、Gagliardo-Nirenberg 不等式、Neumann 热半群估计和常数变易法，证明了该模型的解具有全局有界性。关键词:趋化模型;间接信号;逻辑源;全局有界性中图分类号:O175 2文献标识码:A文章编号:2096 3122(2023)02 0109 06DOI:10 13307/j issn 2096 3122 2023 02 130引言本研究考虑了如下具间接信号和逻辑源的拟线性趋化模型，该模型为ut=(D(u)u)(S(u)v)+f(u)(x，t 0)，vt=v v+w(x，t 0)，wt
3、=w+u(x，t 0)，uv=vv=wv=0(x，t 0)，u(x，0)=u0(x)，v(x，0)=v0(x)，w(x，0)=w0(x)(x)，(1)其中:Rn(n2)是一个具有光滑边界 的有界域;v表示关于 v 的外方向导数，其中 v 是 上的外法向单位向量;u=u(x，t)表示飞行的山松甲虫(MPB:Mountain pine beetle)的密度;w=w(x，t)表示筑巢的MPB 的密度;v=v(x，t)表示 MPB 信息素的浓度;f 是关于 u 的光滑函数;D(u)为扩散系数;S(u)为趋化敏感度;(u0，v0，w0)是一组非负的初始值。模型(1)能够较好地分析 MPB 的聚集和传播行
4、为，其描述的是飞行的 MPB 通过咀嚼树体筑巢产卵，并分泌 MPB 信息素吸引其他飞行的 MPB 来筑巢，导致筑巢的 MPB 不断增多。模型(1)始于 Strohm 等学者1 的研究工作。考虑到现实的生物学背景，不少学者研究了以下拟线性趋化模型ut=(D(u)u)(S(u)v)+f(u)(x，t 0)，vt=v v+w(x，t 0)，uv=vv(x，t 0)，u(x，0)=u0(x)，v(x，0)=v0(x)(x)，(2)在无逻辑源(即 f(u)=0)的情况下，模型(2)解的全局有界性已取得了一些较好的结果2 4。在有逻辑源的情况下，当 D(u)=(u+1)，S(u)=(u+1)1u，f(u)
5、=u u2且 0 +4n+2(n3)时，Zheng 等学901第 30 卷第 2 期海南热带海洋学院学报者5 证明了模型(2)具有全局有界经典解。在复杂的现实环境中，信号的机制可能由细胞本身直接产生，也有可能是间接产生或者由不同机制产生多个信号的情况。例如在草履虫生物实验中，草履虫优先向提供在培养皿中更高浓度肉汁的方向移动6 7。针对这种复杂的信号机制，Qiu 等学者8 考虑了以下模型ut=(D(u)u)(uv)+u(1 u)(x，t 0)，vt=v v+w(x，t 0)，wt+w=u(x，t 0)，(3)并证明了模型(3)具有唯一的全局有界经典解。受上述工作的启发，考虑到逻辑源对全局有界经典
6、解的影响，以及飞行的 MBP 扩散系数和趋化敏感度的相互作用，笔者对模型(1)进行了研究，假设本研究的初始条件在上满足u0C0()，v0W1，()，w0W1，()(u0，v0，w00 且 u0，v00)，(4)扩散系数 D(u)C2(0，)和趋化敏感度 S(u)C2(0，)分别满足D(u)K1(u+1)，S(u)K2(u+1)1u(u0;K1，K20;，R)，(5)逻辑源 f(u)满足 f(0)0 且f(u)=a ur(u0)，(6)则得到具间接信号和逻辑源的拟线性趋化模型存在唯一的全局有界经典解。1 预备知识为证明主要结论，首先引入模型(1)解的局部存在性。引理1(解的局部存在性)假设初始条
7、件满足式(4)式(6)，则模型(1)在 (0，Tmax)上具有一组唯一的局部经典解，即uC0(0，Tmax)C2，1(0，Tmax)，vC0(0，Tmax)C2，1(0，Tmax)，wC0(0，Tmax)C0，1(0，Tmax)，(7)其中 T(0，Tmax)。此外，若 Tmax，则 limtTmaxsupu(，t)L()=。证明模型(1)解的局部存在性和唯一性可通过 Banach 不动点理论进行证明，可参考文献 9 11中类似的方法。其次介绍本研究将要用到的一些基本不等式。引理 2设 T(0，Tmax)，则存在常数 c1，c2，c3，c40 使得模型(1)的第一个方程满足u(，t)c1 t(
8、0，Tmax)(8)和t+turc2 t(0，Tmax)，(9)其中:=min 1，12Tmax。此外，可以得到wr(，t)c3 t(0，Tmax)。(10)因此，对于任何的 s 1，nrn r也有v(，t)W1，sc4。(11)011江利情等:具间接信号及逻辑源的拟线性趋化模型的全局有界性2023 年第 2 期证明该引理的证明方法类似于文献 12 中引理 2 2 和引理 2 4 的证明。当 rn，由文献 13 得到v(，t)W1，()c5 t(0，Tmax)，(12)其中 c5为常数。这时模型(1)解的全局有界性能够很容易得到，但要使 s 1，nrn r有意义，本研究总是假设 r n。引理
9、314 15(Gagliardo-Nirenberg 不等式)假设 p1，r(0，p)和 W1，2()Lr()，则存在一个常数 cGN0 使得Lp()cGN(L2()1 Lr()+Lr()(13)成立，其中:(0，1)且满足np=n2()1+nr(1 )，(14)即=nrnp1 n2+nr。(15)2 主要结果及其证明模型(1)解的全局有界性将继续使用下面的引理来进行证明。在证明下面引理 4 之前，先定义 p1，q1，s 1，nrn r并且1:=1(p，q)=2(p+r 1)r+1+2，(16)2:=2(p，q)=2(p+r 1)(q 1)p+r 3，(17)mi:=mi(p，q，s)=qsq
10、iqs+1n12(i=1，2)，(18)gi:=iqmi(p，q，s)=is 1qs+1n12(i=1，2)。(19)引理 416 假设 n2，s 1，nrn r，如果2 r 1+2rn，那么对于足够大的 q 1，存在 p 1 使得mi和 gi分别满足mi(p，q，s)(0，1)，gi(p，q，s)2(i=1，2)。(20)引理 5假设初始条件满足式(4)式(6)，则存在常数 c7和 c8，使得在 (0，Tmax)上模型(1)的经典解满足下面不等式1pddt(u+1)p+2K1(p 1)(p+)2(u+1)p+22+2r+1(u+1)p+r+12r+2(u+1)p+r 1+c8|v|1+c7。
11、(21)证明该引理的证明方法类似文献 16 中引理 3 1，将模型(1)中第一个方程两边乘以(u+1)p 1并关于 x 在 上进行积分，使用 Young s 不等式并将式(4)和式(5)代入模型(1)的第一个方程得到1pddt(u+1)p=(p 1)(u+1)p 2D(u)|u|2+(p 1)(u+1)p 2S(u)|u|v|+111第 30 卷第 2 期海南热带海洋学院学报a(u+1)p 1 ur(u+1)p 1 (p 1)(u+1)p 2D(u)|u|2+(p 1)(u+1)p 2S(u)|u|2|v|2r(u+1)p+r 1+(a+)(u+1)p 1 K1(p 1)(u+1)p+2|u|
12、2+K1(p 1)2(u+1)p+2|u|2+K22(p 1)2K1(u+1)p +2 2|v|22r(u+1)p+r 1+2r+1(u+1)p+r 1+c6 K1(p 1)2(u+1)p+2|v|2+K22(p 1)2K1(u+1)p +2 2|v|22r+1(u+1)p+r 1+c7。(22)因为K1(p 1)2(u+1)p+2=2K1(p 1)(p+)2(u+1)p+22，(23)将式(23)代入式(22)可得1pddt(u+1)p+2K1(p 1)(p+)2(u+1)p+22+2r+1(u+1)p+r+1K22(p 1)2K1(u+1)p +2 2|v|2+c7，(24)应用 Youn
13、g s 不等式，可得K22(p 1)2K1(u+1)p +2 2|v|22r+2(u+1)p+r+1+c8|v|1，(25)将式(25)代入式(24)得到1pddt(u+1)p+2K1(p 1)(p+)2(u+1)p+22+2r+1(u+1)p+r+12r+2(u+1)p+r 1+c8|v|1+c7。至此，引理 5 得证。引理 616 假设初始条件满足式(4)式(6)，则在 (0，Tmax)上模型(1)的经典解满足12qddt|v|2q q 1q2|v|q2|v|2q+1p+r 1wp+r 1+c9|v|2。(26)引理 7假设 0，初始条件满足式(4)式(6)，则模型(1)的经典解满足1p+
14、r 1ddtwp+r 1+c10wp+r 12r+1wp+r 1。(27)证明模型(1)的第三个方程左右两端同时乘以 wp+r 2并关于 x 在 上进行积分，应用 Young s 不等式得到1p+r 1ddtwp+r 1=wp+r 2(w+1)+(u+1)wp+r 2(u+1)2r+1(u+1)p+r 1+c10wp+r 1。(28)引理 8假设初始条件满足式(4)式(6)，则存在一个不依赖于 T 的常数 c110 使得模型(1)的解满足下面不等式1pddt(u+1)p+12qddt|v|2q+1p+r 1ddtwp+r 1+2K1(p 1)(p+)2(u+1)p+22+2r+2(u+1)p+
15、r+1+q 1q2|v|q2+|v|2q+c11wp+r 1c8|v|1+c9|v|2+c7。(29)证明利用引理 5 引理 7 即可得到以上结论。211江利情等:具间接信号及逻辑源的拟线性趋化模型的全局有界性2023 年第 2 期引理 9令 T(0，Tmax)，假设初始条件满足式(4)式(6)，则当 2 r 1+2rn时，存在不依赖于T 的常数 c，c使得模型(1)的解满足下面不等式(u+1)p c和wp+r 1c。(30)证明利用 Young s 不等式可得2r+2(u+1)p+r+1(u+1)p c12，(31)其中 c12为常数。根据 Gagliardo-Nirenberg 不等式，对
16、于 i=1，2，选择常数 c130 使得再次使用 Young s 不等式，存在常数 c14有(32)结合式(29)、式(31)和式(32)，可以找到一个常数 c150 使得其中 c15=c7+c12+c14。取 c16=min p，2q，(p+r 1)c11，则式(33)可表示为令则有y(t)+c16y(t)c15，(34)其中 c16和 c15都是正数。对式(34)应用 ODE 比较原理17 得y(t)max y0，c15c16(t 0)，令?c=max y0，c15c16，分别取 c=?cp 和 c=?c(p+r 1)，则引理 9 即可得证。以下来证明主要结果。定理 1设 Rn(n2)是一个具有光滑边界 的有界域，假设初始条件在上满足式(4)式(6)，则当 2 r 1+2rn时，模型(1)具有唯一的全局有界经典解。证明根据引理 9 可得uLpc，再由 Alikakos-Moser 迭代18 可以找到一个 c17使得u(，t)L()c17，其中 c和 c17为常数。对 w 进行常数变易法可得w(，t)=e tw0+t0e(t s)u(，s)ds t(0，Tmax)，对上式应用 Neu
