1、第 39 卷第 1 期2023 年2 月结构工程师Structural EngineersVol.39，No.1Feb.2023冷弯薄壁型钢轴压构件整体稳定承载力的概率分布徐迟1 李杰1，2，*（1.同济大学建筑工程系，上海 200092；2.同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092）摘 要 对冷弯薄壁型钢轴压构件整体稳定承载力的统计特征进行了量化描述，选择屈服强度和偏心距为基本随机变量，确定其数字特征和概率分布；基于Perry公式研究了随机性的传递过程，给出了稳定承载力的数字特征与概率分布规律。理论分析结果与试验结果进行对比，结果表明采用随机性的传播方法可以预测整体稳定承载力的
2、统计特征。关键词 冷弯薄壁型钢，稳定承载力，随机性，均值，标准差，概率密度函数Probability Distribution of Global Stability Bearing Capacity of Cold-Formed Thin-Wall Steel Members under Axial CompressionXU Chi1 LI Jie1，2，*（1.Department of Building Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China；2.State Key Laboratory of Disaster Reduc
3、tion in Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China）Abstract In this paper，the statistical characteristics of the global stability bearing capacity of cold-formed thin-wall steel members under axial compression are described quantitatively.Firstly，the yield strength and eccentricity ar
4、e selected as basic random variables.Then their numerical characteristics and probability distributions are determined.Based on Perry formula，the transfer process of randomness is studied.Afterward，the numerical characteristics and probability distribution law of stability bearing capacity are given
5、.The comparison between the analytical results with test results indicates that the statistical characteristics of the global stability bearing capacity can be predicted through the randomness propagation method.Keywords cold-formed thin-wall steel，stability bearing capacity，randomness，mean，standard
6、 deviation，probability density function0 引 言 我国 冷弯薄壁型钢结构技术规范（GB 500182002）（以下简称“规范”）1中给出了轴心受压构件的稳定系数。这些系数是根据Perry公式2和试验拟合得到的。在此基础上基于164个轴心受压构件的稳定试验结果对初始偏心率的计算进行了调整，形成了87版规范中的稳定系数，并沿用至今3-5。事实上，冷弯薄壁型钢轴压构件整体稳定承载力（以下简称“稳定承载力”）的试验结果表现出很强的随机性6，而规范仅采用两条确定性的柱子曲线加以规定。依据这一规定，尽管通过抗力和荷载分项系数可以基本保证轴压构件的安全，但由于没有反映
7、轴压构件稳定承载力的随机性分收稿日期：2021-03-23作者简介：徐 迟（1997-），男，博士生，主要研究方向为工程可靠性理论、大数据应用与荷载建模。E-mail：*联系作者：李 杰（1957-），男，教授，博士生导师，主要研究方向为工程可靠性理论、随机力学与混凝土损伤力学。E-mail：lijie DOI:10.15935/ki.jggcs.2023.01.003Structural Engineers Vol.39，No.1 Structural Analysis布规律，因而可能给结构的可靠性留下隐患。有鉴于此，本文基于随机性传播的基本思想，利用Perry公式对冷弯薄壁型钢轴压构件稳定
8、承载力的概率分布规律进行研究，以实现稳定承载力概率分布的量化描述。1 基本随机变量及其分布 基于边缘屈服准则，冷弯薄壁型钢轴压构件整体稳定承载力可由Perry公式计算，即N=A(fd-fd2-fyEX)（1）fd=fy+(1+0)EX2（2）0=()e0+f0AWx（3）式中：N为稳定承载力；A为截面积；Wx为截面模量；fy为屈服强度；EX为欧拉临界应力；e0为荷载初偏心引起的偏心距；f0为杆件初弯曲引起的偏心距；0为初始偏心率。基于式（1）式（3），可选取fy，e0，f0为基本随机变量，且依据物理背景，可认为三者相互独立。依据钢材和轴压构件的试验结果，可确定基本随机变量的均值、标准差以及概率
9、分布。1.1材料屈服强度文献 7 的统计表明：钢材的屈服强度服从正态分布或对数正态分布，且统计结果与正态分布的吻合度更高。因此，本文假定钢材屈服强度服从正态分布。钢材屈服强度均值和标准差可由钢材试验结果得到。1.2偏心距总的偏心距包括e0、f0两项的贡献，显然，荷载初偏心会受到试验设备、对中制度和试验者操作状态等因素影响；杆件的初弯曲是制造、运输和安装过程中各种因素综合作用的结果。假定e0、f0相互独立，且均服从正态分布，f0正比于杆长L，考虑正态分布的可加性，可知总偏心距e也服从正态分布，即：e=e0+f0?N(e，e2)（4）e=kL+b（5）e=(kL+b)（6）式中：k，b为常数；为变
10、异系数。利用文献 6 中的冷弯薄壁型钢轴压构件试验资料，可采用参数识别的方法确定k，b的取值。利用式（1）式（3），可解出：e=e0+f0 =WxA|(A2EX-AN)fy+N2ANEX-1（7）据此，可依据每一试验构件除e以外的其他参数，求解给出各试件的总偏心距e。以杆长L为基本变量，以e为函数，对识别结果进行线性最小二乘拟合，可确定k、b的取值。利用文献 6 中的冷弯薄壁型钢轴压构件试验资料，最终求得k=0.001 1、b=0.122 7。最小二乘拟合结果与试验识别e的对比见图1。这里，假定在每一构件长度处，e均服从正态分布。经过上述工作，基本随机变量转化为fy和e，其概率分布及统计参数均
11、已确定。2 轴压构件整体稳定承载力的均值与标准差 轴压构件整体稳定承载力N可以视为fy和e的函数，记为N=g(fy，e)。利用式（1）式（3），将N=g(fy，e)在fy和e的均值附近进行泰勒展开并仅保留线性项，可得到N的均值与方差的表达式，即均值：N=A(d-d2-fyEX)（8）其中d=12fy+(1+0)EX（9）0=eAWx（10）图1参数识别结果与拟合结果的对比（单位：cm）Fig.1Comparison of parameter recognition results with fitting results（Unit：cm）16 结构分析 结构工程师第 39 卷 第 1 期方差：
12、N2=(Nfy)2fy2+(Ne)2e2（11）其中Nfy=|A2()1-fd-EXfd2-fyEXfy=fy，e=e（12）Ne=|A2EX2Wx()fd2-fyEX-fdfd2-fyEXfy=fy，e=e（13）据式（8）、式（11），可求得N的均值与标准差。通常，轴压构件截面形式有闭口和开口两种形式，自文献 6 选取方钢管截面柱（截面为60 mm60 mm3 mm）试验数据49个、槽钢截面柱（截面为60 mm60 mm20 mm2 mm）试 验 数 据42个。以该批试验为背景，按照式（8）式（13）分别计算构件整体稳定承载力的均值与方差（依据这些试验的材性试验结果，方钢管截面柱钢材的均值
13、和标准差分别为334.8 MPa和16.4 MPa，槽钢截面柱钢材的均值和标准差分别为184.0 MPa和9.0 MPa）。进而将整体稳定承载力转化为稳定系数，并与试验结果进行对比（图2）。可见，在总体上，式（8）、式（11）可以反映试验的均值与离散性，绝大多数试验点都落在以均值为中心的2倍标准差范围之内。在已知均值和标准差的情况下，可以计算N值的变异系数随构件长细比变化，结果见图3。图3表明，不论是方钢管截面柱还是槽钢截面柱，其稳定承载力的变异系数都随长细比的增大呈现先增大后减小的趋势，在长细比达到80之前，二者变异系数十分接近；长细比超过80后，方钢管截面柱对应的变异系数进入下降段，而槽钢
14、截面柱对应的变异系数在长细比达到110左右后才开始下降。3 轴压构件整体稳定承载力的概率密度函数 均值与方差仅仅给出了轴压构件整体稳定承载力的部分统计特征，在结构可靠度分析中，概率密度函数可以反映更为丰富的概率信息。事实上，若已知概率密度函数，针对轴压构件失稳这一失效模式，可准确求出某一稳定承载力对应的可靠度；反之，也可据此得到确定失效概率下的构件稳定承载力，从而为构件设计奠定基础。在已知屈服强度和总偏心距分布的前提下，依据概率论，可以导出轴压构件整体稳定承载力N的概率密度函数。为方便后续推导，记屈服强度fy为x，总偏心距e为y。则x，y的概率密度函数分别为式（14）和式（15）。图3变异系数
15、随构件长细比变化Fig.3Change of the coefficient of variation withthe slenderness ratio of members图2均值与标准差计算结果与试验值对比Fig.2Comparison of mean and standard deviation results with test values17Structural Engineers Vol.39，No.1 Structural Analysisf(x)=12 xexp|-(x-x)22x2（14）f(y)=12 yexp|-(y-y)22y2（15）式中：x，x和y，y分别是x，
16、y的均值和标准差。由于x，y相互独立，其联合概率密度函数为f(x,y)=f(x)f(y)（16）记N=g(x，y)，则可由式（17）求出N的概率密度函数8：f(N)=-f(x，y)|yNdx（17）依据式（1）式（3）可解出：|yN|=WA2EX|A2EXxN2-1（18）将式（14）式（16）、式（18）代入式（17），并整理得到：f(N)=exp()-v22u2u()WN2-WA2EX（19）其中u=m2x2+y2（20）v=mx-y+n（21）=y2x+mx2(y-n)x2m2+y2（22）m=W(AEX-N)ANEX（23）n=WA()N2ANEX-1（24）求得N的概率密度函数后，不难求出不同分位数对应的N值。仍以前述试验资料为背景，按照与均值和标准差演化分析中相同的代表截面和参数进行计算，可得到N的 20%，40%，60%和80%的分位数值。分位值曲线与试验结果的对比见图4。在图4中，四条分位数曲线将N的取值划分为5个区域。理论上，在这5个区域内取值的概率相等，实际试验点的结果基本均匀地落在5个区域内，说明理论计算结果可以较好地符合试验结果。4 结 论（1）利用Perry公
