1、第 45 卷第 3 期2023 年 5 月 湖北大学学报(自然科学版)Journal of Hubei University(Natural Science)Vol.45No.3May 2023收稿日期:20220227基金项目:国家自然科学基金青年项目(12001162)资助作者简介:杨妍(1997),女,硕士生,主要研究方向为薛定谔方程谱理论,E-mail:yanyanghhu 文章编号:10002375(2023)03030507拟周期 Gevrey 势能下 Jacobi 算子的Lyapunov 指数的全域连续性杨妍,陶凯(河海大学理学院,江苏 南京 210098)摘要:Lyapunov
2、 指数一直是 动力 系统 中 的核 心概 念与 研 究热 点.本 文中 研究 拟 周期 Jacobi 算子 模型 所 对应 的Lyapunov 指数.我们使用解析逼近,次调和函数,Birkhoff 遍历定理,大偏差定理和雪崩原理等方法和理论,证明在势能为s-Gevrey 函数(s2)的条件下,若频率是强 Diophantine 数,Lyapunov 指数关于能量是全域连续的.关键词:拟周期 Jacobi 算子;Gevrey 函数;Lyapunov 指数;全域连续性中图分类号:O193文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2022.00.052著录信息:杨妍,陶
3、凯.拟周期 Gevrey 势能下 Jacobi 算子的 Lyapunov 指数的全域连续性J.湖北大学学报(自然科学版),2023,45(3):305-311.DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2022.00.052.YANG Y,TAO K.Global continuity of the Lyapunov exponent of Quasi-periodic Jacobio perator with Gevrey potentialJ.Journal of Hubei University(Natural Science),2023,45(3):305-311.DO
4、I:10.3969/j.issn.1000-2375.2022.00.052.Global continuity of the Lyapunov exponent of Quasi-periodic Jacobio perator with Gevrey potentialYANG Yan,TAO Kai(College of Science,Hohai University,Nanjing 210098,China)Abstract:The Lyapunov exponent is a core conception and a hot research topic in the dynam
5、ical systems.In this paper,we considered the discrete quasi-periodic Jacobi operators with Gevrey potential.We applied the methods such as analytical approximation,the subharmonic function theory,the Birkhoff ergodic theorem,the large deviation theorem,and the avalanche principle to prove that for t
6、he s-Gevrey potential(s2)with the strong Diophantine frequency,the Lyapunov exponent was global continuity in E.Key words:Quasi-periodic Jacobi operators;Gevrey functions;Lyapunov exponent;Global continuity 0引言离散哈密顿算子的 Lyapunov 指数的连续性问题一直是本领域内的热点问题,其中最著名,影响最大的工作是在文献1中给出的.在此文献中,Goldstein-Schlag1研究了定义
7、在一维环面T T:=R R/Z Z 上的解析离散薛定谔方程(Sx,)(n)=(n+1)+(n-1)+v(x+n)(n),n Z Z(1)其中 v:T T R R 被称为此算子的势能函数,为无理数,被称为频率,而 x T T 被称为初相.他们开创性地使用了大偏差定理和雪崩原理(具体定义见下一节),证明了当频率 为强 Diophantine 数 Dc,A,即满足306 湖北大学学报(自然科学版)第 45 卷对于任意的 n 0,都有n=cn log n+1()A(2)且势能 v 是一维实解析函数时,如果算子的 Lyapunov 指数 L(E,)(定义见式(7)为正,则其关于能量E 是 Hlder 连
8、续的,即存在正数 1,使得L(E,)-L(E,)E-E,E E.此后,包括菲尔兹奖得主 Bourgain,Avila 等都利用这一套工具研究起相关算子的 Lyapunov 指数各类问题2-9.如文献3-5中考虑了离散薛定谔算子(1)在其他各种类型的频率下的性质.我们知道,对于无理数,存在一组有理数逼近pnqn,满足1qn(qn+qn+1)-pnqn1qnqn+1.若我们定义=()=limsuplogqn+1qn(3)那么强 Diophantine 数 Dc,A是集合|()=0 的真子集,且是最小的全测集.显然|()就是无理数集.在文献3中,Bourgain 与 Jitomirskaya 证明了
9、算子(1)在任意无理数 下,Lyapunov 指数的连续性.尤建功与张世文4考虑了弱 Liouville 频率,即存在小的正常数 c,使得()0,使得对任意的 x T T,supxT TmV(x)MKm(m!)sm 0(5)在此集合中,我们可以引入范数Vs,K:=13supm(1+|m|)2Km(m!)smVC0(T T),那么,此时就可以定义空间 Gs,K(T T)=V C(T T,R R):Vs,K 0Gs,K(T T).我们常说的环面上的实解析函数空间即为 G1(T T).显然,当 s1 s2时,Gs1(T T)Gs2(T T).下面我们来定义算子(4)所对应的 Lyapunov 指数.
10、注意到,其特征方程 Hx,=E 可写成第 3 期杨妍,等:拟周期 Gevrey 势能下 Jacobi 算子的 Lyapunov 指数的全域连续性307(n+1)(n)()=1a(x+(n+1)V(x+n)-E-a(x+n)a(x+(n+1)0()(n)(n-1)().因此,我们定义M(x,E,):=1a(x+)V(x)-E-a(x)a(x+)0()(6)Mn(x,E,):=nk=1M(x+k,E,),则显然(n+1)(n)()=Mn(x,E,)(1)(0)().一维环面上的解析函数最多只有可数个零点,因此矩阵 M(x,E,)和 Mn(x,E,)在环面上是几乎处处都有意义的.此时有限 Lyapu
11、nov 指数Ln(E,)=T T1nlogMn(x,E,)dx,是满足次可加性的,即对任意大于零的正整数 m,n,都有nLn+mLm(m+n)Lm+n.那么,当频率 为无理数时,则根据 Kingman 的次加性遍历定理,它们的极限L(E,)=limnLn(E,)=infnLn(E,)(7)总是存在,且对全测度的 x T T,limn+1nlogMn(x,E,)=L(E,).此即为本系统的 Lyapunov 指数.至此,我们给出本研究的主要结论:定理 1考虑拟周期解析 Jacobi 算子(4),设 Dc,A,a 是一维环面 T T 上的不恒为 0 的复解析函数,V s,K(T T)且 s 2.则
12、其 Lyapunov 指数 L(E,)关于能量 E 是连续的.注 1在第二节,我们会证明 L(E,)是恒大于等于零的.而从其定义可得,Lyapunov 指数关于能量 E是上半连续的.故我们要证明定理 1,只要证明其在正值时连续即可.注 2对于 Lyapunov 指数的连续性问题,我们只要考虑算子谱集上的能量 E 即可.这是因为,在预解集上,其是一个 C函数.注意到,此算子的谱必然在如下的闭区间中:=-2a(x)L(T T)-V(x)L(T T),2a(x)L(T T)+V(x)L(T T)(8)所以在本文中,我们只需要考虑 E 上的证明即可.注 3由上文可得,当 s 1 时,Gs(T T)为环
13、面上的解析函数.因此,本文中只需要考虑 1 s 1 为一个常数,后面将被完全确定.注意到任何环面 T T 上的解析函数都有其复延拓.而如果 z=x+iy 且 y n,其中n=2n-b(s-1),则|Vn(z)|k nV?(k)|eky 2Vs,Knk=0exp-k1sey 2Vs,Knk=0exp-2k1s C.故我们可以将 Vn(x)解析延拓到带状区域 T Tn:=z:Imz n.显然,对任意的正整数 n,V(x)-Vn(x)Vs,Kexp(-2n 1s)=Vs,Kexp(-2nb)(10)此时我们可以先将 Mn中的分母去掉,并将其解析化:Mgn(x,E,)=(nj=1a(x+j)Mn(x,
14、E,)=nj=1E-V(x+j)-a(x+j)a(x+(j+1)0()(11)Mtn(x,E,)=nj=1E-Vn(x+j)-a(x+j)a(x+(j+1)0().此时,对于固定的 E 和,函数 utn(x,E,)=1nlogMtn(x,E,)可以在环面 T Tn上拓展成次调和函数.我们将从这个函数出发,证明我们本文中的定理.为此,我们需要得到此函数与我们研究的算子所对应的函数之间的误差.注意到,我们已经假设 E .因此,存在只依赖于 V 和 a 的常数 M,使得对任意的 x T T,以及无理数,E-V(x+j)-a(x+j)a(x+(j+1)0(),E-Vn(x+j)-a(x+j)a(x+(
15、j+1)0()1 可得,对任意的 x T T,正整数 n,E 以及无理数,都有|utn(x,E,)-ugn(x,E,)|,T Tutn(x,E,)dx-T Tugn(x,E,)dx exp(-n)(12)其次,我们来说明我们的 Lyapunov 指数是恒大于等于零的.为此,我们定义一个行列式恒为 1 的矩阵:Mun(x,E,)=1|detMgn(x,E,)|12Mgn(x,E,)=1|nj=1d(x+j)|12Mgn(x,E,)(13)其中 d(x)=a(x)a(x+)为解析函数.那么,显然有第 3 期杨妍,等:拟周期 Gevrey 势能下 Jacobi 算子的 Lyapunov 指数的全域连
16、续性309 Lun(E,)=1nT Tnk=1Mu(x+k,E,)dx 0.经过计算,可以发现对任意的正整数 n,能量 E 和无理数,都有 Ln(E,)=Lun(E,).故可得 L(E,)0.再次,Goldstein-Schlag1创造性地给出了一套证明 Lyapunov 指数连续性的方法.此后,包括上述所提到的所有文献在内,很多学者都在使用此方法进行研究.经过 20 年的发展,学者们发现,只要得到了所研究的动力系统所对应的大偏差定理,则使用如下的雪崩原理,可以非常容易地得到最后的 Lyapunov指数的连续性.命题 1(雪崩原理)令 A1,An为 2 2 矩阵的序列,其行列式满足max1jn|detAj|1(14)假设min1jnAj n(15)且max1jnlogAj+1+logAj-logAj+1Aj 12log(16)那么logAnA1+n-1j=2logAj-n-1j=1logAj+1Aj 0,其中 E 且 Dc,A,则存在常数 0 :=(v,a,s,K,c,A,)N0,都有measx T T:1NlogMN(x,E,)-LN(E,)1100()exp(-N).2主要结果及证
