1、第43卷第3期2023年6 月文章编号：10 0 0-130 1(2 0 2 3)0 3-0 150-11地震工程与工程振动EARTHQUAKE ENGINEERING ANDENGINEERING DYNAMICSVol.43 No.3Jun.2023D0I:10.13197/j.eeed.2023.0315面内端部激励下斜拉索振动方程推导与求解朱付祥，易江（广州大学土木工程学院，广东广州510 0 0 6）摘要：为精确描述面内端部激励下拉索非线性振动机制，构建抽象端部激励下的拉索力学描述模型,分别推导了拉索拟静态振动和模态振动控制方程，基于有限差分法给出了拉索模态振动的数值求解方法。由于垂
2、度效应的影响，在轴向、竖向以及轴向和竖向共同激励下拉索的拟静态索力与端部位移采用一个非线性方程予以表征。拉索拟静态振动可视作外部激励施加在拉索上，引起拉索的非线性模态振动，通过理论推导分别求得模态振动的控制方程和变形协调方程。在模态振动过程中,拉索的动力特性（如刚度和周期)不断变化,索力和拉索变形相互耦合，使得其求解非常复杂。采用有限差分法进行数值求解，并基于有限元方法验证了数值求解方法的准确性。重点讨论了拉索模态振动共振机制,结果表明,在轴向、竖向以及轴向和竖向激励下,拉索模态振动存在多个共振区域，包括小周期、0.5T,、T，和2 T，等（T,为成桥状态下拉索基本振动周期）；在共振区域内，拉
3、索振动索力幅度较大，模态振动对总索力的贡献系数较高，超过0.4,在实际工程中不容忽视；拉索阻尼对模态振动的影响较大，增加拉索阻尼比将改变拉索模态振动的幅频特征，模态振动索力及其贡献系数均有所降低，但降低程度受激励幅度的影响较大。关键词：桥梁工程；参数振动；振动方程；斜拉索；面内端部激励；共振周期中图分类号：U442.5*5；U 448.2 7文献标识码：ADerivation and solution of vibration equations forstayed cables under in-plan end support excitationsZHU Fuxiang,YI Jiang
4、(College of Civil Engineering,Guangzhou University,Guangzhou 510006,China)Abstract:This study aims to accurately reproduce the nonlinear vibration mechanism of stayed cables underin-plane end excitation.The mechanical description model of the cable is established under end excitation and thequasi-st
5、atic vibration and modal vibration equations of the cable are derived respectively.The numerical solutionmethod of cable parametric vibration is illustrated using the finite difference method.Due to the sag effect,thereexists a highly nonlinear relationship between the quasi-static cable force and e
6、nd displacement under axial,verticaland axial-vertical excitations,under which the nonlinearity can be characterized by a nonlinear equationrespectively.The quasi-static vibration of the cable can be regarded as an external force applied to the cable,whichcauses the nonlinear modal vibration of the
7、cable.Through theoretical derivation,both the governing equation ofmotion and the compatibility can be obtained.In the process of modal vibration,the dynamic characteristics of thecable(such as stiffness and period)are continuously varying,and the cable force and deformation are highlycoupled,which
8、makes the solution of the modal vibration equations extremely complicated.The finite difference收稿日期：2 0 2 2-0 6-13；修回日期：2 0 2 2-11-2 9基金项目：国家青年科学基金项目（52 10 0 8 0 0 18）；广东省教育厅（2 0 2 1KQNCX069）；广州市教育局（2 0 2 0 32 7 97）；广州市科技计划(202102020594)Supported by:National Natural Science Foundation of China(52100
9、80018);Department of Education of Guangdong Province(2021KQNCX069);Education Bureau of Guangzhou Municipal(202032797);Guangzhou Municipal Science and Technology Bureau(202102020594)作者简介：朱付祥（1997），男，硕士研究生，主要从事桥梁抗震研究。E-mail:通讯作者：易江（1990），男，讲师，博士，主要从事桥梁抗震研究。E-mail:第3期method is suggested to obtain the n
10、umerical solution,whose accuracy is verified by the finite element method.Thisstudy focuses on the resonant mechanism of modal vibration.The results show that under axial,vertical and axialand vertical excitation,there are many resonance regions of cable parametric vibration,including very small per
11、iods,periods near O.5Ti,T and 2Tr.In the resonance region,the cable vibration amplitude is quite large.Thecontribution of modal vibration to the total cable force is high,more than O.4,which can not be ignored in practicalengineering.Cable damping plays an important role in the modal vibration.Incre
12、asing the cable damping ratio willalter the amplitude and frequency characteristics of cable modal vibration,reduce the cable force and the contributioncoefficient of modal vibration,but the degree of reduction is greatly affected by the excitation amplitude.Key words:bridge engineering;parametric v
13、ibration;vibration equations;stay cables;in-plan support excitation;resonant period朱付祥，等：面内端部激励下斜拉索振动方程推导与求解1510引言拉索是高柔性构件,在自重和轴力作用下将产生垂度。在张拉时,拉索的伸长量包括弹性伸长以及克服垂度所带来的伸长,造成索拉力与伸长量的几何非线性，呈现显著的垂度效应。由于具有大柔度、小质量和小阻尼等特点，在外部激励下拉索将产生振动现象。根据激励类型的不同，拉索振动分为两类：第一类为受迫振动，指由直接作用在拉索上的荷载而引起的拉索振动,最典型的就是拉索的风致抖振、涡激共振等；第
14、二类为端部激励,如支撑于斜拉索两端的桥面主梁、桥塔的振动引起拉索的振动。发生第一类振动时，一般认为拉索的动力特性（如频率和等效刚度等)不发生变化,已形成较多的研究成果；发生第二类振动时,拉索的动力特性不断变化,相关研究较少,是拉索振动研究的难点。大量研究表明,端部激励导致拉索边界条件的变化，将引起拉索的拟静态振动和模态振动。前者是由于拉索端部位移引起的拉索拟静态响应,不考虑拉索惯性、拉索阻尼所产生的动力反应；后者为拉索非线性模态的振动2。受垂度效应的影响,拉索的拟静态索力与端部位移存在显著的非线性变化关系。为分析拉索拟静态反应,常用的方法如下：方法一：基于Enrst公式,采用等效模量法，每根拉
15、索由一个具有恒定等效索刚度的桁架单元代替。该方法假设拉索索力和轴向刚度变化不大，当索力波动较大时，误差较大。方法二：使用等参单元,如采用四个节点等参单元3考虑拉索的垂度效应。然而，在这种方法中,发现弯曲单元的矩阵比实际刚度大4,并且需要数值积分，可能导致数值发散和不稳定性。方法三：用两节点悬链线单元来模拟拉索，该单元使用拉格朗日公式精确地考虑缆索的弯曲几何形状5。采用悬链线单元可以得到精确的索结构分析结果，但每一步都需要迭代,这适用于静力响应计算，不适用于动力分析。上述三种方法具有一定的内在缺陷,方法一无法完全反映拉索的非线性拟静力反应,方法二和方法三难以直接应用于拉索的非线性动力分析。与此同
16、时,端部激励下拉索动力非线性效应亦非常显著,主要方法有：方法一：忽略拉索自重,将其视为张紧弦,考虑拉索局部伸长产生的非线性效应6。该方法忽视了垂度效应的影响,误差较大；方法二：采用叠加法分析将动边界下的索运动分解为拟静态振动和模态振动，基于预紧状态下拉索的自振频率和振型特征,采用Galerkin模态截断、摄动分析或有限差分法等方法，求解拉索多模态离散动力学方程1,7-12。该方法考虑拉索的参数振动,但假定拉索自振频率与振型特征不发生改变,在拉索振动幅度较大时存在一定的误差131；方法三：有限元法,将拉索分成几个小单元,从而考虑拉索的振动特性8,14。但这种模型自由度较多,大大增加计算成本和可能产生计算不容易收敛问题,比如拉索节点的平衡条件不容易满足5。O由此可见，由于端部激励下拉索的动力反应非常复杂,现有计算方法均存在一定的缺陷。近年来,易江等15-16 改进了Enrst公式,采用微分方法推导了轴向激励下拉索非线性拟静态索力-端部位移公式,该公式可以很好地考虑索力变化对拉索轴向刚度的影响，相关成果已经应用于斜拉桥全桥动力反应分析。该公式精确描述了拉索非线性拟静态反应,为进一步分析端部激
