1、 收稿日期2 0 2 2-0 4-2 7;修改日期2 0 2 2-0 6-2 2 基金项目国家自然科学基金面上项目(1 2 1 7 1 1 3 2);安徽省自然科学基金面上项目(2 0 0 8 0 8 5MA 0 5)作者简介徐润果(1 9 9 8-),女,硕士在读,基础数学专业.E-m a i l:x u r u n g u o m a i l.h f u t.e d u.c n第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2与广义W i t t代数有关的非有限分次李代数的极大子代
2、数及其性质徐润果,许 莹(合肥工业大学 数学学院,合肥2 3 0 6 0 1)摘 要代数的极大子代数可以深刻的反映代数的内部特征.对于非有限分次李代数W,利用李代数的特性构造出3个极大子代数,研究了相关性质,并且证明了前两个极大子代数是同构的.关键词W i t t代数;非有限分次李代数;极大子代数;单李代数;可解李代数 中图分类号O 1 5 2.5 文献标识码A 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 0 0 1-0 81 引 言W i t t代数是经典微分和积分学中的一个重要例子,它与拓扑学和几何学有着密切联系,同时也具有很多特殊的代数性质.W i t t代数具体
3、定义为L a u r e n t多项式代数t,t-1上的单变量的复导子李代数,即t,t-1上线性算子D的李代数,并且该算子满足莱布尼茨公式D(a b)=D(a)b+a D(b).许多专家学者对W i t t代数展开了研究,例如文献1 和2 等采取多种方式,对W i t t代数进行新的构造与变形,丰富了李理论.文献3 由带单位元的交换结合代数和阿贝尔导子代数对构造出W i t t型李代数,与文献4 以及文献5 定义的李代数相比,该代数更为一般.文献6 建立了P a s s m a n构造的W i t t型单李代数的同构类,并给出了广义W i t t代数W(l1,l2,l3;)的定义,而本文将要讨
4、论的非有限分次李代数W正是该代数的一种特殊情况W(1,0,1;),具体定义详见定义1和定义2.除此之外,S c h r d i n g e r-V i r a s o r o代数也是-分次李代数,文献7 生动刻画了其扭代数的泊松结构,而文献8确定并分类了与该李代数相关的秩为3的李共形代数的结构.2 0 0 0年后,广义W i t t代数的2-上同调群9和李双代数结构1 0也得到了充分的考察与构建.文献1 1对W i t t和V i r a s o r o代数进行了推广,文献1 2 量子化了特征为0的广义W i t t代数的李双代数结构.文献1 3 证明了任何单变量的广义W i t t代数都是半
5、单的、不可分解的李代数,它不包含任何维数大于1的阿贝尔李子代数.从那时起,广义W i t t型代数得到了广泛的研究.另外,在广义W i t t型代数1 4的基础上,从结合代数的角度出发构造出了广义W e y l型代数1 5,进而得出了其2-上同调群1 6等一系列的成果.代数的极大子代数可以深刻的反映代数的内部特征,然而目前对W i t t代数的极大子代数研究工作较少.显然,非有限分次李代数W有很 多子代数,例 如上文提到 的经典W i t t代数 和H e i s e n b e r g-V i r a s o r o代数1 7.此外,文献1 8 研究了素特征域上W i t t代数的极大子代数
6、的2-局部导子,文献1 9对一类广义W i t t的子代数做出研究并构造出所有的自同构类.广义W i t t代数作为较复杂的李代数,研究其极大子代数的工作显得尤为重要.本文提出了非有限分次李代数W的3个极大子代数W1,W2,W3,利用李代数的特性研究了相关性质.并且证明了前两个子代数是同构的,进一步丰富了广义W i t t代数的研究理论.2 广义W i t t代数及非有限分次代数首先,本文工作在一个特征为0的基域FF上,所有向量空间和线性算子都在FF上,下面的定义请参阅文献6.本节主要介绍广义W i t t型代数和非有限分次李代数的基本概念和定理,首先回顾广义W i t t型代数的定义.定义1
7、(广义W i t t代数的定义)设l1+l2+l30,其中l1,l2和l3是非负整数.设是FFl2+l3的任意非 退 化 子 加 群.用FFt 11,t 12,t 1l1+l2表 示FF上l1+l2个 变 量 的L a u r e n t多 项 式 代 数,设A l1,l2,l3;是自由的FFt 11,t 12,t 1l1+l2-模,基 x|及可交换结合代数运算“”:f x g x =f g x+,f,gFFt 11,t 12,t 1l1+l2,.定义一些A l1,l2,l3;上线性变换 t1,tl1+l2,*1,*l2+l3:tih x =tih x,*jh x =jh x,其中hFFt 1
8、1,t 12,t 1l1+l2且=(1,l2+l3),ti是对ti求偏导的算子.令i=ti,l1+j=*j+tl1+j,l1+l2+k=*l2+k,对于任意的1il1,1jl2,1kl3.令DD=li=1FFi以及Wl1,l2,l3;=A l1,l2,l3;DD,l=l1+l2+l3.该广义W i t t李代数满足如下关系式:ui,vj =ui(v)j-vj(u)i,对于u,vA l1,l2,l3;,1i,jl1+l2+l3.由此,就得到了广义W i t t李代数Wl1,l2,l3;.现在令l1=1,l2=0,l3=1,=,可以得到本文研究的非有限分次李代数W.确切地说,A1,0,1;是自由的
9、FFt 1-模,从高维向量变成了一个数.对于任意的,i,令I,i=xti1,L,i=xti2,其中1(xti)=i xti-1,2(xti)=xti.W的详细定义如下:定义2 非有限分次李代数W是特征为0的基域FF上的-分次代数,具有生成元L,i,I,i|,i,在下列运算下形成一个李代数:L,i,L,j=(-)L+,i+j,L,i,I,j=I+,i+j-i L+,i+j-1,I,i,I,j=(j-i)I+,i+j-1,对于任意的,i,j .注 W是-分次的:W=W,其中W=s p a nL,i,I,j|i,j.下面阐述一些李理论的基础定义.定义3 设a是基域FF上的李代数g的子代数,如果对任何
10、子代数b,只要ba便必有b=g或b=a成立,则称a是g的极大子代数.定义4 设g是李代数,N是g的子空间.如果 g,NN,则N称为g的理想.特别地,g,g也是g的理想,且称 g,g为g的导出代数或导代数.据此,可以做出g的一个理想序列:g0 =g,g(1)=g,g,g(2)=g(1),g(1),显然有g=g0 g(1)gi gi+1 ,称上述理想列为g的导代数序列或导出列.定义5 李代数g称为可解李代数,如果存在正整数n使得gn =0.定义6 若李代数g不含任何非零的可解理想,则g称为半单李代数.3 非有限分次李代数W及其极大子代数在本章节,将分析非有限分次李代数W的性质,并且给出其两个极大子
11、代数,且对其性质分别做出2大 学 数 学 第3 8卷阐述.3.1 非有限分次李代数W前文已经得到了非有限分次李代数W,进一步地,注意到该代数的性质,这导致了W与其他代数的不同之处.引理1 W是单李代数6.根据上述引理,可以推断出W的中心Z(W)=0.事实上,这个结论也可以由W本身的构造得到,证明如下.证 设任意的x=,ic,iL,i+d,iI,i Z(W),根据Z(W)的定义,任取,L,0W,可以得到0=x,L,0=,ic,iL,i+d,iI,i ,L,0=,ic,i-L+,i-d,i I+,i .比较各项系数可得:c,i-=0,d,i=0.又由于的任意性,故有c,i=0,i,d,i=0,0,
12、i,那么x可简化为id0,iI0,i.任取I,jW,对其施用李括号:0=x,I,j=id0,iI0,i,I,j=id0,ij-i I,i+j-1,根据任意选取的j可知d0,i=0,所以x=0,即Z(W)=0 .3.2 极大子代数W1及其性质定理1 W1=s p a nL,i,I0,j|,i,j 是W的极大子代数.证(i)对于任意的,i,j,有L,i,L,j=-L+,i+j,L,i,I0,j=-i L,i+j-1,I0,i,I0,j=j-i I0,i+j-1,则W1对于李括号的运算是封闭的,再由L,i,I0,j的线性结构知:W1是W的子代数.(i i)设N也是W的子代数且有W1NW.不妨设x=x
13、*+,ib,iI,iNW1,其中x*W1,必存在某个b,i00 ,否则xW1.根据子代数的性质,令y=x-x*=,ib,iI,iNW1,将y写成如下形式:y=b,qI,q+b,q+1I,q+1+b,pI,p ,其中q是最小非零系数指标,p是最大非零系数指标.将I0,q从左端作用于y,I0,q,y=(b,q+1I,2q+(p-q)b,pI,p+q-1)N.类似地,反复用适当的I0,k作用,最终得到下式z=c,mI,m=c-,mI-,m+c0,mI0,m+c1,mI1,m+c,mI,m,其中-是最小非零系数指标,是最大非零系数指标.下面分析-0的情形:将L1,0作用于z,即得L1,0,z=-c-,
14、mI1-,m+c1,mI2,m+c,mI1+,m;令L1,0反复作用次于上式,即得+1 !c1,mI+2,m+c,mI+1,m,此时消去了前+1项;同理,反复用适当的L,0作用,最终将只剩下一非零项I,mN(总可以进行适当的施用,使得0,否则没有意义).对于任意的m,I0,1-mW1,I0,1-m,I,m=(2m-1)I,0,I,0,I0,j+1=(j+1)I,j,故当j-1时,I,jN;I,1,I0,-1=-2I,-1,故I,-1N.即j,I,jN.又 L-,0,I,j=I,jN,而0,I,jN,j .,取值的其他情况同理可得.3第6期 徐润果,等:与广义W i t t代数有关的非有限分次李
15、代数的极大子代数及其性质又因W1N,则L,jN,对于任意的,j .综上,N=W,即W1=s p a nL,i,I0,j|,i,j 是W的极大子代数.性质1 W 1=s p a nL,i|,i 是W1的理想:(i)W 1是W1唯一的非平凡理想;(i i)W 1,W 1=W 1.证 W 1是W1的理想这一结论可以从W1的封闭性验证中直接得出.下证(i)和(i i):(i)若W W 1是W1的非零理想,则取任意的x=,ia,iL,i+jbjI0,jW W 1,故至少存在一个k使得bk0.(a)将L0,0作用于x,L0,0,x =,i a,iL,i=ia,iL,i+1 a+1,iL+1,i+a,iL,
16、i =y,其中是最小非零系数指标,是最大非零系数指标.用L,0作用于y,可得L,0,y =i+1 a+1,iL2+1,i+a,i-L+,i ;同理,反复用适当的L,0作用,最终将得到下式z=ic,iL,i=c,-qL,-q+c,-1L,-1+c,pL,p,其中-q是最小非零系数指标,p是最大非零系数指标.下面我们分析-q0p的情形:使I0,0作用一次于z,可得I0,0,z=-q c,-qL,-q-1+-c,-1 L,-2+p c,pL,p-1;用I0,0作用p+1次后,即得-q -q-p c,-qL,-q-p-1+-1 -p-1 c,-1L,-p-2,即可消去 若干项.同 理,反复 用 适 当 的I0,k作 用,最 终 将 只 剩 下 一 非 零 项L,hW.,m,L-,m-hW1,L,h,L-,m-h=-2 L,m,故当2时,L,mW;L-1,0,L2+1,m=(2+2)L2,m,故当-1时,L2,mW.L-3,0,L1,m=4L-2,mW,即对于任意的,m,L,mW.q与p取值的其他情况同理可得.(b)现在注意到r=x-,ia,iL,iW,又r=jbjI0,j=buI0,u+bu+
