1、第4 9卷 第1期2 0 2 3年2月东华大学学报(自然科学版)J OUR NA L O F D ON GHUA UN I V E R S I T Y(NA TUR A L S C I E N C E)V o l.4 9,N o.1F e b.2 0 2 3 文章编号:1 6 7 1-0 4 4 4(2 0 2 3)0 1-0 1 2 6-0 8D O I:1 0.1 9 8 8 6/j.c n k i.d h d z.2 0 2 1.0 5 4 8收稿日期:2 0 2 1-1 0-0 8基金项目:上海市自然科学基金(1 9 Z R 1 4 0 0 5 0 0)通信作者:寇春海,男,教授,研究
2、方向为稳定性分析与设计,E-m a i l:k o u c h u n h a i d h u.e d u.c n引用格式:王瑞,寇春海.一类非瞬时脉冲微分系统的U l a m型稳定性分析J.东华大学学报(自然科学版),2 0 2 3,4 9(1):1 2 6-1 3 3.WAN G R,KOU C H.U l a m-t y p e s t a b i l i t y a n a l y s i s f o r a c l a s s o f n o n-i n s t a n t a n e o u s i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l s
3、 y s t e mJ.J o u r n a l o f D o n g h u a U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e),2 0 2 3,4 9(1):1 2 6-1 3 3.一类非瞬时脉冲微分系统的U l a m型稳定性分析王 瑞,寇春海(东华大学 理学院,上海 2 0 1 6 2 0)摘要:针对一类非瞬时脉冲微分系统,研究其解的存在性和U l a m型稳定性,构造上下解的迭代序列,得到系统的最小解和最大解。基于上下解方法,在标量情形下给出了此类系统U l a m型稳定的充分条件,以一个算例验证所得结论的有效性。关键词:非瞬时脉
4、冲微分系统;U l a m型稳定性;上下解方法;时滞;存在性中图分类号:O 1 7 5.1 3 文献标志码:AU l a m-t y p e s t a b i l i t y a n a l y s i s f o r a c l a s s o f n o n-i n s t a n t a n e o u s i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l s y s t e mWANG R u i,KO U C h u n h a i(C o l l ege o f S c i e n c e,D o ngh u a U n i v e r s i
5、ty,S h a ngh a i 2 0 1 6 2 0,C h i n a)A b s t r a c t:T h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n a n d U l a m-ty pe s t a b i l i ty f o r a c l a s s o f n o n-i n s t a n t a n e o u s i mpu l s i v e d i f f e r e n t i a l sys t e m s a r e s t u d i e d.T h e m o n o t o n e i t e r a t i v
6、e s equ e n c e s o f up pe r a n d l o w e r s o l u t i o n s a r e c o n s t r u c t e d a n d t h e m i n i m a l a n d m a x i m a l s o l u t i o n s o f t h e equ a t i o n a r e o b t a i n e d.B a s e d o n t h e up pe r a n d l o w e r s o l u t i o n m e t h o d s,t h e s u f f i c i e n
7、t c o n d i t i o n s a r e gi v e n t o gu a r a n t e e t h e U l a m-ty pe s t a b i l i ty o f t h e r e l a t e d s c a l a r equ a t i o n s.A n e x a mpl e i s pr o v i d e d t o i l l u s t r a t e t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e o b t a i n e d r e s u l t s.K e y w o r d s:n o n-
8、i n s t a n t a n e o u s i mpu l s i v e d i f f e r e n t i a l sys t e m;U l a m-ty pe s t a b i l i ty;up pe r a n d l o w e r s o l u t i o n m e t h o d;d e l ay;e x i s t e n c e 脉冲微分方程理论在机械控制、种群生态学等领域的应用引起了学者的关注。H e r n n d e z等1提出了非瞬时脉冲微分方程。不同于经典的脉冲微分方程,非瞬时脉冲微分方程可以更准确地描述现实中的突变无法在瞬间完成的情况;同时,
9、非瞬时脉冲在形式上更具一般性,因此应用也更为广泛。近年来,相关研究不断增多,如文献2-4 对瞬时脉冲微分方程中已有的结论进行推广并展开更为深入的探讨。此外,时滞现象在实际情况下是普遍存在的,故本文研究的对象为具有常时滞脉冲的非瞬时脉冲微分方程。1 9 4 0年U l a m5提出一个关于同态泛函方程稳定性的问题,一年后H y e r s6对该问题做出回答,而后R a s s i a s7提出并证明了U l a m-H y e r s稳定性的一般情况,这个问题发展至今演变为U l a m型稳定性理论。W a n g等8给出脉冲微分方程U l a m型稳定性的充分条件,并利用G r o n w a
10、 l l型的脉冲积分不等式给出紧区间和无界区间上的稳定性结果,同时 第1期王 瑞,等:一类非瞬时脉冲微分系统的U l a m型稳定性分析将结论拓展到无限脉冲的情形。W a n g等9进一步将该理论的研究结论推广至非瞬时脉冲微分方程,给出了紧区间和无界区间上U l a m-H y e r s-R a s s i a s稳定性的充分条件。在此基础上,A g a r w a l等1 0-1 1在系统中引入有限的状态依赖时滞,并将此类时滞引入分数阶非瞬时脉冲微分方程,给出了系统U l a m型稳定的充分条件。L u o等1 2给出了微分方程中具有时变时滞的非瞬时脉冲微分方程U l a m-H y e
11、r s稳定性的充分条件。通常采用直接法或不动点法讨论微分系统的U l a m型 稳 定 性 问 题。J u n g1 3证 明 了 系 统y=F(x,y)在一个闭球上U l a m型稳定的充分条件是F(x,y)关 于 第 二 变 元 满 足 全 局L i p s c h i t z条 件。Y a s e m i n等1 4利用不动点法推广并减少了他们提出的假设。H o u b i n等1 5采用上下解方法研究一阶常微分方程,相比文献1 3-1 4 中的不动点方法,上下解方法在判断系统U l a m型稳定时所需的条件更简单,并可以为U l a m型稳定的常数给出更精确的估计。受其启发,本文将上下
12、解方法推广至具有常时滞脉冲的非瞬时脉冲微分方程U l a m型稳定的研究。1 预备知识 考虑以下非瞬时脉冲微分系统:x(t)=f(t,x),t(tk,sk,k=0,1,mx(s+k)=gk(s+k,x(s-k-),k=0,1,m-1x(t)=gk(t,x(s-k-),t(sk,tk+1),k=0,1,m-1x(t+k+1)=x(t-k+1)=x(tk+1),k=0,1,m-1xt0(s)=(s),s-,0|(1)其中,对某个T0,tkmk=0,skmk=00,T,满足0t0s0sk-1tktm0。任意0,若对于不等式:y(t)-(t),t(-,t0y(t)-f(t,y(t),t(tk,sk,k
13、=0,1,my(t)-gk(t,y(s-k-),t(sk,tk+1,k=0,1,m-1(3)的任意一个解y,存在式(1)的解x,满足y(t)-x(t)c,t-,T(4)则称式(1)是U l a m-H y e r s稳定的。定义1.7 假设函数K(x)C(R+,R+),同时满足K(0)=0。任给0,若对于式(3)的任意一个解y,存在式(1)的解x,满足y(t)-x(t)K(),t-,T(5)则称式(1)是广义U l a m-H y e r s稳定的。2 解的存在性 采 用 上 下 解 的 方 法 证 明 式(1)解 的 存 在 性定理。定理2.1 假设(i)v,w分别是式(1)的下解和上解;(
14、i i)任给k=0,1,m,存在LNk0,当x,yWk(v,w),且xy时,f(t,x)-f(t,y)-LNk(x-y),t(tk,sk(6)(i i i)任给k=0,1,m-1,存在LMk0,当x,yHk(v,w),且xy时,gk(t,x)-gk(t,y)LMk(x-y),t(sk,tk+1(7)则存在式(1)在S(v,w)中的下解和上解函数列vn(t)n=0,wn(t)n=0满足:v0(t)vn(t)wn(t)w0(t),t-,T;vn(t)n=0和wn(t)n=0在-,T 中一致收敛于式(1)的最小解v*(t)和最大解w*(t);若t-,T 时,v*(t)w*(t),则式(1)存在唯一解
15、u(t)S(v,w),满足v*(t)u(t)w*(t)。证明 任给(t)P C(-,T,Rn),考虑非瞬时脉冲微分系统 x(t)+LNkx(t)=f(t,(t)+LNk(t),t(tk,sk,k=0,1,mx(s+k)=gk(s+k,(s-k-)+LMk(x(s-k-)-(s-k-),k=0,1,m-1x(t)=gk(t,(s-k-)+LMk(x(s-k-)-(s-k-),t(sk,tk+1,k=0,1,m-1x(t+k+1)=x(t-k+1)=x(tk+1),k=0,1,m-1xt0(s)=(s),s-,0|(8)假设x(t)是式(8)的唯一解。定义算子A:P C(-,T,Rn)P C(-,
16、T,Rn)为A(t)=x(t),则算子A具有如下性质:A在S(v,w)中是增算子;若x,yS(v,w)分别是式(1)的上、下解,则A x、A y也分别是式(1)的上、下解,且满足xA x,yA y,A yA x;v是算子A的下解,w是算子A的上解。事实上,对x,yS(v,w),且xy,当t-,0 时,结论显然。当t(0,s0 时,根据(i i)可知:821 第1期王 瑞,等:一类非瞬时脉冲微分系统的U l a m型稳定性分析A x-A y=e-LN0tt0eLN0s(f(s,x(s)-f(s,y(s)+LN0 x(s)-LN0y(s)dse-LN0tt0eLN0s(-LN0(x(s)-y(s)+LN0 x(s)-LN0y(s)ds=当t(sk,tk+1,k=0,1,m-1时,根据(i i i)可知:A x-A y=gk(t,x(s-k-)-LMk(x(s-k-)-y(s-k-)-gk(t,y(s-k-)+LMk(A x(s-k-)-A y(s-k-)LMk(x(s-k-)-y(s-k-)-LMkx(s-k-)+LMky(s-k-)+LMk=当t(tk+1,sk+1,k=0,1,m-1时
