1、 收稿日期2 0 2 1-1 2-1 6;修改日期2 0 2 2-0 6-2 4 基金项目国家自然科学基金(1 2 1 7 1 2 6 0);浙江省杰出青年基金(L X R 2 2 A 0 1 0 0 0 1)作者简介赵丽萍(1 9 9 6-),女,硕士在读,基础数学专业.E-m a i l:7 6 7 9 1 5 6 9 7q q.c o m 通讯作者陈传强(1 9 8 3-),男,博士,教授,从事偏微分研究.E-m a i l:c h e n c h u a n q i a n g n b u.e d u.c n第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月
2、C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2一类抛物方程解的水平集的曲率估计赵丽萍,莛陈传强(宁波大学 数学与统计学院,浙江 宁波3 1 5 2 1 1)摘 要研究了凸环上的抛物方程ut=pu(p1)的时空拟凹解的空间水平集的严格凸性,并且利用常秩定理的方法,得到了空间水平集主曲率的正下界估计.关键词水平集;主曲率;常秩定理;曲率估计 中图分类号O 1 7 5.2 6 文献标识码A 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 0 0 9-1 01 引 言考虑在凸环上建立抛物方程,如下所示ut=pu,(x,t)(0,T,u(x,0)=
3、u0(x),x,u(x,t)=0,(x,t)0(0,T),u(x,t)=1,(x,t)1(0,T,(1)其中p1,=01 n(0和1是凸区域且10)是凸环,T是时空空间拟凹解的最大时间,u0C4()C2()是一个给定的拟凹函数,并且满足下列条件pu0,x,u0(x)=0,x0,u0(x)=1,x1.(2)如果时空水平集(x,t)(0,T)u(x,t)=c 对于每一个常数c(0,1)都是凸的,那么函数u(x,t)在(0,T)被称为时空拟凹解.如果(空间)水平集x u0(x)=c 对于每一个常数c(0,1)都凸的,在上的函数u0(x)被叫做是拟凹的.凸性是偏微分方程的一个基本的几何性质,已经得到了
4、广泛的研究.例如,文献1 包含一个众所周知的结果,即水平面上单连通凸域上的格林函数为凸J o r d a n曲线.1 9 5 6年,文献2 研究了在3中的极小环,其边界由平行平面P1,P2的两条封闭凸曲线组成,并且在论文中证明了在P1和P2的任意平行平面P都是凸J o r d a n曲线.1 9 5 7年,文献3 证明了三维有界凸域上格林函数的水平集是严格凸的.1 9 7 7年,文献4 将G a b r i e l的上述结果推广到高维p阶调和函数.文献5 推广文献4 结果到非线性椭圆偏微分方程.受到文献6 结果的启发,文献7 利用p阶调和函数凸水平集的第二基本形式的常秩定理给出了新的证明.文献
5、8 关于这个问题还有更多研究(见参考文献9-1 2).关于椭圆偏微分方程解的水平集的曲率估计也有大量的文献可以参考.对于具有凸水平曲线的二维调和函数和极小曲面,文献1 3-1 5 证明水平曲线的曲率在边界处达到最小值(详细的最新结果参考文献1 6).文献1 5 还研究了凸水平曲线的曲率与二维最小曲面高度之间的关系.文献1 7 得到了高维调和函数在凸水平集的高斯曲率估计,并且函数包含了边界的高斯曲率和边界上梯度的范数.对于高维主曲率估计,根据边界的主曲率和边界上的梯度范数,文献1 8 得到了高维调和函数的严格凸水平集的主曲率下界估计和非线性椭圆方程在一定条件下的界.最近,文献1 9 利用了文献6
6、 提出的常秩定理的方法,得到了一般条件下凸域上完全非线性椭圆方程水平集解的主曲率下界2 0.在文献2 1 中,B o r e l l利用布朗运动去研究在u0=0时热方程的时空水平集的某些凸性.后来,文献2 2-2 3 对B o r e l l的定理给出新的证明,并且将其推广到更一般完全非线性椭圆方程抛物拟凹的概念.但他们仍需要初始数据恒等于零,这是一个非常严格的假设.在1 9 9 5年,文献2 4 给出了一类抛物方程解的稳定性与唯一性.文献2 5 中研究了水平集的严格凸性并且给出了热方程ut=u的时空拟凹解的空间水平集的常秩定理.文献2 6-2 7 中证明了具有初始数据的热方程的强时间拟凹性并
7、且对一般初始数据给出了一些例子.本文将给出方程(1)解空间水平集的曲率估计,即如下定理.定理1 假设=:01 n是凸环,uC3,1(0,T)是时空拟凹解并且满足(2),则c=x|u(x,t)=c是严格凸的.在定理1的证明基础上,还将进一步利用常秩定理,去研究抛物方程解的水平集的曲率估计,即如下定理.定理2 假设在uC3,1(0,T)是完全非线性抛物方程(1)的时空拟凹解并且满足(2).那么将会存在一个常数A只依赖于存在对于n,u0,i n f|?u|和uC2,使得u(x,t)m i n0,1e-AeA u(x,t),(x,t)0,T),(3)此时u(x,t)是空间水平集的u(x,t)=y|u(
8、y,t)=u(x,t)的最小主曲率.注1 定理2可以看作是在文献1 9 中定理1.5的抛物版本,同时也是常秩定理的证明过程.更多最新的相关结果可以参考文献1 9,2 8-2 9 以及3 1-3 3.本文的剩余内容安排如下:在第二部分,做一些初步分析;在第三部分,给出定理1的证明;在第四部分,给出定理2的证明.2 初步分析在这一部分,将做出一些初步分析.首先,标记?u=(u1,un)是u的空间梯度,D u=(u1,un,ut)是u的时空梯度.2.1 空间水平集和第二基本形式假设函数u(x,t)C2(0,T),并且对任意固定的(x,t)(0,T)有un0.对于空间水平集c=x|u(x,t)=c的内
9、法线向量满足v=un|?u|un(u1,u2,un-1,un),(4)其中?u=(u1,u2,un-1,un)是u的空间梯度.函数u在法向(4)的空间水平集的第二基本形式是bi j=-|un|(u2nui j+un nuiuj-unujui n-unuiuj n)|?u|u3n,1i,jn-1.(5)设hi j=u2nui j+un nuiuj-unujui n-unuiuj n,1i,jn-1,则(5)可以表示成bi j=-|un|hi j|?u|u3n.如果c=x|u(x,t)=c 是局部凸的,就可以知道c的第二基本形式在法线方向(4)是半正定的.现假设a(x,t)=ai jx,t 是c=
10、x|u(x,t)=c的W e i n g a r t e n对称矩阵,由此,可以01大 学 数 学 第3 8卷得到(ai j)是半正定的.就如同1 1 中计算的那样,若un0,那W e i n g a r t e n矩阵可以表示成ai j=-un|?u|u3nAi j,1i,jn-1,(6)其中Ai j=hi j-uiulhj lW(1+W)u2n-ujulhi lW(1+W)u2n+uiujukulhk lW2(1+W)2u4n,W=|?u|un.上述表示符号中,在点x,t 处有un(x,t)=|?u(x,t)|0,ui(x,t)=0,i=1,n-1,ai j,k是可交换的,这也就是说它们满
11、足C o d a z z i性质ai j,k=ai k,j,i,jn-1.2.2 时空水平集和第二基本形式假设函数u(x,t)C2(0,T),并且对于任意固定点(x,t)(0,T)都存在着ut0.对于时空水平集c=(x,t)(0,T)|u(x,t)=c的内法线向量满足v=ut|D u|ut(u1,u2,un-1,un,ut),(7)其中D u=(u1,u2,un-1,un,ut)是u的时空梯度.函数u在法向(8)的时空水平集的第二基本形式是b=-|ut|(u2tu+ut tuu-utuu t-utuut)|D u|u3t,1,n.设h=u2tu+ut tuu-utuu t-utuut,1,n.
12、那么,对于上式就可以将其写成b=-|ut|h|D u|u3t.如果时空水平集c=x|u(x,t)=c 是局部凸的,就可以知道c的第二基本形式在法线方向(8)是半正定的.现假设a(x,t)=(a(x,t)是c=(x,t)(0,T)|u(x,t)=c的W e i n g a r t e n对称矩阵,由此可以得到(a)是半正定的.如果ut0,那W e i n g a r t e n矩阵可以表示成a=-ut|D u|u3tA,1,n,(8)其中A=h-uuhW(1+W)u2t-uuh W(1+W)u2t+uuuuhW2(1+W)2u4t,W=|D u|ut.上述的表示符号中,在点x,t 处有ut(x,
13、t)0,un(x,t)=|?u(x,t)|0,ui(x,t)=0,i=1,n-1,由此可以得到1-u2nW(1+W)u2t=W u2t+W2u2t-u2nW(1+W)u2t=1W.所以A=h=u2tu,1,n-1;(9)A n=h n-u2nh nW(1+W)u2t=1Wh n=1Wu2tu n-utunu t,1n-1;(1 0)An n=hn n-2u2nhn nW(1+W)u2t+u4nhn nW2(1+W)2u4t=1W2hn n=1W2u2tun n+u2nut t-2utunun t.(1 1)2.3 初等对称函数在这一部分,将重新回顾在文献3 5 中的初等对称函数的定义和一些基本
14、性质.定义1 对于任意k=1,2,n,定义k()=1i1i2n.用k(i)表示i=0的对称函数且用k(i j)表示i=j=0的对称函数.易知,初等对称函数有下列性质:性质1 设=(1,n)n对k=0,1,n,有k()=k(|i)+ik-1(|i),1in,ni=1ik-1(|i)=k k(),ni=1k(|i)=(n-k)k().另外,对矩阵W可以定义k(W)=k(W),其中(W)=(1(W),2(W),n(W)是对称矩阵W的特征值.用k(W|i)表示除掉i-行和i-列的对称函数以及用k(W|i j)表示除掉i,j-行和i,j-列的对称函数.然后就有下列的性质.性质2 假设W=(Wi j)是对
15、角化的,并且m是正整数,有m(W)Wi j=m-1(W|i),i=j,0,ij(1 2)和2m(W)Wi jWk l=m-2(W|i k),i=j,k=l,ik,-m-2(W|i k),i=l,j=k,ij,0,其它.(1 3)2.4 辅助引理类似于文献2 9 论文中的引理2.5,将给出下列引理引理1 假设对每一个x n有W(x)=(Wi j(x)NN0,且Wi j(x)C1,1(),然后对于每一个O,都存在一个只依赖于d i s tO,和WC1,1()的正数C,使得?Wi jC(Wi iWj j)14,(1 4)对于每一个xO,1i,jN.证 与文献2 9 中引理2.5的证明相同但进行了小的
16、修改,因为W是一般的矩阵而不是凸函数的H e s s i a n矩阵.已知任何非负C1,1函数h,对于所有的xO有|?h(x)|C h12(x),此时C只依赖于hC1,1()和d i s tO,.因为W(x)0,所以可选择h(x)=Wi i(x)0.从上面的论证中得到?Wi iC1(Wi i)12=C1(Wi iWi i)14.(1 5)因此(1 4)对i=j成立.类似地,对ij,选择h=Wi iWj j0,就可以得到?Wi iWj jC2(Wi iWj j)12=C2(Wi iWj j)14.(1 6)并且对于h=Wi iWj j-Wi j,有?(Wi iWj j-Wi j)C3(Wi iWj j-Wi j)12C3(Wi iWj j)14.根据(1 5)和(1 6),就可以得到?Wi j=?Wi iWj j-?(Wi iWj j-Wi j)?Wi iWj j+?(Wi iWj j-Wi j)(C2+C3)(Wi iWj j)14.所以(1 4)对ij成立.注2 若每一个(x,t)(0,T)有W(x,t)=(Wi j(x,t)NN 0,且Wi j(x,t)C1,1(0,T),然后就有
