1、河南理工大学学报（社会科学版），第 卷，第 期，年 月 （），景太艳 微积分的发展史 河南理工大学学报（社会科学版），（）：（）微积分的发展史景太艳（河南理工大学 数学与信息科学学院，河南 焦作）摘要：微积分是研究函数的微分、积分以及相关概念和应用的重要数学分支之一。微积分的创立，可以称为“人类精神的最高胜利”。整个数学好比一棵枝繁叶茂的参天大树，无数斑驳粗壮的树枝就是各式各样的数学分支，而微积分就是此树的主要分支之一。世纪伊始，随着社会的进步与发展，数学开启了分析研究变化的量，逐步迈入一个以“变量数学”为标志的时代，即微积分渐渐从无到有，逐渐发展壮大进而不断成熟和完善，最终成为一门独立学科。
2、进入 世纪后，微积分得到进一步发展壮大，被广泛应用，并且与当代更深层次的需求结合繁衍，诞生了许多新的数学分支，从而造就了在方法和观念上皆具有“旗帜鲜明”的数学领域 “分析”。关键词：微分；积分；摄动理论；数学分析；极限理论中图分类号：文献标识码：文章编号：（）（，）：，“”，“”，收稿日期：；修回日期：基金项目：河南省青年科学基金项目（）；河南省高等学校重点科研项目（）；河南理工大学基本科研业务费专项项目（）。作者简介：景太艳（），女，河南焦作人，博士，讲师，主要从事大学数学教育研究。：，“”“”：；微积分是数学史上的伟大创造之一。它来自实际生产技术和科学理论需要，秉承真理，源于实践，而实践是
3、人们改造客观世界的物质性活动；同时，根据作用与反作用原理，它又深刻影响着整个世界生产技术和自然科技的“更新换代”。现如今微积分作为一门不可缺少的基础性科学工具，正被许许多多的科研工作者和技术设计人员运用和推衍。本文分别从四个时期探讨了微积分发展的历程，进而阐述了微积分的作用与意义。一、微积分的萌芽时期 在两千多年前的希腊时期，劳动者在从事繁重的生产生活中，逐渐摸索到利用滚动方式搬运货物比滑动方式更省时省劲，于是配有圆轮和圆轴的车子在运输中被广泛运用。为了对圆形有精准的认识，在深入剖析与研究圆形过程中，出现了“无限细分，无限求和”的早期微积分思想的萌芽。古希腊的阿基米德 微积分的先驱者，不仅成功
4、地将“穷竭法”应用于求像抛物线弓形那样复杂的曲边形的面积中，而且应用了各种微积分的思想。大数学家欧几里得撰写的名著 几何原本和阿波罗尼奥斯的巨作 圆锥曲线论，使希腊在文明史上首屈一指，在数学史上更是举足轻重。特别是阿波罗尼奥斯的 圆锥曲线论，对几何学的发展影响巨大，统治数学界近两千年，直到笛卡尔时代才开始有本质上的改变。微积分思想的萌芽在中国古代也早就产生。比如诸葛亮的“木牛流马”、张衡的“浑天仪”、刘歆的“记里车”等，都涉及制造圆形的物件，最终魏晋时期的刘徽在前人的基础上研究出了“割圆术”。他从圆的内接正六边形做起，成倍地增加边数，逐步推求圆内接正 边形、正 边形，一直到正 边形。使这个正
5、边形面积来逼近圆面积，得到比较精准的数值.。“制之弥细，所失弥少；割之又制，以至于不可制，则与圆周合体而无所失矣”包含着“无限细分，无限求和”的微积分思想。又例如建于隋朝的跨度达 米的赵州桥是由一块块长方形的条石砌成，直直的条石最后砌成了一整条弧形曲线的拱圈，这是微积分基本思想“以直代曲”的典型实例。到了宋朝和元朝时，中国古代数学的发展到了顶峰，但由于各种各样的原因，中国古代的数学研究总是卷入到非常实际的问题上去，不知道抽象和系统，明朝中期后就落后了。那么，为什么当时没能形成完整的微积分理论呢？这是由当时世界生产力所决定的，众所周知生产力决定了生产水平。无论是阿基米德生活的古希腊时代，还是刘微
6、生活的魏晋时期，当时的生产工具大都笨拙简陋，机械运动还比较缓慢，生产力低下。当时的生产力和生产实践还满足不了进一步发展微积分思想的需要，因而当时的数学仍处于初等数学的阶段。同时，充分表明了一种划时代的数学思想是在生产力和生产实践提出需要下产生和发展的，也有且当有生产力和生产实践有了进一步需要时，它才能进一步形成和逐渐完善。二、微积分的发展时期 世纪伊始，随着社会的进步和生产力的发展，数学开始研究变化的量，逐步迈入一个以“变量数学”为标志的时代，即微积分渐渐从无到有、逐渐发展壮大进而不断成熟和完善，最终成为一门独立学科。下面从两个阶段来阐述微积分的发展历程。（一）微积分的探索时期 进入 世纪，自
7、然科学发展到新阶段，出现了许多用常量数学难以解决的科学新问题，如望远镜的光程设计需确定透镜曲面上任一点的法线；如何确定非匀速运动物体的速度与加速度的瞬时变化率；如何确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的远日点和近日点；如何进行物体重心与引力的计算；行星矢径扫过的面积、行星沿轨道运动的行程等。的科学家在寻求解决这些难题的新数学工具上花费了大量的时间和精力，在这期间笛卡尔创建了解析几何学。解析几何的诞生是数学的伟大转折，恩格斯写道：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入为数学，有了变数微分和积分也就立刻成为必要的了。”在解决这些问题的过程中，逐步形成微积分的一些基本方法，极大地促进了微积分
8、的发展。归纳起来主要有第 期 景太艳：微积分的发展史以下四种类型问题。第一种是物体在任何时间的速度和加速度问题。反之已知物体的加速度表示时间的函数，求解距离及速度。很快人们就发现，已知物体移动的距离表示时间的函数是对另一问题的特例。第二种是曲线的切线问题。除了在光学研究中涉及曲线的切线外，在运动的研究中也涉及曲线的切线问题。笛卡尔和费马利用解析几何中坐标的方法来研究微积分的问题。笛卡尔提出了一种构造切线的方法 笛卡尔圆法，求的是曲线 （）过点 （，（）的切线斜率的“圆法”，它本质上是一种代数方法求曲线在其上某一点处的切线方程，代数方法是后来求切线方法的雏形，牛顿就是在笛卡尔圆法的启发下，走上研
9、究微积分的道路的。第三种是函数最大值与最小值问题。例如，在抛射体获得最大射程的发射角等问题，这部分工作由开普勒研究发现，进而发表了 测量酒桶体积的新科学，在书中证明了在球面内切正平行六面体中正方体的容积最大。在开普勒、卡瓦列里等人研究的基础上，费马不仅给出了函数取得极值的必要条件，而且还求出曲线的切线方程，确定多项式曲线的极大点、极小点和拐点等，收录在 求最大值和最小值的方法 中。第四种是面积、体积、曲线长、重心和引力计算问题。开普勒在 测量酒桶体积的新科学 一书中，阐明了运用无限小元，从而求解旋转体体积积分的方法，引入了无穷大和无穷小概念，得出了圆的面积是周长乘以半径的一半。同理他得出了球是
10、由无数个顶点在球心、底面在球面上的小圆锥构成，球的体积等于圆锥体积之和。意大利数学家卡瓦列里在他的著作 用新方法促进的连续不可分量的几何学 中，认为线由无数个点构成，面由无数条线构成，立体由无数个面构成。把构成线、面、体的元素叫做不可分量，原理称之为“不可分原理”。依靠这个原理，他求得了相当于 下的面积，找出了求解积分的一般方法，与我国的祖暅原理内涵一样。不过他在 六个几何问题中继续发展了他的理论。在以后几十年中不可分原理是数学家研究几何中无穷小问题引用最多的理论，被莱布尼茨誉为当时几何学的顶峰，对微积分的创立有重要影响，这显然也更接近普通的积分学。（二）微积分的蓬勃发展时期 围绕着以上四个核
11、心的科学问题，让微积分不依附古希腊几何，而发展成为一门独立学科，其中贡献最大的便是牛顿和莱布尼茨两位天才数学家。牛顿（年），诞生于英格兰林肯郡的沃尔索普村。牛顿在中学时代学习成绩并不出众，但酷爱读书，对大自然有强烈的好奇心，如日影四季的移动、光线、颜色等。他特别翻阅日心说、几何学等。他有分门别类地写读书心得和记笔记的习惯，又喜欢独具一格地做些小发明、小工具、小试验、小技巧等。在格兰瑟姆中学的校长 斯托克斯和牛顿的叔父 艾斯库的多次鼓励下，他于 年进入剑桥大学三一学院，年获得学院奖学金，年获学士学位。年时剑桥大学的 卢卡斯开创了一个独辟蹊径的讲座，讲解地理、物理、天文、数学等，巴罗是讲座的第一任
12、教授。牛顿在巴罗的指导下，学习并掌握了算术和三角，并阅读了开普勒的 光学、欧几里得的 几何原本、笛卡儿的 几何学 和 哲学原理、罗伯特胡克的 显微术、伽利略的关于托勒密与哥白尼两大世界体系的对话、沃利斯的 无穷算术 等，特别是笛卡儿和沃利斯的著作对他数学思想的形成尤为重要。牛顿对于微积分的研究是从 年开始的，他从沃利斯的整数幂有限项级数中获得启发，发现了无穷级数的二项式定理，让无穷小更具有活力，紧接着他又从函数关系中无穷小量的变化和相应函数变化量之间的比例关系中研究探讨。年 月牛顿撰写了数学史上第一篇微积分论文 流数短论，文章中首次提出了流数的概念，所谓流数指的就是速度，并以醒目的形式提出微积
13、分的基本定理。在 年发表了 流数法和无穷级数简称 流数法，在这部著作中他恢复了在 流数短论 中采用运动学的观点，根据速度的格式引入流数，通过积分法和微分法来解决关于流数的计算问题。而凭借 曲线求积术（年），牛顿成为有史以来第一位将求切线与求面积两者之间的互逆关系，作为一个普遍规律揭示的人。同时他提出了关于反微分的问题，反微分问题的解决促进了其他问题的快速解决。牛顿将正反微分的运算应用于求曲线的切线、曲率等 类问题，这些都体现了牛顿算法的普遍性以及系统性。使用级数、流数等等的分析 这篇著作写于 年，到了 河 南 理 工 大 学 学 报（社 会 科 学 版）年第 卷年才正式发表。他得出求变化率较为
14、通常的办法，给出了一般形式，同时证明出了微积分的基本定理。他利用无穷级数计算求解流数、积分以及解方程，表现了微积分和无穷级数之间较为密切的关系。这也客观地反映出牛顿从不同角度对微积分研究所做出的贡献。与牛顿共享微积分荣誉的数学家莱布尼茨（年），出生于德国的莱比锡，是微积分的另一个奠基者，他学识包罗万象，比如哲学、历史、生物学、机械、物理、数学、神学等。年莱布尼茨考入莱比锡大学学习法律，但是他各门功课都面面俱到。当时教师讲解欧几里得的几何学时含糊不清，但是除了莱布尼茨外很少有其他学生可以真正听懂。在 年他发表了一篇关于数理逻辑的文章，虽然现在看上去属于极不成熟的作品，但已显示出他的数学才能。年他
15、在巴黎见到了惠更斯，在惠更斯的鼓励下，开始深入研究数学。在 年到访伦敦时，他会见了许多数学家，学到了不少关于无穷级数的知识，并在那里获得了一本巴罗的 几何讲义，还知道了牛顿的一些工作，回巴黎后开始潜心研究数学。年发表了第一篇微分学论文，这也是世界上最早的微积分文献，虽然文章只有六页、内容不怎么丰富、说理也有些含糊，但具有划时代意义。众所周知的牛顿 莱布尼茨公式最早出现在伊萨克巴罗和牛顿的著作中，他们用反微分来求得面积，也是莱布尼茨第一次表达出了积分与微分之间互逆的关系。在其他方面莱布尼茨的贡献也是巨大的，比如他所创设的符号远远超过牛顿，对于微积分的发展有着巨大的影响。同时他还参与讨论负数与复数
16、的性质，得出共轭复数的和是实数等结论。牛顿与莱布尼茨将积分和微分真正关联起来，尽管这两者不是由他们发明的，但他们二人却找到了两者的内在联系 微分和积分是互逆的两种运算，而这正是微积分理论和方法建立的关键所在。他们从各种函数的微分和求积公式中，归纳出共同的算法程序，使微积分方法逐渐普遍化，通过运用符号来表示微积分的运算法则，为之后的科学进步做出了突出贡献。三、微积分的完善时期 世纪的微积分由牛顿和莱布尼茨提供强有力的工具。此后各国的数学家开始投入到开辟数学新天地的工作中，并涌现出许多优秀的数学家，如伯努利、欧拉等。在数学和科学的历史上，最著名的家族之一是瑞士伯努利家族。其家族记载开始于雅各布伯努利和约翰伯努利兄弟。他们的著作便是现今初等微积分的大部分内容。雅各布伯努利自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，从 年起，任巴塞尔大学数学教授直到去世。雅各布伯努利对数学的主要贡献是引入了伯努利数、发表了关于无穷级数的论文、研究了许多特殊的曲线、发明了极坐标、提出了概率论中的伯努利定理或大数定律、推导出平面曲线的曲率半径公式。相比而言，他弟弟约翰伯努利更是一位多产的数学家，他从事医学研究，并于 年在巴塞尔
