1、第 卷第期 年月 收稿日期：作者简介：潘莉英（），女，陕西大荔人，硕士，副教授，研究方向为应用数学、数学教育。柔性关节机械臂避障路径自动控制数学建模潘莉英（陕西省宝鸡教育学院数学系，陕西 宝鸡 ）摘要：针对柔性关节机械臂在避障完成后位姿与目标位姿存在一定偏差的问题，提出柔性关节机械臂避障路径自动控制数学建模方法。将五次样条曲线作为柔性关节机械臂避障路径规划的基础，在避障任务中引入速度修正项，通过关节角和关键点避障速度确定速度修正项取值。建立避障路径自动控制数学模型，利用该模型控制柔性关节机械臂在到达目标位置过程中实现障碍物精准规避，完成柔性关节机械臂避障路径自动控制。实验结果表明，所提方法能够
2、减小位姿误差，平稳关节波动，实际应用效果较好。关键词：柔性关节机械臂；避障路径自动控制；数学建模；样条曲线；速度修正项中图分类号：文献标志码：文章编号：（）（，）：，：；引言随着科技不断进步，在各行各业中现代机器人已经能够为人类提供服务。其中，依据仿生学和机器视觉发明的柔性空间机器人受到国内外学者的广泛关注，因其质量轻、效率高、适应性强和灵活性高等多种优点使其显现出巨大发展潜力，柔性关节机械臂被广泛应用于航空航天、医疗、军事和柔性制造等多个领域中。因此，对柔性关节机械臂的轨迹自动跟踪和避障路径自动控制等方面深入研究具有深远价值与意义。朱战霞等将碰撞情况表示为直线段与球体的潘莉英：柔性关节机械臂
3、避障路径自动控制数学建模智能制造相对位置关系，运用正向运动学原理将关节参数化，转变路径规划问题为参数优化问题，结合柔性关节机械臂姿态和避障情况构建目标函数，并采用粒子群算法求解目标函数，完成柔性关节机械臂避障路径控制；熊志金等通过柔性关节机械臂运动模型获取机械臂运动状态速度和加速度公式并加以约束，采用径向基函数神经网络逼近误差，优化滑模控制器，实现柔性关节机械臂避障路径控制；郭新兰通过建立全部状态向量集合和其中每个向量对应动作集合，引入 神经网络优化 算法，以关节旋转角和连杆空间移动距离最小为原则建立柔性关节机械臂避障路径控制算法。以上方法在避障过程中没有对路径持续修正，导致位姿误差和关节波动
4、大。为了解决上述方法中存在的问题，提出柔性关节机械臂避障路径自动控制数学建模方法。柔性关节机械臂避障路径规划采用五次样条曲线规划柔性关节轨迹。获取组柔性关节机械臂在任务中形成的运动轨迹并将轨迹离散化处理，得到对应空间位置点，引入逆运动学原理求解柔性关节机械臂各关节对应的位置矢量，记作，表示第个位置点，表示位置点总数，建立位置与对应时间的序列（，），用表示第个控制顶点矢量，柔性关节机械臂轨迹服从中全部位置的时间约束，通过累计弦长参数法归一化时间节点得到五次样 条 曲 线 轨 迹 定 义 域 节 点 向 量 集，对应节点向量为 （）和为不同条件下时间节点变化值；为上一位置点节点矢量；，。从而得到用
5、于插值的个数据点的五次样条轨迹曲线方程（）为（），（），（），（），（），（）（），（）为五次规范 样条基函数。将曲线定义域，内的全部节点分别代入式（），得到符合插值条件的个方程（）为（），（）（）由以上条件可知，五次样条曲线还需设置另外个附加条件：特定轨迹关节角初始和终止速度、与加速度、，个参数分别为初始位置的一阶导数、二阶导数和终止时刻的一阶导数、二阶导数，计算式为 ，（），（），（），（）（）为系数矩阵；为控制点矩阵。顶点方程，通过拆分控制点坐标可得到每点对应的时刻和关节角值，采用和描述关节节点（，）。样条曲线的分段连续性质能够使柔性关节机械臂依据型值点在指定时刻到达相应位置，实现路径的
6、自动规划。柔性关节机械臂避障路径自动控制优化数学建模为了实现柔性关节机械臂自动避障，需要在五次样条曲线规划的路径中引入速度修正项，柔性关节机械臂速度修正项选取是避障工作成功的关键，为了满足成功避障的要求，速度修正项需要满足以下个条件：速度修正项使柔性关节机械臂偏离原本路径完成避障。速度修正项在避障全过程中积分为，且到达目标位置过程中实现障碍物精准规避。假设用参数变量对应连续变化函数表示五次样条曲线规划路径中的关节角值，（）表示避障速度修正项函数，（）表示修正前关节角值，（）表示经（）修正后的关节角值，表示在变化中的单位步长，?表示五次样条曲线中第段时间长度，（）计算公式为（）（）（）?（）为了
7、服从条件，（）需满足（）（）（）其他 （）（）?（）（）（）为（）的一阶导数；为开始避障时刻；为避障总时间均值；?为关节角避障速度。为使避障速度修正项在完成一次避障时积分为，需满足 （）（）（）中?应根据柔性关节机械臂所处构型和关键点避障速度综合取值，具体步骤如下所述。在笛卡尔空间中确定的值。根据柔性关节机械臂所处构型求解碰撞关键点的雅可比矩阵及其伪逆。采用逆运动学原理映射至关节空间中。根据以上步骤可得到?为?（）为使（）长度与（）一致，代入式（）使其他关节角速度为，依据式（），将求解?问题转换为求关键点解。的求解应结合柔性关节机械臂此刻速度和障碍物相关信息，用表示关键点，表示障碍物半径，表示
8、障碍物中心，通过到的矢量和此时速度矢量建立避障平面，如图所示。图关键点避障图中，和 分别表示柔性关节机械臂避障阈值和安全距离。在柔性关节机械臂执行任务过程中，若识别到与之间距离，则控制柔性关节机械臂开启自动避障；若识别到 ，则控制柔性关节机械臂停止任务执行。将分解为障碍物半径方向分量和障碍物切线方向分量，求解需服从以下个条件。偏离障碍物继续工作任务，即不能为。为避免关节角加速度波动过大，不能为。用表示避障速度幅度值，结合以上条件，得到为（）根据式（）和式（）建立避障路径自动控制数学模型，具体流程如下所述。建立避障路径自动控制数学模型，用模型 取值表示柔性关节机械臂避障情况，表示柔性关节机械臂避
9、障末端未实行避障；表示正在避障，将初始 值设置为。求解五次 样条曲线方程并获取关节角值和速度值。判定 取值，若 ，继续步骤；若 ，继续步骤。判断柔性关节机械臂避障阈值、安全距离 与关键点到障碍物中心距离之间关系，若，则柔性关节机械臂按原规划路径继续执行任务；若 ，则求解该时刻关键点速度、避障速度和关节角避障速度并设置 ，继续步骤；若 ，则避障失败，算法结束。结合关节角避障速度和修正项调节关节角向量，判定是否达到避障总时长，若达到，则完成避障，设置 ，反之，。实验与结果为了验证柔性关节机械臂避障路径自动控制数学建模的整体有效性，需要进行测试。实验所用柔性关节机械臂如图所示。实验中以长方体纸箱为障
10、碍物，柔性关节机械臂末端可到达除纸箱顶部和底部以外的个面、和，将机械臂初始点和终止点设置在 和 近邻处，采用本文方法、文献 方法和文献 方法分别操控柔性关节机械臂完成避障实验任务。图实验所用柔性关节机械臂潘莉英：柔性关节机械臂避障路径自动控制数学建模智能制造分别记录种方法操控的柔性关节机械臂在避障任务中初始和终止运动角度，并计算与目标角度之间误差，检测结果如表所示。表各关节角度误差情况（）方法关节关节关节关节关节关节关节均值本文方法 文献 方法 文献 方法 结合表数据可以看出，在采用本文方法规划的柔性关节机械臂避障路径中，各关节角度与目标角度的误差均值为 ，而文献 方法和文献方法均明显高于本文
11、方法，分别为 和 ，本文方法个关节的角度误差值最大为关节的 ，而文献 方法最大为 ，文献 方法最大为 ，与目标角度有明显偏差。实验过程中，本文方法、文献 方法和文献方法各关节角度随步数变化情况如图 图所示。图本文方法各关节角度变化情况图文献 方法各关节角度变化情况由图、图和图可以看出，本文方法在避障过程中关节波动幅度较小，整体避障效果更好，而文献 方法和文献 方法规划的避障路径中关节波动幅度较大，容易引起柔性关节机械臂末端抖动的问题，不利于机械臂完成高精度任务，本文方法更适合用于实际柔性关节机械臂避障路径自动控制之中。图文献 方法各关节角度变化情况柔性关节机械臂完成任务时位姿误差分为位置误差和
12、姿态误差，用和分别表示机械臂成功避障后末端实际坐标向量和目标坐标向量，和分别表示机械臂成功避障后实际夹角向量和目标夹角向量，则位置误差和姿态误差定义为（）采用本文方法、文献 方法和文献 方法操控柔性关节机械臂完成 次避障任务，对应位置误差和姿态误差均值检测结果如图所示。图位姿误差检测结果由图可以看出，在避障任务中，本文方法位置误差在 左右，姿态误差在 左右，文献方法位置误差在 左右，姿态误差在 左右，文献 方法位置误差在 左右，姿态误差在 左右。采用本文方法控制柔性关节机械臂完成避障中位置误差和姿态误差均明显低于文献 方法和文献 方法，这是因为本文方法规划路径中引入速度修正项，遇到障碍时实时调
13、整关节参数，使柔性关节机械臂在避障任务结束后达到指定构型，从而减小关节角度误差和位姿误差。结束语随着机械臂制造水平的不断提高，柔性关节机 （）械臂被广泛应用于各行各业中，其工作环境复杂性提高使其与障碍物发生碰撞概率也大大增加，碰撞会导致柔性关节机械臂无法完成工作任务，甚至系统损坏等严重后果，因此，对柔性关节机械臂避障路径有效规划控制十分重要。为了解决目前存在的位姿误差和关节波动大的问题，提出柔性关节机械臂避障路径自动控制数学建模，在柔性关节机械臂五次样条曲线中加入速度修正项，建立柔性关节机械臂避障路径自动控制数学模型，完成机械臂避障。该方法能够有效地减小位姿误差，平稳关节波动，为柔性关节机械臂
14、安全稳定工作奠定基础。参考文献：宋启良，梁秀兵，胡振峰，等 现代工业机器人的发展、应用及其绿色修复再制造研究现状 材 料 保 护，（）：武尧，刘振宇，谷亚宁基于机器视觉的多目标 图像阈值分割仿真计算机仿真，（）：，韩江，张凯，董方方基于 方法的柔性机械臂鲁棒伺服约束控制合肥工业大学学报（自然科学版），（）：朱战霞，靖飒，仲剑飞，等基于碰撞检测的空间冗余机械臂避障路径规划西北工业大学学报，（）：熊志金，王春燕采用 神经网络滑模控制的冗余机械臂避障研究中国工程机械学报，（）：郭新兰 算法下的机械臂轨迹规划与避障行为研究 机床与液压，（）：，王爱增，何川，赵罡 基于曲率单调变化的空间非均匀三次样条曲
15、线的构造方法计算机辅助设计与图形学学报，（）：刘鹏飞，韩健，杨洋基于运动学的斗轮堆取料机悬臂工作空间研究 热力发电，（）：吉阳珍，侯力，罗岚，等 基于组合优化算法的 机器人逆运 动 学求解 中国机械工程，（）：谷佳贺，薛华柱，董国涛，等归一化水体指数用于河南省干旱监测适用性分析 干旱地区农业研究，（）：陈浩，魏凌，李恩德，等基于样条函数的快速波前复原 光电工程，（）：李长春，李元金基于多阈值分割和样条插值的 图像金属伪影去除方法研究电子测量与仪器学报，（）：孙甲庆，徐兴荣，寇龙江，等井驱地震速度模型修正技术及其在随钻驱动处理中的应用 石油地球物理勘探，（）：，李琳，古智超，张铁面向机器人笛卡尔
16、空间的轨迹运动自适应抑振控制振动工程学报，（）：强红宾，薛大鹏，冯新宇，等基于无量纲化辨识雅可比矩阵选取测量位姿的 并联机构运动学标定光学精密工程，（）：（上接第 页）尹忠刚，靳海旭，张彦平，等基于扰动观测器的交流伺服系统低速爬行滤波反步控制方法电工技术学报，（增刊）：彭叶予光，武东杰机器人无标定视觉伺服系统设计与实现 电子技术应用，（）：滕游，刘安东，俞立 采用内点法和图像反馈的机器人视觉伺服预测控制 小型微型计算机系统，（）：姜伟，裘锦霄，郑颖，等基于惯量估计的工业机器人关节伺服系 统变 增益自 抗 扰 控 制 仪 器 仪 表 学 报，（）：蔡改贫，曾常熙，周小云，等基于改进 算法的电液位置伺服系统 跟踪控制 液压与气动，（）：韩江，汪鹏，董方方，等基于 方法的并联机器人鲁棒伺服约束控制 应用数学和力学，（）：付波，谢安桓，赵春宇，等电液伺服随机振动控制系统非线性建模与仿真 北京理工大学学报，（）：程洪涛，宋少云基于预测控制器的电液伺服系统节能方法研究机床与液压，（）：金坤善，宋建丽，梁涛，等阀控单出杆缸电液伺服系统二阶 线 性 自 抗 扰 控 制 液 压 与 气 动，（）：吉鑫浩
