1、高校应用数学学报2023,38(2):137-150阿基米德Copula下一般随机序的性质关清元1,2,34，王炳兴1*，钱昊1，赵添鑫1(1.浙江工商大学统计与数学学院，浙江杭州31 0 0 1 8;2.武夷学院数学与计算机学院，福建武夷山35430 0;3.福建省茶产业大数据应用与智能化重点实验室，福建武夷山35430 0;4.福建省认知计算与智能信息处理高校重点实验室，福建武夷山35430 0)摘要：文中研究了相依随机变量的一般随机序性质将独立随机变量一般随机序的两个特征推广到了阿基米德Copula下的相依随机变量此外还给出了阿基米德Copula相依随机变量的两个闭合性质.研究了两个相依
2、随机变量集的最小和最大次序统计量满足一般随机序的充分条件.用几个数值例子验证所得结果.探讨了这些结果在系统可靠性和精算学中的一些潜在应用.关键词：阿基米德Copula；一般随机序；优化序；异质组合中图分类号：0 2 1 1.6S1 引 言文献标识码：A各种随机序是比较不同方案优劣的一种重要工具，其在保险精算 1-3，风险管理 4-5 以及可靠性 6-7 等领域有广泛的应用许多研究人员研究了各种随机序成立的条件及其实际应用，这些研究主要集中在独立随机变量情形.例如文 5 研究了止损序及其在个体模型中的应用；文 8 考虑了基于独立随机变量的各种随机比较；基于独立非负随机变量，文 9 获得了多种序的
3、比较结果.对于独立负二项随机变量；文 1 0 研究了次序统计量的多种随机序的比较有关更多随机序比较及其应用，请参阅 1 1-1 3.在现实世界中，随机变量通常是相关的因此研究相依随机变量的各种随机比较是十分重要的因为Copula不仅包含边缘分布的信息，还包含随机变量之间的相依信息，所以常用Copula刻画随机变量之间的相依关系阿基米德Copula是一种非常重要的Copula，涵盖了很多相依结构，包括具有生成器exp(-t)的独立Copula.阿基米德Copula被广泛地用在许多领域，比如环境科学 1 4，保险精算 1 5，金融 1 6-1 7 ，可靠性 1 8 等有关Copula及其应用的全面
4、回顾，请收稿日期：2 0 2 1-1 2-0 5修回日期：2 0 2 3-0 3-2 2*通讯作者，Email:基金项目：国家自然科学基金(1 1 8 7 1 431)；浙江省重点建设高校优势特色学科(浙江工商大学统计学)(1 0 2 0 JYN4120004G-093)文章编号：1 0 0 0-442 4(2 0 2 3)0 2-0 1 37-1 4138高校应用数学学报第38 卷第2 期参阅 1 9-2 3 在阿基米德Copula下，文 2 4 研究了两个系统寿命的随机比较.文 2 5 讨论了阿基米德Copula下次序统计量的随机比较.基于阿基米德Copula，文 2 6 刻画了最大次序统
5、计量的序的比较特征.对比例失效率模型和比例逆失效率模型，文 2 7 得到了基于阿基米德生存Copula的次序统计量的随机比较结果.文 2 8 获得了基于阿基米德Copula的尺度模型次序统计量的随机比较结果.对于串并联和并串联系统，文 2 9 研究了基于阿基米德Copula的多种随机比较.作者发现,对于相依随机变量，很少有研究考虑一般随机序的特征和闭合性质上述文献中提到的基于阿基米德Copula的随机序的应用，包括文 7 中研究的最小次序统计量在可靠性和精算科学中的应用，促使作者考虑本文的问题.本文余下部分组织如下8 2 介绍了一些相关的定义和引理。8 3给出了一般随机序的特征和闭合性质，这些
6、结果将文 30 中的一些定理推广到阿基米德Copula相依情形，并提供了说明性的例子.8 4讨论了本文结果的一些潜在应用.方便起见,记Rn=(z1,zn)zi E（-0 0,0 0),i=1,n),以及D=(a1,an):ai.:an 0.82预备知识在这一节中，回顾了Copula，一般随机序和优化序的概念，并给出了一些有用的引理。2.1Copula定义2.1 31】如果对任意的t E(a,b)以及kE0,1,函数h(-)的任意阶导数都存在并且满足(-1)*h(k)(t)0,其中a,b E（-0 0,0),h(k)表示h()的k;阶导函数,则称h()在区间(a,b)上是完全单调的.定义2.2
7、2 1 假设：(0,1 0,)是一个完全单调函数，且(1=0，(0)=00.令Cs(u）=C（u 1,un）=-1(ui)+.+(un)，其中-1是p的反函数则称C为有严格生成器的阿基米德Copula.假设F是一个n维随机向量Xn的分布函数，Fi，Fn 是边缘分布函数。与分布函数F有关的Copula是F(a1,.,an)=C(Fi(ri),.,Fn(an).与生存函数F有关的Copula是F(a1,.,an)=C(F1(r1),.,Fn(an).简记Fxn(an)=(Fi(a1),.,Fn(an),Fxn(an)=(F1(a1),.,Fn(an).根据文 31 中Bernstein定理1 2
8、a知，如果-1是一个完全单调函数，则必然存在一个分布函数L-1使得e-a dLs-1(a).因此有8I (ua)-(a)=Jo=1其中G(ui)=e-$(ui).ne-ad(ua)dL s-1(a),0i=1(1)关清元等：阿基米德Copula下一般随机序的性质1392.2一般随机序定义2.3假设X和Y是两个随机变量，它们各自的分布函数分别为Fx，Fy 如果对任意的E（-0,o 0)，有Fx()Fy()，则称X在一般随机序意义下小于Y，记作Xst Y.众所周知，XstY等价于对任意增函数，有E(X)E(d(Y).本文假设所有涉及到的期望都存在.对各种随机序及其相互关系的讨论可参考文 30,32
9、 .2.3优化序定义2.4假定向量u=(u,un),um um)表示u1,un的递减序列,u,ERn.(i)如果i=1 =1,i=1,并且=1“)=1 ,则称向量u在优化序意义下大于向量u，记作uu;m(i）如果=a=,i=1,，n，则称向量u在弱上超优化序意义下大于向量，记作uu;(i）如果=1 uZ=1,=1,，n，则称向量u在弱下超优化序意义下大于向量,记作uwV.显然，u暗含着u与uw.优化序及其应用更详细的讨论可参见文 33.2.4若干引理为了得到本文的结果，需要下述引理。引理2.1 33 假设是定义在J上的实值连续可微函数，其中J是一个开区间，则函数是Schur凸(凹)的充要条件是
10、(i)函数在Jn上是对称的；(ii)对任意的uE Jn，有0d(u)(u)(ui-uj)(0(0),i j,uiui其中ad(u)/ou;表示关于u的第i个分量的偏导函数.引理2.2 33】假设是定义在集合ACR上的实值函数，则(i）u w 意味着(u)(u)的充要条件是是A上的增Schur凸函数;(ii）u 意味着(u)(u)的充要条件是是A上的减Schur凸函数.引理2.3假设U和V是两个随机变量，而：(0,1)R+是一个单调递减函数，且(1)=0,d(0)=8.(i)对任意的0,定义U()和V()的生存函数分别为exp(-(Fu)和exp-d(Fv),则UstV成立的充要条件是对任意的0
11、,U()st V()都成立;(ii）对任意的0,定义U()和V()的分布函数分别为exp-(Fu)和exp(-(Fv),则UstV成立的充要条件是对任意的0,U()stV()都成立.140高校应用数学学报第38 卷第2 期证（i）由于d()是的减函数，所以对任意的0,有Ust V Fu(t)Fv(t)exp(-(Fu(t)exp(-d(Fv(t)一 Fu(a)(t)Fv(a)(t)0,假设U()和V()的生存函数分别为exp-(Fu)和exp-(Fv)，且相互独立如果UstV，则根据引理2.3,有U(）s t V()从而由文 2 8 中定理1.A.9知，对任意的g E Gi,有g(U(),V(
12、)st g(V(),U().因此对任意的增函数,有E(g(U(),V()Ep(g(V(),U(a).另外由等式(1)可以得到对任意的0,(U,V)的联合生存函数可以表示为Fu,v(u,u)=-1(Fu(u)+(Fv(u)=/Ga(Fu(u)Ga(Fv(u)dLs-1(a).所以(U,V)的联合概率密度函数为fu.v(u,)=Ououf而hu(u;)=afu(u)Ga-1(Fu(u)G(Fu(u),hv(v;)=afv(u)Ga-1(Fv(u)G(Fv(u).注意到对任意的0,hu(u;)和hv(u;)分别是U()和V()的概率密度函数因此利用Fubini定理可得E(g(U,V)=同理可得E(g
13、(V,U)=从(2),(3)和(4)式可得这意味着对任意的g E G1,有g(U,V)st g(V,U).定理得证.显然定理3.1 把文 2 8 中定理1.A.9的结果推广到有阿基米德Copula相依的随机变量情形.另外类似可以证明，文 2 8 中定理1.A.10的结果也可被推广到有阿基米德Copula相依的随机变量情形.(2)08hu(u;a)hv(v;)dLs-1(),g(u,u)hu(u;)hv(v;)dLs-i()dudv0g(u,)hu(u;a)hv(v;a)dudvdLs-1(a)0JE(g(U(),V()dLs-1().JoXE(g(V(),U()dLs-1(a).E (g(U,
14、V)E (g(V,U).(3)(4)关清元等：阿基米德Copula下一般随机序的性质141定理3.2 假设C(Fu(u),Fv(u)是(U,V)的联合生存函数，其中C是有严格生成器的阿基米德Copula.则Ust V对任意的(g1,92)E G2,有 Egi(U,V)Eg2(U,V),其中G2=(g1,92)：A g(u,)对在u上每个u关于u减少，而且对在 u上每个u关于u增加,当uv时,g(u,u)-g(u,u),g(u,u)=g 2(u,u)-g i(u,).注3.1 定理3.1 和定理3.2 提供了在阿基米德Copula下一般随机序的两个等价定义.正如文 34 指出，这种随机比较对于解
15、决参数的成对交换是必不可少的，参数的成对交换可以用于随机调度问题.另外，文 2 8 中定理1.A.3(b)和定理1.A.4也能被推广到相依随机变量的情况.结果见下面两个定理.定理3.3假设C(Fu，(u n)和C(Fv,(un)分别是随机向量(U1,Un)和(Vi,Vn)的联合生存函数，其中C是有严格生成器的阿基米德Copula如果UstVh，k=1,2,：，n，则对任意增函数g,有g(Ui,Un)0,U=(U1，,Un)的联合生存函数可以表示为Z(Fu,(uk)Fu(u,.,un)=$-1(k=1因此，（U1，,Un)的联合概率密度函数为nfu(ui,*.,un)=(-1)nFu(u,.,u
16、n)=Jui.un其中hus(uk;)=fu(u)G-1(Fus(uk)G(Fus(uk),1 kn.对任意的0,假设随机变量Ui(),Un(a)相互独立，且exp-p(Fu)是U;(a)的生存函数显然，对任意的0,U;()的概率密度函数为hu,（u;).所以对任意的增函数，有E(sg(U)=II hu.(ui a)d Ls-(a)du1.dunu1un0J18E(g(Ui(),.,Un()dLs-1(),0第二个等式中运用了Fubini定理.此外，假设随机变量Vi()，,Vn()相互独立，且Vi()的生存函数为exp-p(Fv).则类似有E(g(Vi,.,Vn)=因为UstVs，所以根据引理2.3,对任意的0,有Us()stVi()。从而根据文 2 8 中定理1.A.3(b),有g(Ui(),Un(a)st g(Vi(),Vn().这意味着对任意的增函数，有E (g(Ui(),.,Un()E (g(Vi(),.,Vn(a).(7)结合(5),(6)以及(7)式,有E(g(Ui,.,Un)E(g(Vi,.,Vn).所以有g(U1,.,Un)st g(Vi,.,Vn).II Ga(Fu(
