1、第 45 卷第 4 期2023 年 7 月 湖北大学学报(自然科学版)Journal of Hubei University(Natural Science)Vol.45No.4July 2023收稿日期:20220304基金项目:江苏省自然科学基金(BK20180500)和湖北省教育厅重点项目(D20192501)资助 作者简介:李慧云(1998),女,硕士生,E-mail:lihuiyun0515 文章编号:10002375(2023)04047809CW-E-对称可微区间值函数及其在广义凸区间值优化问题中的应用李慧云1,叶国菊1,刘尉1,赵大方2(1.河海大学理学院,江苏 南京 2100
2、98;2.湖北师范大学数学与统计学院,湖北 黄石 435000)摘要:借助向量值映射 E:Rn Rn,这里 Rn是 n 维实数空间,首先提出一类新的 CW-E-对称可微区间值函数,将不可微区间值函数转换成可微函数,进而研究该类函数性质;其次在区间 CW-序关系,引入 CW-E-预不变凸区间值函数和 CW-E-对称不变凸区间值函数的定义,并在 CW-E-对称可微下,研究 CW-E-预不变凸区间值函数和 CW-E-对称不变凸区间值函数的关系.最后,作为应用,研究广义不变凸区间值优化问题的 E-最优性条件,并举例验证了结果的有效性.关键词:CW-E-对称可微区间值函数;广义不变凸性;区间值优化问题;
3、E-最优性条件中图分类号:O172.1,O224文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2022.00.074著录信息:李慧云,叶国菊,刘尉,等.CW-E-对称可微区间值函数及其在广义凸区间值优化问题中的应用J.湖北大学学报(自然科学版),2023,45(4):478-486.DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2022.00.074.LI H Y,YE G J,LIU W,et al.CW-E-symmetric differentiable interval-valued functions and its applications i
4、n generalized convex interval-valued optimization problemsJ.Journal of Hubei University(Natural Science),2023,45(4):478-486.DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2022.00.074.CW-E-symmetric differentiable interval-valued functions and its applications in generalized convex interval-valued optimization problem
5、sLI Huiyun1,YE Guoju1,LIU Wei1,ZHAO Dafang2(1.College of Science,Hohai University,Nanjing 210098,China;2.School of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi 435000,China)Abstract:In this paper,we firstly introduced a new class of CW-E-symmetric differentiable interval-valued functi
6、ons under an operator E:Rn Rn,and this derivative transformed a non-differentiable interval-valued function to a differentiable one.Then we presented the definitions of CW-E-preinvex and CW-E-symmetric invex interval-valued functions with the help of CW-order between intervals.The relationships betw
7、een CW-E-preinvex and CW-E-symmetric invex interval-valued functions were given while the interval-valued functions were CW-E-symmetric differentiable.At last,the optimality conditions in generalized invex interval-valued optimization problems were studied and an example was illustrated to show the
8、rationality of our results.Key words:CW-E-symmetric differentiable interval-valued functions;generalized invexity;interval-valued optimization problems;E-optimality conditions 0引言由于实际问题环境多变以及人主观意识上的经验性和不精确性,带有不确定性的优化问题,如模第 4 期李慧云,等:CW-E-对称可微区间值函数及其在广义凸区间值优化问题中的应用479 糊优化问题,区间值优化问题等引起了许多学者的研究,如文献1-5.其
9、中区间值优化问题是用区间数来表示不确定性,这一形式的优化问题比起模糊优化问题限制较少,因此具有广泛的应用性,如赵大方6利用区间数研究了水质问题并进行了决策,张建科7研究了区间数形式的优化问题以及鲁棒优化模型等.在研究区间优化问题时,区间值函数的导数及凸性是必不可少的.近年来也提出了许多关于区间值的导数的概念,其中 Wu5首次将区间值函数的弱导数概念应用于区间优化问题并得到最优性条件,之后 Antczak 等8将文献9中的实值函数 E-可微概念结合弱可微概念推广至区间值函数情况,并得到 E-KKT 优化条件.而就凸性而言,由于凸性条件较为严格,在经济和控制领域等实际问题中很难满足,因此出现了众多
10、相关文献来研究那些和凸函数具有相似性质的更广义凸函数.比如在 Wu5,10提出了区间值函数的 LU-凸概念后,黎君等 11、Zhang 等12将区间值函数的 LU-凸进一步推广至 LU-预不变凸以及 CW-不变凸,使得该类广义凸区间值函数能够应用于更多实际问题.另外 Zhang 等13和Antczak8、Abdulaleem14将文献15中在放宽凸集和凸函数概念后所提出的 E-凸函数类推广至区间值函数,也在很多实际优化问题中得到了很好的应用.受到文献8和16的启发,笔者提出 CW-E-对称可微区间值函数概念并研究其相关性质.基于该导数及其性质,我们引入 CW-序关系下的 CW-E-预不变凸区间
11、值函数及 CW-E-对称不变凸区间值函数概念并探寻二者之间的关系;最后借助 CW-E-对称导数及广义不变凸区间值函数,我们得到了广义不变凸区间值优化问题的 E-最优性条件.本研究内容按如下展开:第一节回顾了基本概念并提出 CW-E-预不变凸区间值函数概念,第二节引入 CW-E-对称可微区间值函数并介绍其相关性质,进而研究 CW-E-预不变凸区间值函数和 CW-E-对称不变凸区间值函数的关系.第三节形成了非光滑广义凸区间值优化问题,在映射 E:Rn Rn下,得到了另一可微区间值优化问题.通过研究二者等价性,证明了非光滑区间值优化问题的 E-最优性条件,并举例说明了我们结果的有效性.最后,第四节得
12、到了本文中的结论.1预备知识设 R 为实数集,对任意的 aL,aU R,当 aL aU时,称该闭区间 aL,aU=x|x R,aL x aU为一个区间数.本文中我们用 I 来表示所有闭区间数所组成的集族.显然,当 aL=aU时,该区间数退化为实数.对于任意的区间数 A I 都可用序对 aL,aU来表示,其中 aL,aU分别称为区间数 A 的左边界及右边界.此外,区间数还可用其中点和半径表示,即A=aL,aU=(1)这里中点 ac=aU+aL2与半径 aw=aU-aL2通常在各文献的决策问题中分别代表期待值与不确定性.区间运算的基本规则具体如下:任取 I 中的元素 A,B,其中 A=aL,aU,
13、B=bL,bU,对任意 k R 有:A+B=aL,aU+bL,bU=aL+bL,aU+bU;kA=kaL,aU=kaL,kaU 对于 k 0,kaU,kaL 对于 k 0.关于区间数的更多内容,可参看文献1,17.在区间优化问题中,需要对所得的区间最优值进行比较,这涉及到对区间数进行排序的区间序关系.设 A=aL,aU,B=bL,bU 是两个闭区间,则 ACWB 当且仅当 ac bc和 aw bw同时成立;A CWB当且仅当 ACWB 且 A B.类似可定义 LU-序关系,UC-序关系.Wu5中给出区间值函数定义,称 f:x Rn I 为一个区间值函数,若 f(x)=fL(x),fU(x),其
14、中480 湖北大学学报(自然科学版)第 45 卷对任意的 x Rn成立 fL(x)fU(x).与区间数类似,f 可写为 f(x)=.为了用 CW-序关系定义新的 CW-E-预不变凸区间值函数和 CW-E-对称不变凸区间值函数,并研究其相关性质,先回顾已有的 E-不变凸集以及广义不变凸函数的概念.定义 115设 M Rn,若存在向量函数:Rn Rn Rn和 E:Rn Rn,对 x,y M,0,1 成立 E(y)+(E(x),E(y)M,则称集合 M 为关于 的 E-不变凸集.定义 214设 E:Rn Rn,M Rn为关于向量函数:Rn Rn Rn的 E-不变凸集,且 f 是 M 上的 E-可微实
15、值函数.若对 x,y M 成立 f(E(x)-f(E(y)(E(x),E(y)Tf(E(y),则称 f 在 M 上为关于 的 E-不变凸函数.定义 318设 E:Rn Rn,M Rn为关于向量函数:Rn Rn Rn的 E-不变凸集,f 是 M 上的实值函数.若对 x,y M,0,1 成立 f(E(y)+(E(x),E(y)f(E(x)+(1-)f(E(y),则称 f 在 M 上为关于 的 E-预不变凸函数.在文献13中基于区间 LU-序关系,将实值函数的不变凸及预不变凸概念推广至区间值函数.本文中给出在 CW-序关系下的 CW-E-预不变凸区间值函数概念.定义 4设 E:Rn Rn,M Rn为
16、关于向量函数:Rn Rn Rn的 E-不变凸集,f 是 M 上的区间值函数.称 f 在 M 上为关于 的 CW-E-预不变凸函数,若对 x,y M,0,1 成立 f(E(y)+(E(x),E(y)CWf(E(x)+(1-)f(E(y).定理 1设 E:Rn Rn,M Rn为关于向量函数:Rn Rn Rn的 E-不变凸集,f(x)=是 M 上的区间值函数.则 f 在 M 上为关于 的 CW-E-预不变凸区间值函数当且仅当 fc和 fw在 M 上都是关于同一个 的 E-预不变凸实值函数.定理 1 的证明由 CW-序关系和定义 4,易证充分性成立;由 CW-序关系和定义 3 可得必要性成立.2CW-E-对称可微区间值函数及其相关性质本节给出了一类 E-对称可微实值函数和 CW-E-对称可微区间值函数的概念并研究其相关性质.在这之前,先回顾已有的可微函数的概念.定义 520设 f:X Rn R 为实值函数.称 f 在 x0 X 处对称可微,若存在 fs(x0)使得 h 0 时,有(x0,h)R 0,且f(x0+h)-f(x0-h)=2fs(x0)h+(x0,h)h.定义 624 设 x0 X
