1、32 福建中学数学 2023年第6期 2022 年新高考年新高考卷圆锥曲线问题的探究卷圆锥曲线问题的探究 徐茂林 房元霞 山东省聊城大学数学科学学院（252000）本文以 2022 年新高考卷第 21 题第一问为例，并将该类问题推广到双曲线的一般情形进行探究，归纳并证明出一般的公式；接着又受 2009 年辽宁卷第 20 题的启发，类比推广到椭圆与抛物线的情形；最后，利用圆锥曲线的统一方程，给出一般的公式 1 原题呈现原题呈现 例例 1（2022 年新高考卷21）已知(2 1)A，在双曲线2222:1(1)1=xyCaaa上，直线l交C于P Q，两点，直线AP AQ，的斜率之和为 0（）求l的斜
2、率；（）若tan2 2=PAQ，求PAQ的面积 例例 2（2009 年高考辽宁卷 20）已知椭圆C过点3(1)2A，两个焦点为(1 0)，(1 0)，（）求椭圆C的方程；（）E F，是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 2 推广到一般双曲线推广到一般双曲线 2022 年新高考卷第 21 题中双曲线实半轴的长与虚半轴的长有关联，如果没有关系，这个题目的第一问会有一般结论吗？我们带着这个问题，先利用 GeoGebra 软件进行了探索，发现了双曲线情形的一般结论（或公式）定理定理 1 如图 1，设双曲线2222:1(0 xyCaba
3、b=，0)，点00()A xy，是双曲线上任意一点，直线l交C于P Q，两点，若直线AP AQ，的斜率之和为0（或之比为1），则直线l的斜率2020=b xta y若双曲线为2222:1(00)=yxCabab，则2020=a xtb y 本文仅以焦点在x轴上的圆锥曲线为例进行证明，其他情形可类似地讨论（略）图 1 直线和双曲线相交图 证明证明 由题意，直线AP AQ，的斜率都存在，设直线:=+l ytxm，直线100:()=+AP yk xxy，直线200:()=+AQ ykxxy，见图 1 联立直线AP与双曲线C的方程，得方程组 1002222()(1)=1.(2)yk xxyxyab=+
4、，把（1）代入（2）得222222110()(2ba kxa k x+222222222101001002)20a k yxa k xa ya k x ya b+=分解因式得 22222220110010()()(2)0 xxba kxa k xb xa k y+=因为点P与点A不重合，且直线AP的斜率存在，所以0 xx，于是 2222222110010()(2)0ba kxa k xb xa k y+=，解得 2222101022212()a k ya kbxxba k+=此即为P点横坐标，再将其代入直线AP的方程，得到 2222222210101010222222112()()2()+a
5、k ya kbxa kbyb k xPba kba k，因为P点在直线l上，有 222222221010101022222211()22()a kbyb k xa k ya kbxtmba kba k+=+化简得222222001001()(22)a ya x ta m kb xa y t k+22200()0b yb x tb m+=同理，联立直线AQ与双曲线C得2200(a ya x t+2222222200200)(22)()0a m kb xa y t kb yb x tb m+=所以直线AP与AQ的斜率12k k，是以下方程的两个根，该方程为222222000()(22a ya x
6、ta m kb xa+222000)()0y t kb yb x tb m+=根据韦达定理有 O x l Q A y P 2023年第6期 福建中学数学 33 2200122220022b xa y tkka ya x ta m+=+又120kk+=，所以2200220b xa y t+=因此得到直线l的斜率2020b xta y=注注 1 对于 2022 年新高考卷第 21 题，易得双曲线方程为2212xy=，代入2200abxy，得到斜率1t=3 推广到椭圆与抛物线情形推广到椭圆与抛物线情形 上一节已知这个问题对于双曲线有一般结论受 2009 年辽宁卷第 20 题的启发，我们继续探索椭圆和
7、抛物线的情形，也发现了一般公式（证明略）定理定理 2 如图 2，设椭圆2222:1(0)+=xyCabab，点00()A xy，是椭圆上任意一点，直线l交C于P Q，两点，若直线AP AQ，的斜率之和为0（或之比为1），则l的斜率2020=b xta y若椭圆为2222:1yxCab+=(0)ab，则2020=a xtb y 定理定理 3 如图 3，设抛物线2:2=C ypx，点00()A xy，是抛物线上任意一点，直线l交C于P Q，两点，若直线AP AQ，的斜率之和为 0（或之比为1），则l的斜率0=pty 若抛物线为2:2=C xpy，则0=xtp 图 1 直线和椭圆的相交图 图 3 既
8、然三种圆锥曲线中都有一般的公式，圆锥曲线有运用离心率的统一定义、方程，如果从统一的角度进一步考虑这个问题，我们相信：应该会有统一的结论 4 推广到圆锥曲线的一般公式推广到圆锥曲线的一般公式 根据圆锥曲线的统一方程2222(1)2exype x+220p e=（当01e时，表示双曲线；当1e=时，表示抛物线），我们得到如下一般结论：定理定理 4 设圆锥曲线2222:(1)2Cexype x+220p e=，点00()A xy，是圆锥曲线上任意一点，直线l交C于P Q，两点，若直线AP AQ，的斜率之和为0（或之比为1），则l的斜率2200(1)expety=当圆锥曲线C的焦点在y轴时，0220(
9、1)xteype=证明证明 因为点A在圆锥曲线C上，所以 222222000(1)20exype xp e+=联立直线AP与圆锥曲线C的方程：100222222()(3)(1)20.(4)yk xxyexype xp e=+=，将（3）代入（4）得222211010(1)(22+ekxk yk x 2222221001002)20+=pexk xyk x yp e 化简该方程得22201010()(1)(xxekxxk x+2201022)0e xk ype+=因为点P与点A不重合，且直线AP的斜率存在，所以0 xx，则 222221010010(1)(22)0ekxxk xe xk ype+
10、=，2221010221(1)221kexk ypexek+=+，此即为P点横坐标，代入直线AP的方程，得到 2221010221(1)221Pkexk ypexek+=+，2222101012212(1)(1)21Pek xkeype kyek+=+因为P点在直线l上，有 2222101012212(1)(1)21+ek xkeype kek 2221010221(1)221+=+kexk ypetmek 化简得22200100()(222yx tm ke xxpe+22220100002)(2)0y t kye ytxe txptemme+=同理，联立直线AQ与曲线C，进行类似计算可得 2
11、220020002()(2222)+yx tm ke xxpey t k 22220000(2)0+=ye ytxe txptemme 所以直线AP与AQ的斜率12k k，是以下方程的两个根该方程为 22200000()(2222)+yx tm ke xxpey t k Q O l x P A y A y P O l x Q 34 福建中学数学 2023年第6期 22220000(2)0+=ye ytxe txptemme 由韦达定理，得 2200012002222e xxpey tkkyx tm+=+又120kk+=，得到2200022220e xxpey t+=，于是直线l的斜率2200(
12、1)expety=可以计算：（1）当01e，圆锥曲线是双曲线时，直线l的斜率2200200(1)exb xtya y=（3）当1e=，圆锥曲线是抛物线时，直线l的斜率22000(1)expeptyy=可以证明，定理 4 的结论对于圆也成立，此时0e=，直线l的斜率00 xty=中点为中点为“引引”，等线段为，等线段为“道道”2022 年南通中考填空压轴题的解法探究与教学反思 张浩杰 章礼满 江苏省南通市海门区东洲国际学校（226100）近期研究 2022 年南通中考试题第 18 题，发现该题几何构图巧妙，内涵丰富 根据题中已知条件，不同学力的学生，立足于自己的认知结构，可以形成多样的解法探究的
13、过程，产生颇多感悟，与大家分享交流 1 试题呈现试题呈现（2022 年南通中考卷18）如图 1，点O是正方形ABCD的中心，3 2=ABt BEFR中，90=BEF，EF过点D，BE BF，分别交AD CD，于点G M，连接OE OM EM，若=BGDF，tanABG 13=，则OEM的周长为_ 图 1 2 思路分析思路分析 从解决的问题看，求OEM的周长，基本思路1，整体角度，图中是否存在与之相似的三角形，利用相似三角形的性质解决；基本思路2，转化角度，让OEM的三边与已知线段之间分别建立联系，转化为定量计算问题 从已知的条件看，正方形与直角三角形为背景，获知两个基本几何图形的性质，结合“点
14、O是正方形ABCD的中心”，辅助线BD的添加水到渠成，进而发现12=OEBD，点A B C D E，共圆等有效信息，由于正方形的边长已知，则可求OE的长对于线段OM EM，是否也能寻找出与之相关联的线段？思路的顺延，EM是否为t BEFR斜边上的中线？OM是否为BDF的中位线？由此问题解决的聚焦为点M是否为线段BF的中点 结合已知条件=BGDF，对于数量“有关系”、空间“有距离”的两条相等线段，如何建立有效联系？如何为证明点M是线段BF中点铺路架桥？这是本题的难点所在，也是最能体现几何思维“质量”的关键所在根据以上分析，我们一起围绕条件=BGDF，深入探寻解法 3 解法探究解法探究.3 1 全等构全等构造，转移等线段造，转移等线段 方法方法 1 如图 2，连接BD，过点F作FNDC，垂足为N因为点O是正方形ABCD的中心，所以点O是BD中点又因为/ADNF，所以EDG=DFN由=ABGEDG，得=ABGDFN，可证ABGNFD，所以=ABNFGB，AG=DN因为NFBC/，可证NFMCBM，所以MFE DC B A OG
