1、MathemitcCientia数学物理学报2023,43A(4):1255-1268http:/Cahn-Hilliard方程的自适应间断有限体积元法曾纪尧李剑*（陕西科技大学数学与数据科学学院摘要：Cahn-Hilliard方程是一类重要的四阶非线性扩散方程，具有丰富的物理背景和深刻的研究价值，但方程的非线性势项f(u）的存在以及小参数导致的强刚性会给数值模拟带来诸多挑战，因此设计高效、准确的数值方案满足方程离散能量定律是非常重要的间断有限体积元方法（DFVEM）采用低阶元，具有精度高、操作简单、适合工程应用的网格自适应等优点.该文对Cahn-Hilliard方程利用DFVEM结合全隐格式
2、进行求解，证明了全离散格式质量守恒和能量耗散的重要理论结果数值实验提出一种自适应时间步进策略，验证了方法的有效性.关键词：Cahn-Hilliard方程；间断有限体积元法；离散能量耗散.MR(2010)主题分类：6 5M60;65M12中图分类号：0 2 4 1.8 2文章编号：10 0 3-3 998(2 0 2 3)0 4-12 55-14西安7 10 0 2 1)文献标识码：A1引言Cahn-Hilliard方程由Cahn和Hilliard2在1958 年研究热力学两相物质之间的相互扩散现象时提出本文考虑如下的Cahn-Hilliard方程(1.1)u=w,(,t)E 2 (0,T),t
3、一w=f(u)-e?u,u(c,O)=uo(),E2,Onu la2=0,Onwlan=0.其中CR是具有Lipschitz边界的有界凸域，n表示a2外法向量T是正实数，参数0 代表界面宽度，而 u(a,t)是相位函数f(u)=F(u),F(u)=(u-1)是双阱势函收稿日期：2 0 2 2-0 4-0 6；修订日期：2 0 2 2-0 9-13E-mail:基金项目：国家自然科学基金（117 7 12 59)、陕西省人工智能联合实验室（2 0 2 2 JC-SYS-05)、陕西省教育厅创新团队项目（2 1JP013）部分资助和陕西省自然科学基础研究计划重点项目（2 0 2 3-JC-ZD-0
4、2）Supported in Part by NSF of China(11771259),the Shaanxi Provincial Joint Laboratory of ArtificialIntelligence(2022JC-SYS-05),the Innovative Team Project of Shaanxi Provincial Department ofEducation(21JP013)and the Shaanxi Province Natural Science Basic Research Program Key Project(2023-JC-ZD-02)*通
5、讯作者1256数在本文中，f(u满足以下条件 10 ：存在一个常数Co使得作为描述相场模型的最基本方程之一，Cahn-Hilliard方程具有重要的研究意义和应用价值，如材料科学 11，图像分析 6 和相变 4 等领域.国内外学者对Cahn-Hilliard 方程提出许多有效的数值解法，如Zhang等 14 构造无条件能量稳定的有限差分格式，提出了一种自适应时间步进策略，这种策略避免了在数值模拟中使用大时间步长时可能导致的精度损失叶 13 利用Legendre拟谱法对Cahn-Hilliard方程进行数值求解，证明了离散解的存在唯一性，并给出了最佳误差估计Feng等 5 提出全离散有限元格式，
6、并建立先验误差估计，文中给出的全离散格式是最优阶的.文献 13 介绍了一种求解Cahn-Hilliard方程的间断有限元方法，这种方法在不诉诸任何迭代的情况下进行有效地求解，并在效率、准确性和保持所需解的属性方面具有良好性能文献 8 利用间断有限体积元方法求解耦合Navier-Stokes-Cahn-Hilliard模型，并对其质量守恒和能量耗散特性进行了分析，该数值方法高效且易于处理具有不同类型边界条件的复杂几何形状在对Cahn-Hilliard方程进行数值模拟时，间断有限体积元方法相较于其他方法，具有空间结构简单，在时间相关问题中使用块对角质量矩阵等优点，同时使用到的低阶元，更适用于做网格
7、灵活的自适应算法，时间步长根据能量的演变而变化，这样更好的解决了分割元素的自由度过大导致的计算量问题为了方法具有更好的稳定性，时间离散选择全隐格式.本文结构如下：第2 节介绍Cahn-Hilliard方程间断有限体积元空间离散格式；第3 节结合全隐格式进行时间离散得到全离散格式，并严格证明了质量守恒性质和离散能量耗散定律；第5节通过数值算例验证所给格式的可行性和有效性最后，第6 节给出了结论数学物理学报max I.f(u)l Co.uERVol.43A(1.2)KERh21间断有限体积元法在区域上引进原始剖分和对偶剖分.令原始剖分沉h是一个三角剖分，且h=mxhk，其中hK是单元K的直径每个元
8、素K在况h通过将三角形的重心连接到每个顶点被分成三个子三角形这样的三角形T,构成了原始剖分况h的对偶剖分Th（见图1).MTMTJ图1左：原始剖分（实线部分）和对偶剖分（虚线部分)；右：元素K及其对偶元素T定义与相场变量u相关的有限维试探函数空间Vh和有限维检验函数空间VVh=uE L?(2):ulk EPi(K),VK eRh),Vh=u E L?(2):u|T E Po(T),VT E Th).MJNo.4定义与化学势变量w相关的有限维试探函数空间Ph和有限维检验函数空间PPh=(w E L(2):w|k E Pi(K),VK E Rn),Pt=(w E L?(2):w|T E Po(T)
9、,VT e Th),式中，Pi(T)由T上所有次数小于或等于l的多项式组成.设e为况h中两个元素K1和K2的公共内边，设n1和n2分别为指向Ki和K2的单位外法向量在e上定义标量的均值（和跳跃(a)=(alaKi+q laka),al=q laki n+qlaK n2如果e是2 的边界，则定义令 V(h)=Vh+H2(2),P(h)=Ph+H2(2),定义一个映射:V(h)V,P(h)Pt=其中he是边e的长度.引理2.1对于 uh EVh,K E沉h，映射具有以下属性(uh-uh)da=0,JKIluh-ullk Chkluhl1,T,IunlleIuhlle,对于WhEPh，这些结论也是成
10、立的.算子相对于L内积是自伴的，即(uh,bh)=(bh,uh),Vuh,h E Vh.定义分析中使用的V(h)和P(h)的离散规范曾纪尧等：Cahn-Hilliard方程的自适应间断有限体积元法ur ds,wT=w|T ds,T Th,(uh-u)ds=0,erun=Juhds,I/yunllo=llullo.1257q=q,=q n.(2.1)(2.2)KERhKERh定义 I/unllo=（u h,n)，则 IIlo和 IIl是等价的，即存在与网格尺寸无关的正常数 C1和 C2,使得将（1.1）式第一个式子两端同时乘上bhEV，第二个式子两端同时乘上XhEP#，并通过格林公式我们的到(2
11、.3)othTEThJaTereErCil/unllo I/u llo Ca l/nllo,Von E Vh.-Vw nybhds=0,1258数学物理学报Vol.43A2TEThJaT设I表示三角形K边界的并集同时令Io:=I02.然后，我们得到VunUhds=TTETh在方程中J4=J1.然后通过简单的计算给出qu:nds=KEhJK通过使用（2.6)式并结合 Vul。=0,Vw 。=0,Ve EFo，可以得出Vu.nxids=2Vu nxrds+ZTETh8TVwnbhds=TEThaTVu nxds+(f(u),xn)=TEThT3VunuhdsJaTiKERhi=13KERhi=1J
12、Ji+1QJa(u ds+ZeeEr3KE悦hi=1JJi+1QJ;3Vw nrhrds+ZKeRhi=iJJi+1QJ;eEFewXhda.Vu nUhds+Vu nhds,(2.5)KERhJaK(q u ds.eEToxr(Vu)ds,(2.7)eErJebn(Vw ds.(2.8)(2.4)(2.6)那么（1.1)式的弱格式为对V(abh，Xh）E(Vh Ph),我们有uot3KERni=iJJi+1QJiVwnhds-Zbh(Vwds=0,eErJe(2.9)32KERh=iJJi+1QJ;结合（2.3)-(2.10)式，Cahn-Hilliard方程间断有限体积元方法的空间离散格式
13、为：对V（b h，Xh）E(Vh Ph),使得(2.11)te?A(ur,Xh)+(f(u),Xh)=(w,Xh),其中3A(un,un)=-ZZKERh=iJJi+1QJi+(Vun runlda+Z%/heeETJeVu nxds-e?/Xh(Vu)ds+(f(u),Xh)=(w,Xh).(2.10)eErJe(ouhYh)+A(wWh,bh)=0,Vun nunds-Z/(Vun rundseEr(2.12)eEJeun unds,Je(2.13)对于A(，）项，参数=-1,0,1将导致对称、不完全和非对称内部惩罚方法，分别用SIPG、IPG和NIPG表示需要强调的是，接下来给出的Cah
14、n-Hilliard方程的全离散格式，我们考虑Q=-1的情况.No.4假设u是(1.1)式的解，则由 yu。=0,可知u满足+A(w,h)=0,e?A(u,Xh)+(f(u),Xh)-(w,Xh)=0.3全离散格式接下来，我们再结合后向欧拉格式进行时间离散，得到全离散格式令u=uh(ti)ti=jt，A t=，则Cahn-Hiliard方程的全离散间断有限体积元格式为.3-1t1(ut,xa)+(s(at)xa)=(uh,x),Vxh E Pa.初始条件为 u%=ulo,，并且=（u）-1.我们定义向后差分算子为了证明全离散格式的能量稳定性，首先给出下面的等价关系，更多细节可以在文献 1,7,
15、12 中得到.定理3.1 Vu,bEV(h),Vw,XE P(h),我们有3KE说hi=1iJJi+1QJ;3Vu-mxds=(Vu,x)+KeRhi=iJJi+1QJ;-(V.Vu,X-x)k:KERh如果 Vuh,h EV(h),Vwh,Xh E P(h),我们得到3KERhi=1JJi+1QJi+13KeRni=iJJi+1QJi+1接下来将证明时间离散质量守恒.定理3.2 令(cdk.)）)1恒定律曾纪尧等：Cahn-Hilliard方程的自适应间断有限体积元法Vw nrids=(Vw,Va)+KERhJaK-(V.Vw,b-t)k,KERKeJaKVwhnbhds=(VWh,Vah)
16、,Vuh nXhds=(Vuh,Vxh).是离散系统（3.1）式的解，那么这个系统有下面的质量守uoda,j 1.(3.7)d.21259(2.14)+Ah)=0,Vbh EVh,23-1dtuht(3.1)(3.2)Vw n(b-)ds(3.3)Vu n(x-x)ds(3.4)(3.5)(3.6)1260证令(3.1)式中的h=1,然后使用引理2.1和定理3.1,我们得到这样就完成了定理的证明证毕。下面，将验证Cahn-Hilliard系统的能量耗散性质首先定义相应的离散能量泛函E(t3;uh)定理3.3是离散系统(3.1）式的解，那么这个系统符合以下基本能量定律(ti-1;u)证令(3.1)式中的h=t w%，(3.1)式可以改写成(t y w h+At对于双线性形式A（，）可以得到A(uh,Atruh)At llll同理令(3.1)式中的xh=u-ul-1,则(3.1)式可以改写成2A(a,(u-u-)+(f(t),(u-u-)=(a-).为了更好的分析，这里定义辅助双线性形式A（，)A(u,x)=(Vu,Vx)-Vu xds-ZeeeEreEr数学物理学报dci-1da,1,t
