1、 第6 1卷 第4期吉 林 大 学 学 报(理 学 版)V o l.6 1 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3d o i:1 0.1 3 4 1 3/j.c n k i.j d x b l x b.2 0 2 2 4 0 9保积B i H o m-P o i s s o nC o l o r代数的广义导子陈明露,曹 燕(哈尔滨理工大学 理学院,哈尔滨1 5 0 0 8 0)摘要:给出保积B i H o m-P o i s
2、 s o nc o l o r代数A的导子代数D e r(A)、广义导子代数G D e r(A)、拟导子代数Q D e r(A)、型心C(A),拟型心Q C(A)及中心导子代数Z D e r(A)的一些基本性质,并证明G D e r(A)=Q D e r(A)+Q C(A).关键词:保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数;广义导子;拟导子;型心中图分类号:O 1 5 2.5 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 7 2 4-0 9G e n e r a l i z e dD e r i v a t i o n s
3、o fM u l t i p l i c a t i v eB i H o m-P o i s s o nC o l o rA l g e b r a sCHE N M i n g l u,C AOY a n(S c h o o l o fS c i e n c e,H a r b i nU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,H a r b i n1 5 0 0 8 0,C h i n a)A b s t r a c t:W eg a v es o m eb a s i cp r o p e r t i e so
4、 ft h ed e r i v a t i o na l g e b r aD e r(A),g e n e r a l i z e dd e r i v a t i o na l g e b r aG D e r(A),q u a s i d e r i v a t i o na l g e b r a Q D e r(A),c e n t r o i dC(A),q u a s i c e n t r o i d Q C(A)a n dc e n t r a l d e r i v a t i o na l g e b r aZ D e r(A)o fam u l t i p l i c
5、 a t i v eB i H o m-P o i s s o nc o l o ra l g e b r a sA,a n dp r o v e dt h a tG D e r(A)=Q D e r(A)+Q C(A).K e y w o r d s:m u l t i p l i c a t i v e B i H o m-P o i s s o n c o l o ra l g e b r a;g e n e r a l i z e d d e r i v a t i o n;q u a s i d e r i v a t i o n;c e n t r o i d收稿日期:2 0 2
6、2-1 0-0 3.第一作者简介:陈明露(1 9 9 9),女,汉族,硕士研究生,从事李代数的研究,E-m a i l:c h e n m i n g l u 2 0 2 11 6 3.c o m.通信作者简介:曹 燕(1 9 8 1),女,汉族,博士,副教授,从事李代数的研究,E-m a i l:4 8 0 6 9 6 0 7q q.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:1 1 8 0 1 1 2 1)、黑龙江省自然科学基金(批准号:Q C 2 0 1 8 0 0 6)和黑龙江省普通高校基本科研业务费项目(批准号:L GY C 2 0 1 8 J C 0 0 2).P o i s
7、s o n代数是同时具有李代数结构和结合代数结构且满足L e i b n i z等式的代数.文献1-2 研究了P o i s s o n代数的上同调群、变形、张量积和G-分次等问题,并给出了P o i s s o nc o l o r代数的定义及其相关性质,进一步研究了P o i s s o n超代数的一些性质;H a r t w i g等3定义了H o m-李代数,与李代数的不同之处是其J a c o b i恒等式被线性映射扭曲;M a k h l o u f等4定义了H o m-P o i s s o n代数,其为在H o m-李代数的基础上呈现张量理论的代数结构;A t t a n5研究
8、了H o m-P o i s s o nc o l o r代数的构造方法;G r a z i a n i等6利用范畴论的方法刻画了被两个同态映射扭曲的B i H o m-李代数.此外,文献7-9 研究了B i H o m-型代数结构.导子代数是李代数和广义李代数的重要课题.L e g e r等1 0确定了拟导子和广义导子代数的结构,并证明了李代数的拟导子代数可以嵌入较大李代数的导子代数中;K o m a t s u等1 1研究了结合代数的导子代数及其相关性质;周佳等1 2给出了H o m-李代数的导子代数的一些基本性质;Z h o u等1 3研究了H o m-李c o l o r代数的导子及其
9、性质;H a s s i n e1 4将H o m-李代数的导子推广到了B i H o m-李代数中.基于此,本文给出保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数的导子、广义导子和拟导子的定义及一些性质.1 预备知识定义11 设G是交换群,FF是任意域.若对任意的,G,存在线性映射:GGFF 0,满足:1)(,)(,)=1;2)(,+)=(,)(,);3)(+,)=(,)(,).则称映射为G的斜对称双特征标(或交换因子).易知(,0)=(0,)=1,(,)=1.如果存在V的一簇子空间VG,满足V=GV,则线性空间V称为G-阶化的.如果xV(G),则x称为次齐次元素.
10、如果x,y,z是G-阶化向量空间中的齐次元,则用x,y,zG表示它们的次数.为方便,通常用(x,y)表示(x,y),用(x,y+z)表示(x,y+z),以此类推.此外,(x,y)即表明其中的x,y是齐次元.本文用h g(V)表示V中所有齐次元.设V,W是两个G-阶化的线性空间,如果对任意的xV,都有f(x)W+,则称线性映射f:VW是次的.若f是零次的,即f(V)W,则称f是偶的.若对任意的,G,A是G-阶化线性空间,即A=GA,且满足AAA+,则A称为G-阶化的代数.若(A)B,则称同态:AB是偶的.定义21 P o i s s o nc o l o r代数是一个四元组(A,),其中A=gG
11、Ag是域FF上的一个G-阶化向量空间,:AAA(对任意的g,hG,有(Ag,Ah)Ag+h)和,:AAA(对任意的g,hG,有Ag,AhAg+h)是A上的两个偶的双线性映射,:GGFF 0 是G上的一个斜对称双特征标,满足:1)(A,)是一个结合c o l o r代数,即满足(x,(y,z)=(x,y),z);2)(A,)是一个李c o l o r代数,即满足x,y=-(x,y)y,x,(z,x)x,y,z+(y,z)z,x,y+(x,y)y,z,x=0;3)(L e i b n i zc o l o r等式)(x,y),z=(x,y,z)+(x,y)(y,x,z).其中x,y,zh g(A)
12、.定义36 B i H o m-结合c o l o r代数是一个五元组(A,),其中A=gGAg是域FF上的一个G-阶化向量空间,:AAA(对任意的g,hG,有(Ag,Ah)Ag+h)是A上的一个偶的双线性映射,:AA是A上的两个偶自同态映射,:GGFF 0 是G上的一个斜对称双特征标,满足=,(x),(y,z)=(x,y),(z),其中x,y,zh g(A).若x y=(x,y)y x,则B i H o m-结合c o l o r代数称为可交换的B i H o m-结合c o l o r代数.定义48 B i H o m-李c o l o r代数是一个五元组(A,),其中A=gGAg是域FF
13、上的一个G-阶化向量空间,:AAA(对任意的g,hG,有Ag,AhAg+h)是A上的一个偶的双线性映射,:AA是A上的两个偶自同态映射,:GGFF 0 是G上的一个斜对称双特征标,满足:1)=;2)(-反对称性)(x),(y)=-(x,y)(y),(x);3)(B i H o m-J a c o b i等式)(z,x)2(x),(y),(z)+(x,y)2(y),(z),(x)+(y,z)2(z),(x),(y)=0.527 第4期 陈明露,等:保积B i H o m-P o i s s o nC o l o r代数的广义导子 其中x,y,zh g(A).定义59 B i H o m-P o
14、i s s o nc o l o r代数是一个六元组(A,),其中A=gGAg是域FF上的一个G-阶化向量空间,:AAA(对任意的g,hG,有(Ag,Ah)Ag+h)和,:AAA(对任意的g,hG,有Ag,AhAg+h)是A上的两个偶的双线性映射,:AA是A上的两个偶自同态映射,:GGFF 0 是G上的一个斜对称双特征标,满足:1)(A,)是一个B i H o m-结合c o l o r代数;2)(A,)是一个B i H o m-李c o l o r代数;3)(B i H o m-L e i b n i zc o l o r等式)(x,y),(z)=(x),y,(z)+(y,z)(x,(z),
15、(y).其中x,y,zh g(A).特别地,若还满足x,y=(x),(y),x,y=(x),(y),(x,y)=(x),(y),(x,y)=(x),(y),则A称为保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数.当G=0 时,B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数成为B i H o m-P o i s s o n代数;当=I dA,=I dA及(x,y)恒为1时,B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数成为P o i s s o n代数;当G=2且(x,y)=(-1)xy时,B i H o m-P o i s
16、s o nc o l o r代数成为B i H o m-P o i s s o n超代数.命题1 设六元组(A,)是保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数,其中A=gGAg是域FF上的一个G-阶化向量空间,是A上的偶同态,E n d(A)表示A的所有线性变换构成的线性空间,令=DE n d(A)D=D,D=D,则对任意的D,Dh g(),五元组(,)关于李c o l o r括积运算D,D=DD-(,)DD(1)构成一个B i H o m-李c o l o r代数,其中同态,:是偶的,且满足(D)=D,(D)=D.证明:由B i H o m-李c o l o r代数的定义,对任意的D,D,Dh g(),首先有(D)=(D)=D=D=(D)=(D);其次可得(D),(D)=D,D=DD-(,)DD=DD-(,)DD=DD-(,)DD=-(,)D,D=-(,)(D),(D).再利用李c o l o r括积运算证明B i H o m-J a c o b i等式,对任意的D,D,Dh g(),有(,)2(D),(D),(D)=(,)(D),(D),(D)=(,)
