1、第 卷 第 期 年 月南京理工大学学报 .收稿日期:修回日期:通讯作者:朱元国男博士教授博士生导师主要研究方向:不确定系统最优控制、智能算法:.引文格式:朱元国何流刘涵杰等.不确定分数阶微分方程理论与应用研究进展.南京理工大学学报():.投稿网址:/.不确定分数阶微分方程理论与应用研究进展朱元国何 流刘涵杰陆自强(.南京理工大学 数学与统计学院江苏 南京.南京审计大学 数学学院江苏 南京)摘 要:具有记忆性及历史相关特性的不确定分数阶微分方程自 年被提出以来被广泛应用于不确定动力系统演化过程的建模因此对该类方程的研究已然成为一个重要课题 该文介绍了不确定分数阶微分方程的定义与性质总结了近年来关
2、于不确定分数阶微分方程理论与应用方面的研究进展并对不确定分数阶微分方程未来的研究方向进行了展望关键词:不确定理论不确定动力系统不确定分数阶微分方程中图分类号:文章编号:():./.(.):.:南京理工大学学报第 卷第 期 人类生活在一个丰富多彩且充满不确定性的现实世界中为了更准确地了解事物发展的规律进而对事物未来作出预测数学家们常常倾向于将某一种事物随时间的变化过程看作一个不确定动力系统进而构造出一个符合这个不确定动力系统变化规律的数学模型 微分方程在刻画物理演化规律、系统动态性能分析以及预测未来发展趋势等方面发挥着举足轻重的作用受到古今中外学者的广泛关注 凭借着微分方程的良好性质基于包含不确
3、定扰动的微分方程数学模型成为了一种描述不确定动力系统的常用工具 通过分析这类数学模型人们便可以模拟不确定动力系统的演化规律近几十年来随机微分方程已被广泛应用于受随机噪声影响的动力系统的时间演化建模 然而由于随机微分方程是基于概率论提出的概率论是利用事件发生的频率描述其发生概率 只有在独立事件的试验次数无穷大时频率才能等于概率 当试验次数少或样本量有限时使用传统概率论则可能并不准确 传统概率论只能利用客观数据认知某个事件但是人的经验和知识也包含着对事件的认知 清华大学 于 年提出的满足规范性、对偶性、次可加性和乘积测度公理的数学理论 不确定理论恰好解决了人的主观认知难以度量这一难题 基于不确定理
4、论的不确定微分方程随之被提出依靠不确定微分方程构造的数学模型也成为了描述不确定动力系统的重要工具 在此基础上不确定微分方程在理论和应用上都有了较快的发展 为了完善不确定微分方程在实际应用中的研究不确定微分方程的参数估计在近几年成为了一个热门问题关于它的研究成果层出不穷 尽管不确定微分方程存在很多优势但需要注意的是当受不确定扰动的动力系统较为复杂时利用不确定微分方程模拟此动力系统并不总是恰当的 在使用不确定微分方程描述动力系统的变化时往往需要构造较为复杂的微分方程而这些微分方程中的一些经验参数可能与实际情况并不一致 例如未来资产的价格不仅与当前的价格有关还与相当长的一段时间内的价格有关这被称为遗
5、传性或记忆性 此时用没有遗传性的不确定微分方程来描述这种经济事件会忽略很多事物原有的性质从而造成误差考虑到分数阶微分方程在描述历史特征方面具有的良好性能于 年将不确定扰动引入到了分数阶动力系统中提出了不确定分数阶微分方程的概念 不确定分数阶微分方程可以通过简单的数学模型来模拟复杂的动力系统很好地弥补了不确定微分方程在拟合复杂不确定动力系统时的不足成为了复杂系统建模的重要工具 现实生活中的很多不确定的事物都有着较为显著的遗传性 不确定分数阶微分方程能够很好地描述不确定环境下动力系统的记忆特性满足描述具有遗传特性的动力系统的特殊要求 例如股票的价格、电子元件的寿命、病毒传播的速度等 对这些具有遗传
6、性的不确定动力系统而言基于不确定分数阶微分方程构造的模型相较于不确定微分方程构造的模型会更加精确 凭借着这些良好的性质不确定分数阶微分方程一经提出便迅速成为了不确定理论领域的一个重要研究课题本文将对近些年来关于不确定分数阶微分方程的研究内容进行综述从不确定分数阶微分方程的解及性质、不确定分数阶微分方程解的不确定分布、不确定分数阶微分方程的参数估计、不确定分数阶微分方程相关分支的研究、不确定分数阶微分方程的应用以及不确定分数阶差分方程等 个方面介绍不确定分数阶微分方程理论与应用的研究进展 第一部分研究了一类不确定分数阶微分方程的有关性质对不确定分数阶微分方程的解关于初始条件及参数的连续依赖性等问
7、题进行了总结并介绍了一些其他类型的不确定分数阶微分方程的定义及性质 第二部分主要研究了 型不确定分数阶微分方程初值问题解的不确定分布并对不确定分数阶微分方程解的其他数学特征(极值、首达时间、时间积分)进行了探索 第三部分考虑了不确定分数阶微分方程的参数估计问题搭建起不确定分数阶微分方程的理论与实际应用的桥梁 第四部分在不确定分数阶微分方程中加入延迟因素的干扰介绍了一种不确定分数阶时滞微分方程并给出了关于不确定分数阶微分方程其他分支的简要介绍 第五部分使用 型不确定分数阶微分方程模拟带有记忆特征的动力系统的变化给出了不确定分数阶微分方程在各个领域中的广泛应用 第六部分在不确定分数阶微分方程的基础
8、上考虑了一类不确定分数阶差分方程并研究了不确定分数阶差分方程的相关性质和应用总第 期朱元国 何 流 刘涵杰 陆自强 不确定分数阶微分方程理论与应用研究进展 目前关于不确定分数阶动力系统的基础理论还需要进一步的探索如系统的渐进稳定性、吸引性、可控性等问题还尚未得到具体的研究 此外为了更好地将不确定分数阶微分方程应用于实际问题的研究不确定分数阶微分方程的参数估计和最优控制问题也将是未来重点研究的对象 不确定分数阶微分方程的解及性质考虑到分数阶微分方程在对动力系统的记忆与历史依赖特性的全局建模中的显著优势年首 次 引 入 了 分 数 阶 ()的()型不确定分数阶微分方程和 型不确定分数阶微分方程并将
9、其应用于不确定动力系统的记忆性及全局相关性的建模中定义 假设)是两个函数且()是一个 过程那么()()()被称为一个 型不确定分数阶微分方程其中代表 阶 分数阶导数算子 有如下初值条件的方程()的解是一个不确定过程 使得()()()()()()几乎必然成立定义 假设)是两个函数且()是一个 过程那么()()()被称为一个 型不确定分数阶微分方程其中代表 阶 分数阶导数算子 方程()的解是一个不确定过程 使得()()()()()()几乎必然成立在此定义的基础上还给出了一个作为 型不确定分数阶微分方程的应用利率模型 所提出的不确定分数阶微分方程成功将分数阶算子的记忆性及非局部性和不确定过程用于噪声
10、描述的优势结合对于深入研究带有不确定性的动力系统演化规律具有重要的理论意义和应用价值 随后又进一步运用 等不动点定理证明了一类不确定分数阶微分方程解的存在唯一性定理以及解存在的充分条件定理 (存在唯一性)对于不确定分数阶微分方程()(或()若系数()和()满足 条件()()()()和线性增长条件()()()式中:是一个常数 则其在)上有一个唯一解 且 是样本连续的定理(存在性)设()和()定义在如下集合上:则当 型不确定分数阶微分方程()有确定的初始条件 时其在 上有解 文献和为之后关于不确定分数阶微分方程的研究打下了坚实的理论基础 自不确定分数阶微分方程的概念被提出以来关于不确定分数阶微分方
11、程的解及性质方面的研究也层出不穷 为了满足对各类不确定动力系统的研究需求 年 等将文献中不确定分数阶微分方程的分数阶导数的阶数局限于(的情况进行了扩展将不确定分数阶微分方程的定义推广到了()使得不确定分数阶微分方程的定义更具一般化定义 设 是满足 的一个正数其中 是一个正整数 假设 )是两个函数是一个 过程则 型不确定分数阶微分方程初值问题()()的解是一个不确定过程 且满足 ()()()南京理工大学学报第 卷第 期 ()()()()几乎必然成立定义 设 是满足 若不确定分数阶微分方程()有任意解 和(初值分别为和)满足 则我们称不确定分数阶微分方程()为依测度稳定基于以下假设:假设 系数()
12、和()关于 满足局部 条件即存在正函数 和 使得()()()()对于任意 和)成立 等分别给出了分数阶导数满足 和 时的不确定分数阶微分方程的稳定性定理定理 当 时若假设 成立且 和 满足 则不确定分数阶微分方程()是依测度稳定的定理 当 时若假设 成立且 和 满足 总第 期朱元国 何 流 刘涵杰 陆自强 不确定分数阶微分方程理论与应用研究进展 对任意给定 均成立定理 在假设 下 对任意给定的 均成立其中 除了关于文献中提出的两类不确定分数阶微分方程解的性质的研究以外对于其他形式的不确定分数阶微分方程的研究也有不错的进展 等提出了 型不确定分数阶微分方程的定义并证明了其解的存在唯一性定理 等和
13、 等分别给出了一类广义不确定分数阶微分方程的定义和 型不确定分数阶微分方程的定义并证明了相应方程解的存在唯一性定理 等提出了具有一般记忆效应的不确定分数阶微分方程给出了一般不确定分数阶微分方程解的存在性和唯一性定理以及线性方程的解析解在此基础上 等进一步引入了一般不确定分数阶微分方程的 轨道的概念并讨论了一般不确定分数阶微分方程的解和相应的 轨道之间的关系 不确定分数阶微分方程解的不确定分布 为了获得分数阶微分方程的解析解学者们采用了 变化等方法给出了部分线性方程的解然而对于大多数非线性方程依然无法求得具体的解析解 同样地对于由不确定过程驱动的不确定分数阶微分方程因其同时考虑了不确定过程和分数
14、阶算子使得相关问题的求解变得更为困难 对于一些具有解析解的特殊的不确定分数阶微分方程其解是一个不确定过程 但对于无法得到解析解的不确定分数阶微分方程若能得到其解的不确定分布那么相关动力系统问题的研究将被极大地简化 为了更深层次地探究不确定分数阶动力系统对于不确定分数阶微分方程解的不确定分布的研究成为了本领域工作的一个重点为了获得 型不确定分数阶微分方程解的不确定分布 和 于 年提出了 型不确定分数阶微分方程 轨道的定义:定义 假设()称 型不确定分数阶微分方程初值问题()()()()具有 轨道 如果 满足具有相同初值条件的分数阶微分方程()()()式中:()是一个逆标准正态不确定分布即()在此
15、基础上进一步证明了不确定分数阶微分方程()的解的逆不确定分布(记为()与这一不确定分数阶微分方程的 轨道(记为)之间的关系即()对于无法获得解析解的 型不确定分数阶微分方程我们不得不把目光转移到关于此方程的数值解法上 基于不确定分数阶微分方程的解的逆不确定分布和 轨道的关系可以将带有初值条件的 型不确定分数阶微分方程转化为一系列具有相同初始条件的相应确定型分数阶微分方程的解 因此确定型的 型分数阶微分方程的数值算法就可以用于估计不确定情形下的分数阶微分方程初值问题的解在每个时间点上的逆不确定分布函数 基于分数阶微分方程的 型预测校正法 和 提出了一个求解 型不确定分数阶微分方程的逆不确定分布的
16、数值算法如算法 所示算法 的逆不确定分布 步骤 给定时间 且令步长为 步骤 更新 步骤 利用 型预测校正法在每一个()求解有相同初值条件的分数阶微分方程()()()()()(此处将区间分为 部分且此预测矫正法的步长为/)步骤 被称为时滞 为一个给定的连续函数式()的一个解为不确定过程 使得()()()()()()()几乎必然成立 和 还给出了线性不确定分数阶时滞微分方程解的显式表达式和迭代公式 考虑到不确定过程可能受到紧急情况影响而出现突然变化如经济危机、传染病爆发、地震、战争等等将通常用于描述不确定现象随跳跃演变的 跳跃过程和不确定分数阶微分方程结合起来提出了由不确定 跳跃过程和不确定 过程驱动的带跳跃的不确定分数阶微分方程的定义定义 设 为一个 过程且 为 跳跃过程 设 )为 个函数则南京理工大学学报第 卷第 期()()()()被称为 型带跳跃的不确定分数阶微分方程 式()的一个解为不确定过程 使得()()()()()()()()()几乎必然成立 等针对定义.中带跳跃的不确定分数阶微分方程在一维情况下给出了两类在形式上对称的带跳跃的不确定分数阶微分方程 在多维情况下给出了 型不确定
