1、第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.012高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023n项和数列极限的若干求法及实例分析绪玉珍（江苏师范大学科文学院，江苏徐州2 2 10 0 0）摘要文章从数列求和、夹逼准则、定积分的定义及幂级数的和函数等几个方面研究了n项和数列极限的求法，并分别对每种方法给出了对应的实例分析。关键词n项和数列极限；夹逼准则；定积分；幂级数中图分类号0171文献标识码A文章编号1008-1399(2023)03-0031-03Some Met
2、hods and Case Analysis for Limits of Sum SequencesXU Yuzhen(Jiangsu Normal University Kewen College,Xuzhou 221000,China)Abstract Illustrated by the corresponding examples,this paper explores some methods for the limits ofsum sequences,such as sum of a series,squeeze theorem,definite integral,and sum
3、 of power series.Keywords limit of sum sequence,squeeze theorem,definite integral,power series极限理论是高等数学的核心基础与工具，数列极限是其中的一个重要组成部分，因此理解和掌握数列极限的求法，对学习极限知识尤为重要.n项和的数列求极限，不同于有限项和的数列极限，当n8o时该极限不可以使用有限项和的四则运算法则，对此类极限的求法通常是先进行化简，然后再选择如下五种常见的方法求解。1禾利用特殊数列计算当n项和的表达式容易求出时，可以先求出其和，再求极限.例1求极限1lim2解因为收稿日期：2 0 2 2
4、-0 1-15基金项目：2 0 2 1年江苏省高校大学生劳动教育”“基础课课程群”专项课题（2 0 2 1JDKT056).作者简介：绪玉珍（198 7 一），女，山东，硕士，主要从事高等数学的教学与研究，Email：x y z 198 7 112 16 3.c o m.1n(n+1)121n+1所以lim2利用夹逼准则计算夹逼准则12 如果数列（n），（y n），（之n）满1n(n+1)修改日期：2 0 2 3-0 2-2 1123lim1n+1足以下条件：从某项起，即日noEN+，当nno时，有yzn;limyn=a,limzn=a,那么数列（,的极限存在，且lima，=a.例2 求极限n
5、n+11n(n+1)32limn2+1解因为V12V23n?+1n2+2/1.2+2.3+.+Vn(n+1)n2+12+3+:+(n+1)=n(n+3)n?+12(n+1)并且V12n2+1n2+2V1.2+V2.3+.+Vn(n+1)n?+n1+2+n2一n(n+1)n?+n2(n?+n)而n(n+3)limlim2(n+1)所以由夹逼准则，得V12V23limn+1n+2注1当n项和的数列通项是分式相加时，一般先放大或者缩小分母来进行求和，且放缩之后的项极限相等，则使用夹逼准则进行处理；例2 这题，放大或缩小分母以后，依然难以求和，所以可以再次缩小或放大分子。注2若放缩之后的项极限不相等，
6、例如12limLn?+12n?+22高等数学研究Vn(n+1)61.223n?+22372(n2+n)Vn(n+1)n?+nnn?+n?2023年5月nalimn?+nni-1如果每一份上取左端点，则有Vn(n+1)lim6-ann?+nn特别地，如果已知函数f（）在区间0,1上可积,则lim2()=.f(a)dz.上式常用于利用定积分的定义来计算n项和的数列极限，并且它也是全国硕士研究生招生考试的Vn(n+1)重要考点.n?+n例3(2 0 17 年全国硕士研究生招生考试试题）求lim解由于k.lnlim+lim71nn(n+1)12，f(a十i=0n由定积分的定义可知lim2ln(1nn1
7、然后计算定积分2ln(l+a)dx02ln(1+)。212所以f()d.c.n二anRnn00nk=1n(1+ln(1+)dx,1ln(1+)d(2-1)2(?-1)21+-1)dx4limnf()d.d.n+对该数列进行放缩之后会出现n(n+1)2n?+n?放缩之后的项极限不相等，则不可使用夹逼准则，实际上此题可以使用下面的方法。3利用定积分的定义计算若已知函数f(）在a,b上可积,将a,b平均分割成n份，如果每一份上取右端点，则有注3通过观察，例3中可以将冬看成一个整12n?+12n?+22n(n+1)2n?+12nn体，整个和式除了的函数，只多乘一个二,这种形n?+n2n式的极限就可以直
8、接采用公式limf()d来进行计算，而例2 不具备这种形式.注4在处理一些n项积的数列求极限时，可以通过对数列取对数，转化为n项和数列极限来进行计算.例如lim II(1+）,，则可以通过对数列一k=1取对数，转化为例3来计算.n之（六）=n第2 6 卷第3期4夹逼准则与定积分的综合应用有些n项和数列极限形式较为复杂，单纯的使用夹逼准则或者定积分的定义不易求解，但将两类方法相结合，能够得到有效的解决.例4求极限limi=1解军因为1nni=1n+1由定积分的定义可知lim-1n1+ln(1+)d(+1)=(+1)ln(1+)=21n2-1.limim+2In(=limZ1n(1+)7n所以由夹
9、逼准则，得1n(1+limnn80i=15利用幂级数的和函数计算一般情况下，求n项和数列极限用以上四种方法都不易解出时，还可以考虑将n项和数列的极限看作是某个幂级数的和函数在某点处的函数值例5求极限lim12解方法一因为32222令s()n=1n(2）-2(）-2s()=绪玉珍：n项和数列极限的若干求法及实例分析s()一 s(0):由于s(0)=0,所以s()=-ln(1-)，E-1,1).故lim1nn1n-11n(1+ni=1n+iIn(1+)dxnlimnn+21n2-1.21n2 1.n+1i222323n,E-1,1),则33从而dx=-ln(1-).1-2L221n2.2方法二因为
10、ln(1十）的幂级数展开式为1n(1+ni-1n1d.0+nnnn2i=1n13ln(1+)=23其中-1 1,所以-ln(1-)=+2故lim1no21n(求极限的方法有许多种，对于n项和数列极限同样可用不同的方法求得.本文主要归纳了五种求n项和数列极限的方法，并结合实例进行了分析.在处理此类问题时，做到灵活使用，对比较复杂的形式，也可以有更广阔的思路.在数学的教学中，可以引导学生一起探究数学的各种解题方法与技巧，不仅使学生获得解决问题的能力，还能提高学生的自信心和创新能力，培养学生学习数学的兴趣，也能使学生对数学学科之美有更多的理解.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.4版.北京：高等教育出版社，2 0 11.2同济大学应用数学系.高等数学M.7版.北京：高等教育出版社，2 0 14.3何美，刘小川.例说n项和数列极限的几种求法J.高等数学研究，2 0 16，19（3）：37-39.4周淑娟，郭晓沛，李澎涛.浅谈N项和数列极限的几种求法J.高等数学研究，2 0 19,2 2（5）：7-8.5蔡俊青.三类数列极限的解法J高等数学研究，2021,24(6):26-29.n(-1)-1 n3n22231n2.n
