1、第 42 卷 第 4 期2023 年 8 月内蒙古工业大学学报（自然科学版）Journal of Inner Mongolia University of Technology（Natural Science Edition）Vol.42 No.4Aug.2023（2+1）维广义Hietarinta-type方程的呼吸解和高阶lump-type解韩莉慧1，苏道毕力格1，李美玉1,2（1.内蒙古工业大学 理学院，呼和浩特 010051；2.呼伦贝尔学院 数学与统计学院，内蒙古 呼伦贝尔 021009）摘要：为了构造（2+1）维广义Hietarinta-type方程丰富的精确解，基于Hirota双
2、线性方法研究该方程。Hirota双线性方法是一种求非线性发展方程孤子解的简单而直接的代数方法。近年来该方法已经在构造非线性发展方程精确解的研究领域上得到了广泛的应用。基于该方法，构造非线性发展方程的非线性波对数学、物理、力学等学科中的高维非线性问题的研究有非常重要的理论和应用价值。利用Hirota双线性方法给出了（2+1）维广义Hietarinta-type方程的双线性形式，并运用符号计算软件Maple获得了该方程的呼吸解和高阶lump-type解。再通过选择适当的参数，绘制了这些解的三维图、等高线图和密度图，并分析和描述了解的动力学性质。这些结果丰富了目前关于（2+1）维广义Hietarin
3、ta-type方程文献中的结果。关键词：（2+1）维广义Hietarinta-type方程；双线性形式；呼吸解；高阶lump-type解中图分类号：O 175.2 文献标志码：ABreather wave solutions and high-order lump-type solutions of the(2+1)dimensional generalized Hietarinta-type equationHAN Lihui1,SU Daobilige1,LI Meiyu1,2(1.School of Science,Inner Mongolia University of Technol
4、ogy,Hohhot 010051,China;2.School of Mathematics and Statistics,Institute of Hulunbuir,Hulunbuir 021009,China)Abstract：In order to construct rich exact solutions for the(2+1)dimensional generalized Hietarinta-type equation,we investigated this equation using the Hirota bilinear method,which is a simp
5、le and direct algebraic method for obtaining soliton solutions of nonlinear evolution equations and has been widely applied in the study of constructing exact solutions.Using this method to construct nonlinear wave equations has significant theoretical and practical value for the study of high-dimen
6、sional nonlinear problems in mathematics,physics and mechanics.The bilinear form of the(2+1)dimensional generalized Hietarinta-type equation was derived by using the Hirota bilinear method,and the breather wave solutions and high-order lump-type solutions were obtained by using the symbolic computin
7、g software Maple.By selecting appropriate parameters,the three-dimensional plots,contour plots,and density plots of these solutions were drawn,and their dynamics properties were analyzed and described.Keywords：(2+1)dimensional generalized Hietarinta-type equation;bilinear form;breather wave solution
8、;high-order lump-type solution非线性发展方程(NLEE)模型来自于现实生活。在流体力学、等离子体、通讯、光学、量子力学、生物、机器人等自然科学领域，NLEE得到了深入研究和广泛应用,但是仍有很多的NLEE至今没有办法被求解。虽然在此期间很多数值解的研究方法相继涌现出来，但在许多科学领域，数值解不足以形文章编号：1001-5167（2023）04-0289-05收稿日期：2021-05-04基金项目：国家自然科学基金项目（12061054）；内蒙古自治区大学青年科技人才计划项目（NJYT-20-A06）；内蒙古自治区自然科学基金项目（2018LH01013）第一作者
9、：韩莉慧（1995），女，2018级硕士研究生，主要从事偏微分方程精确解的研究。E-mail:通信作者：苏道毕力格（1975），男，博士，教授，主要从事微分方程对称与孤子理论的研究。E-mail:内蒙古工业大学学报（自然科学版）2023 年象地刻画出整个方程的演化形式（例如量子力学中电子出现的概率密度可以由波函数的振幅平方表示，此时波函数精确解析解的求出至关重要），并且有一些NLEE并没有求解其数值解所需的初值，这使得数值解的求解工作无从下手，精确解析解的研究变得迫切且重要。利用有效的方法求解NLEE的精确解，如：行波解1、孤子解2、非行波解3、怪波解4、Multiple解5、Lump解及其相
10、互作用解6-7、有理函数解8、周期波解9-10、呼吸解11以及一些其他解12-13，在非线性科学领域中具有重要的意义。比如，量子力学理论依赖于薛定谔方程，流体力学理论依赖于各种形式的Navier-Stokes方程，以及电磁场理论依赖于麦克思韦方程等14。通过构造NLEE的精确解析解，上述的模型可以被很准确地刻画出来，这对于一些应用该模型的领域将产生重大影响。本文给出了(2+1)维广义Hietarinta-type方程的呼吸解和高阶lump-type解。1(2+1)维广义Hietarinta-type方程的双线性形式考虑(2+1)维广义Hietarinta-type方程：P(u)=1(6uxux
11、x+uxxxx)+2(3ututt+3uxtvtt+uxttt)+1uyt+2uxx+3uxt+4uxy+5uyy=0(1)式中：vx=u,1,2,i，1i5都是任意的常数，系数2对应于Hietarinta型的非线性项15。通过对数变换u=2(logf)x,v=2logf(2)方程(1)转变成如下双线性形式：B(f)=(1D4x+2DxD3t+1DyDt+2D2x+3DxDt+4DxDy+5D2y)ff=1(2fxxxxf-8fxxxfx+6fxxfxx)+2(2ftttxf-6fttxft+6fttftx-2ftttfx)+1(2fytf-2fyft)+2(2fxxf-2fxfx)+3(2f
12、xtf-2fxft)+4(2fxyf-2fxfy)+5(2fyyf-2fyfy)=0(3)其中：Dx,Dy,Dt是三个Hirota双线性导数。双线性方程(3)包含了两种四阶导数项和五种二阶导数项。广义Hietarinta-type方程(1)和双线性方程(3)具有如下关系：P(u)=(B(f)f2)x(4)因此获得了双线性方程(3)的解f，即可得到方程(1)的解u。2(2+1)维广义Hietarinta-type方程的呼吸解为了获得(2+1)维广义Hietarinta-type方程的呼吸解，假设双线性方程(3)具有如下形式的解 f=e-p1g+k1ep1g+k2cos(p2h)+a9g=a1x+
13、a2y+a3t+a4h=a5x+a6y+a7t+a8(5)式中：ai(i=1,2,9)，pi(i=1,2)和ki(i=1,2)是任意实数。把解表达式(5)代入双线性方程(3)，经过整理，运用符号计算软件Maple求解，获得以下五组解。第一组解：a1=a9=01=-a72()a23p21+a27p22a35p225=-a31a22=-4a2a23a72p21-a33a62p21+3a3a6a272p22a5a2-a2a73-a3a63a5a24=-a33a52p21-3a3a5a272p22+a2a71a5a2-a3a53-a3a61a5a2(6)式中a2a50。第二组解：a1=a2=a9=01
14、=-a72(a23p21+a27p22)a35p222=-3a23a5a72p21+32p22a37a5+4a5a6+5a26a251=-a5(a232p21-3a272p22+3)a6(7)式中a5a6p20。第三组解：a5=a6=a9=01=-a1(3a232p21-a272p22+3)a22=32p21a33a1+3a1a3a272p22-4a1a2-5a22a211=-a32(a23p21+a27p22)a31p21(8)290第 4 期韩莉慧等(2+1)维广义 Hietarinta-type 方程的呼吸解和高阶lump-type解式中a1a2p10。第四组解：a5=a9=05=-a7
15、1a61=-32(a23p21+a27p22)a31p212=3a2a23a72p21-a2a372p22a1a6+4a3a6a272p22+a2a73-a3a63a1a64=-3a1a23a72p21-a1a372p22a1a6-a1a73-a2a71+a3a61a1a6(9)式中a1a6p10。第五组解：a2=a1a6a5 a7=a3a5a1 1=-a332a312=-a1a5a64+a1a265+a3a253+a3a5a61a1a25(10)式中a1a50。以第一组解为例，将(6)代入表达式(5)，得到双线性方程(3)的如下解：f=e-p1(a2y+a3t+a4)+k1ep1(a2y+a
16、3t+a4)+k2cos(p2(a5x+a6y+a7t+a8)(11)将式(11)代入变换u=2(logf)x，可得到(2+1)维广义Hietarinta-type方程的呼吸解：u=2k2p2a5sin(p2(a5x+a6y+a7t+a8)M(12)式中M=e-p1(a2y+a3t+a4)+k1ep1(a2y+a3t+a4)+k2cos(p2(a5x+a6y+a7t+a8)(13)取特殊参数值t=0,a2=a3=a4=a5=a6=a7=a8=12=1,1=3=1,k1=k2=1,p1=p2=1将上面的特殊参数值代入呼吸解(11)，并通过使用符号计算软件Maple，图1成功地描绘了呼吸波的三维动态图、等高线图以及相应的密度图。可以看到呼吸波具有良好的周期性。3(2+1)维广义 Hietarinta-type 方程的高阶lump-type解根据文献12中介绍的有理解，研究(2+1)维广义Hietarinta-type方程的高阶lump-type解。为了获得其高阶lump-type解，将双线性方程(3)的解f(x,y,t)的表达式取下面的形式：f=g4+h4+k2+a13g=a1x+a2y+
