1、文章编号：1000-5641(2023)04-0035-08A,W加权核-EP 分解下的矩阵加权 Drazin 逆的刻画与表示胡春梅（丽江师范高等专科学校 数学与信息技术学院,云南 丽江674199）A,WAd,WA,WAd,WAd,WAd,W摘要:主要讨论 加权核-EP 分解下的矩阵加权 Drazin 逆 .将矩阵对 进行核-EP 分解,得到 的刻画,进而推导出 的表示.最后讨论了 的极限表示和积分表示,并给出一个算例.关键词:加权 Drazin 逆;加权核-EP 分解;极限表示;积分表示中图分类号:O151.21文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.1000-5641.202
2、3.04.004Characterization and representation of weighted Drazin inverse of matricesbased on weighted core-EP decomposition of the pair A,WHU Chunmei（School of Mathematics and Information Technology,Lijiang Teachers College,Lijiang,Yunnan674199,China）Ad,WA,WA,WAbstract:This paper presents an investiga
3、tion of the weighted Drazin inverse of matrices based onthe weighted core-EP decomposition of the pair .Some characterizations and representations of theweighted Drazin inverse are presented using the weighted core-EP decomposition of the pair .Further,the limit representations and the integral repr
4、esentations of the weighted Drazin inverse arediscussed.Furthermore,an example is presented.Keywords:weighted Drazin inverse;weighted core-EP decomposition;limit representation;integralrepresentation 0 引言W目前,Drazin 逆理论已应用于马尔可夫链1、线性微分和差分方程组等方面.文献 2 提出了长方矩阵加 -权 Drazin 的概念,并对其性质进行了讨论.对 Drazin 逆的表示问题也引起
5、了广大学者广泛的兴趣,这方面的研究主要有:Drazin 逆的表征及刻画,Drazin 逆的迭代表示3,Drazin 逆的极限表示,Drazin 逆的积分表式等4.WA,WA,W在 Drazin 逆的表示问题中,矩阵的分解成为了一个讨论热点.文献 5 讨论了矩阵的核-EP 分解及它的应用;Ferreyra 等6将核-EP 分解推广到长方矩阵中,得到了一种新的分解式,称作加 -权核-EP 分解;文献 7 将此结果应用到矩阵对 中,给出了矩阵对 的加权核-EP 分解下的加 收稿日期:2021-11-26基金项目:云南省教育厅科学研究基金(2021J1149)作者简介:胡春梅,女,硕士,讲师,研究方向
6、为矩阵和算子广义逆的理论及其应用.E-mail: 第 4 期华东师范大学学报(自然科学版)No.42023 年 7 月Journal of East China Normal University(Natural Science)Jul.2023Ad,W权 Drazin 逆 的新的表示.Cmnm nm=nCmm=CmI(m)mInnIA,(A)(A)(A)令 表示所有 阶复矩阵组成的集合.若 ,则记 .表示所有 阶可逆矩阵组成的集合.表示 阶单位矩阵,一般简记为 .用 ,Re 和 ind 分别表示矩阵的共轭转置,特征值,特征值的实部和指标.A Cn(A)=k定定义义 18设 且 ind ,称满
7、足AkXA=Ak,XAX=X,AX=XAX CnAAd的矩阵 为 的 Drazin 逆,通常记为 .A CmnW CnmX CmnAW定定义义 28设 ,称满足下列方程的矩阵 为 的加 -权 Drazin 逆:(AW)k+1XW=(AW)k,XWAWX=X,AWX=XWA,k(AW)(WA)X=Ad,WAd,W其中 =maxind ,ind .记 .若 存在,则必唯一.1 引理A Cmn,W Cnm引引理理 18设 ,则:(i)Ad,W=(AW)d)2A=A(WA)d)2 ;(ii)Ad,WW=(AW)d,WAd,W=(WA)d .A Cmn,W Cnmk(AW)(WA)引引理理 27设 且
8、=maxind ,ind .则有A=U(A1A120A2)V,W=V(W1W120W2)U.(1)U CmV CnA1 Ct(0 t 0引理引理 49令 为非奇异矩阵且 Re ,则A1=r+0exp(At)dt.A Cmn,W Cnmk(AW)(WA)(AW)k+1)0(WA)k+1)0定理 4令 ,=maxind ,ind 并且 Re ,Re .则Ad,W=r+0(exp(AW)k+1t)(AW)k)2Adt,(10)Ad,W=Ar+0(exp(WA)k+1t)(WA)k)2dt.(11)证明由定理 2 有r+0(exp(AW)k+1t)(AW)k)2Adt=(U(r+0exp(A1W1)k
9、+1t)dtr+0exp(A1W1)k(A1W12+A12W2)+DA2W2)tdt00)(A1W1)kD00)U)2A=(U(A1W1)(k+1)r+0exp(A1W1)k(A1W12+A12W2)+DA2W2)tdt00)(A1W1)kD00)U)2A=(U(A1W1)1(A1W1)(k+1)D00)U)2A=(U(A1W1)1TAW00)U)2A=(AW)d)2A=Ad,W.从而式(10)成立.同理可证明式(11)成立.参考文献 ZHANG X Y,CHEN G L.The computation of Drazin inverse and its application in Mark
10、ov chains J.Applied Mathematics andComputation,2006,183:292-300.1 CLINE R E,GREVILLE T N E.A Drazin inverse for rectangular matrices J.Linear Algebra and its Applications,1980,29:53-62.2 SHENG X P,CHEN G L.An oblique projection iterative method to compute Drazin inverse and group inverse J.AppliedMa
11、thematics and Computation,2009,211:417-421.3A(d)CHEN Y L.Representation and approximation for the Drazin inverse J.Applied Mathematics and Computation,2001,119:147-160.4 WANG H X.Core-EP decomposition and its applications J.Linear Algebra and its Application,2016,508:289-300.5 FERREYRA D E,LEVIS F E
12、,THOME N.Revisiting the core EP inverse and its extension to rectangular matrices J.QuaestionesMathematicae,2018,41:265-281.6 FERREYRA D E,ORQUERA V,THOME N.A weak group inverse for rectangular matrices J.Revista de la Real Academia deCiencias Exactas,Fsicas y Naturales.Serie A.Matemticas,2019,113:3727-3740.7 WANG G R,WEI Y M,QIAO S Z.Generalized Inverses:Theory and Computations M.Beijing:Science Press,2004:52-64.8A(2)T,S WEI Y M,DJORDJEVI D S.On integral representation of the generalized inverse J.Applied Mathematics and Computation,2003,142:189-194.9(责任编辑:陈丽贞)42华东师范大学学报(自然科学版)2023 年
