1、“蒲丰投针”试验及若干思考 上海师范大学数理学院王蓉华摘要:较为详细地介绍“蒲丰投针”试验,结合M o n t eC a r l o模拟点评了几种求值的方法,并给出了修正方法,最后总结了“蒲丰投针”试验的若干推广关键词:蒲丰投针;M o n t eC a r l o模拟;频率;大数定律“蒲丰投针”问题的由来 年的一天,法国科学家蒲丰(B u f f o n)家高朋满座,原来他们是受邀前来观看一次奇特试验试验伊始,年已古稀的蒲丰拿出一张预先画有多条等距离平行线的大纸,抓起一大把小针(针长是平行线间隔的一半),请受邀客人把这些小针一根一根往纸上扔,并要求他们记下针与平行线相交的次数客人们兴致勃勃地
2、加入了试验,不停地拿起针往纸上扔,而蒲丰本人忙着登记试验结果,试验进行了大约一个小时最后,蒲丰向各位朋友高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针 次,其中与平行线相交的有 次总次数 与相交次数 的比值为 ”接着,蒲丰停顿了一会儿,神秘地笑了笑,高声宣布:“先生们,这就是圆周率的近似值!”客人们一片茫然,感到不可思议:“圆周率?这可跟投针半点也不沾边的呀!”蒲丰似乎猜透了大家的心思,解释道:“诸位,这里用的是概率的原理,如果大家有耐心的话,再增加投针的次数,能得到的更精确的近似值”以上就是历史上非常著名的“蒲丰投针”问题“蒲丰投针”问题的求解“蒲丰投针”问题实际上是要求针与平行
3、线相交的概率,这涉及概率论中的几何概型问题下面将“蒲丰投针”问题表述为几何概型的问题:假设平面上画有等距离为d(d)的一些平行线,将一长度为l(ld)的针投掷到该平面上,如图所示,试求针与平面上平行线相交的概率解:记A为落下后针的中点,中点A与最近一平行线的距离记为x,表示针与此线的交角,又xd,这两个式子决定了x O平面上一矩形R(如图所示),样本空间为(,x)|xd,若使针与一平行线相交,充分必要条件是xls i n这个不等式决定R中一子集G,因此,问题等价于向R中均匀分布地掷点而求点落于G中的概率p,由几何概型的计算公式得pdls i ndld图图当然,关于针与平行线相交概率的求取有多种
4、方法,下面介绍通过两维随机变量计算得到的方法设X为此针下端与其下面最近的平行线之间的距离,显然XU(,d);又设为此针与平行线之间的夹角,易见U(,),且由于投掷的随机性知X,相互独立,记事件G表示“此针与某一平行线相 交”,pP(G)P(ls i ndX)ls i ndxddxdddddls i ndxlds i ndld“蒲丰投针”问题的若干思考 M o n t eC a r l o模拟注意上述概率p只依赖于比值ld,因此当l,d成比例变化时,概率p的值不发生变化,同时计算此上海中学数学 年第期概率的公式也提供了一个求值的方法:如果能事先求得概率p值,便可以求得值若投针N次,其中针与平行线
5、相交n次,则相交的频率为nN,用频率nN近似估计概率值p,于是可得的近似计算方法:N ln d这一结果的意义深远,它指出了一种很有用的近似计算方法,也即现在应用广泛的M o n t eC a r l o模拟历史上不少学者采用上述方法来计算的近似值,如表所示表历史上蒲丰试验计算的结果(平行线距离d)年份针长l试验人次数的近似值 蒲丰(B u f f o n)投 ,相交 德摩尔根(D eM o r g a n)投 ,相交 沃尔夫(W o l f)投 ,相交 史密斯(S m i t h)投 ,相交 福克斯(F o x)投 ,相交 拉兹里尼(L a z z e r i n i)投 ,相交 瑞娜(R e
6、 i n a)投 ,相交 观察表可以看到,的估计值并不完全随投掷的次数的增加而更为精确,要回答这一问题,要用到概率论中的“大数定律”“大数定律”表明:当试验重复次数很多时,随机事件出现的频率与相应的概率有较大偏差的可能性很小这也说明频率稳定性可以使我们用大量试验中随机事件的频率作为这个事件的概率的估计值这也说明频率和概率是两个不同的概念,频率依赖于试验,并与试验的次数有关,而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数(即不依赖于具体试验而存在),是随机事件自身的一个属性,它与试验次数无关同时也说明蒲丰所言的“增加投针的次数能得到的更精确的近似值”并不完全准确,或者说通常是这样的,但并不绝对值得
7、指出的是,“蒲丰投针”问题已成为中学课堂教学中一个极好地激发学生好奇心的数学素材例如,北师大版初中 数学 教材第七章“概率”的阅读材料就是“蒲丰投针”问题,其作为频数与频率的补充阅读,以一种崭新的概率、统计思想计算的近似值鉴于课堂教学时间的限制,课堂上做上千次试验是不可行的,为此更多地采用软件实现例如上教社 年版高级中学课本 数学,其中高中三年级(试用本)就是用S c i l a b语言实现的文献 中 涉 及 通 过 几 何 画 板、B a s i c、F O R T R AN、E x c e l以及S P S S等统计与数学软件给学生直观展示“蒲丰投针”的过程与结果,图即是通过软件实现的“蒲
8、丰投针”后的场景利用软件展示“蒲丰投针”试验主要有两个亮图点:一是能够在较短时间内完成数量庞大的投针试验;二是能够生动直观地展示投针的过程,激发学生的学习兴趣,增强学生的参与性与互动性应该指出的是,人教社 年版义务教育教科书 数学(七九年级),其中九年级上册第二十五章第 页“试验与探究”栏目的内容就是“的估计”,它也是利用概率统计的思想方法,设计一个试验方案来估计圆周率的值,希望学生通过试验结果来充分理解频率估计概率的合理性师:一 提 到 圆 周 率,就 让 人 立 即 想 到 ,这是一个无限不循环小数圆周率是指平面上圆的周长与直径之比,用来表示圆周率是英国学者琼斯在 年首先使用的古今中外,许
9、多学者致力于研究计算圆周率更为精准的估计值古希腊科学家阿基米德最早采用割圆术计算圆周率,他以计算外切或内接正n边形的周长作为圆上海中学数学 年第期周长的近似值,以此计算得到圆周率的近似值,当n不断增加时,近似效果越来越精确我国魏晋时期的数学家刘徽也采用割圆术,以计算外切或内接正n边形的面积作为圆面积的近似值,计算得到圆周率近似值为 公元 年左右,我国古代数学 家 祖 冲 之 用 刘 徽 割 圆 术,算 得 圆 周 率 为 ,第一次把圆周率精确地算到小数点后第七位,这个纪录保持了一千多年以后不断有人把它算得更为精确今天给同学们介绍一种全新的求估计值的方法,而且为了得到较为精确的估计值,需要同学们
10、积极参与以下是试验过程:半径为r的圆与它的外接正方形(如图所示),随机地在正方形内部取一点,这个点落在圆内的概率为多少?图生:记事件A表示“这个点落在圆内”,则P(A)圆的面积正方形的面积r(r)师:我们通过“蒲丰投针”问题的学习,了解了当试验重复次数很多时,可利用随机事件出现的频率来估计其相应的概率请你设计一个类似于“蒲丰投针”的试验方案,用随机事件出现的频率来估计相应的概率,进而得到圆周率的估计值生:在一张大白纸上,画出半径为r的圆以及外接正方形,随机往纸片上撒一大把米(或芝麻、黄豆之类的东西),统计落在圆内的米粒数m和落在正方形内的米粒数n,那么经过大量的重复试验,我们就能用mn来估计的
11、值了,进而可得到的估计值,即mn师:同学们再想想还有其他的试验方法吗?生:可在正方形中画一个圆(圆的半径小于内接圆的半径),也可在圆中画正方形(正方形边长小于等于内接正方形边长),也可将正方形改为等边三角形,等等,然后往图形上撒一大把米试验过程中有一个问题经常会被忽视,就是“蒲丰为何要画一系列间隔相等的平行线而不是若干条平行线”,这也是“蒲丰投针”试验设计的巧妙之处如果试验只画若干条平行线,就会有许多投掷的针远离平行线的情况存在,此外如何设定投掷的方向、力量等因素,这些都会影响试验结果,同时也会拉长试验时间如何设计试验及操作环节,高效得到试验结果值得我们进一步探究以上述教师所设计的问题为例,如
12、果该教师在白纸上只画一个圆与其外接正方形,然后往纸上撒一大把米,观察试验结果其实如何撒这把米是大有讲究的,是在纸的上方还是在侧面撒,用力多少等都会影响试验结果也就是说,只画一个圆与外接正方形然后撒米在操作层面上并不合适为解决上述问题,也有教师做一个立方体,立方体的底部是正方形并画上内接圆,再往立方体内撒一大把米,这一试验虽保证了米永远在正方形里,但向立方体撒米的位置(如在中间还是边上)还有立方体的高度等,这些也都将影响试验结果为尽可能地降低人为因素的影响,可以效仿“蒲丰投针”试验,将撒米试验改述为:在一张大白纸上画满相同的正方形,正方形彼此紧挨但互不相交,每个正方形画上内切圆,然后随机地往纸上
13、撒一把米(事先统计好米的数量),再统计落在圆内的米粒数经过这样的修正,试验易于操作且能降低误差再者,对于落在圆周上的米粒数,可以将其一半记入落在圆内的米粒数以降低误差“蒲丰投针”的一些应用利用M o n t eC a r l o模拟“蒲丰投针”可以得到的估计值,这为计算值提供了一条崭新的途径,是“蒲丰投针”最主要的应用之一当然,“蒲丰投针”还有一些其他应用,例如文献 利 用“蒲 丰 投 针”概 型 给 出 了 著 名 极 限l i mxs i nxx的概率证明方法文献 提出“蒲丰投针”是矿脉搜寻的一个较为重要的概率模型设在指定区域内的某处有一矿脉长为l,将矿脉视为针,用一组间隔为d(ld)的平
14、行线进行探测,“搜寻到这一矿脉”就相当于针与平行线相交,这完全类似于“蒲丰投针”试验“蒲丰投针”的推广研究关于“蒲丰投针”问题的推广,许多学者做了大量的研究工作,主要涉及以下几个方面的推广研究(具体结果可查阅文献 )去除投掷针长ld的限制,也就是针长满足ld,计算其与一平行线相交的概率投掷的是三角形、凸多边形、圆形等(ld),其与一平行线相交的概率为sd,其中s为图形的周长(下转第 页)上海中学数学 年第期角比的数学问题此任务也作为课前准备布置给全班学生,部分学生的发现与设计让人惊叹,解决变式问题的课堂绽放着“思维之花”变式的反馈既运用了之前总结的通法策略,又呈现了构造等腰直角三角形的巧法,一
15、题多变中体现出变与不变、优化方法、自主探究 将一题多解、举一反三的思考权交给学生发展思维品质的本质在于学生面对真实情境或实际问题时,解题思路、应变方案的具体实施,因此还要解放学生一题多解、举一反三的思考权在能力提升环节的三个变式中,作高构造直角三角形,求高的策略综合多样,可选择等积法、相似三角形、同角的三角比等多种路径处理问题,通法巧法相辅相成,为多元思考提供载体作业探究题中添加中点的条件,丰富图形形式,不仅能作中位线构造“A字型”图形,也能利用倍长中线构造“八字型”图形,可从不同角度切入在分析实践中激发学生思考,提升思维品质(上接第页)投掷的是凹形,还有三维图形,如正四面体、正六面体等将平行
16、线改为“筛子”形状,例如,平面上画有两组互相垂直的等距离平行线,它们把平面划分成边长为a,b的长方形,向平面投掷一长为l的针,计算针与平行线相交的概率如果平行线不是等距的,例如它们之间距离交替为a,a(la,a),那么针与平行线相交的概率为l(aa)参考文献赵华坤,任文清用电子计算机模拟设计试验J数学通报,():戴祥领概率论在计算方法中的应用J遵义师范高等专科学校学报,():丁正刚,张德然,王春生“蒲丰投针”问题的数学试验的设计J阜阳师范学院学报,():;徐鸿斌,毛钦良从蒲丰投针谈数学试验J中学教研(数学),():严东泰,张俊利用 几何画板 制作蒲丰投针试验J中小学电教,():王培现代信息技术在中学概率教学中的应用:蒲丰投针试验J科技文汇(下旬),():王合玲,张辉国,胡锡健 B u f f o n投针中针长对模拟精度的 影 响 J数 学 的 实 践 与 认 识,():宗凤喜,李如兵利用蒲丰(B u f f o n)投针问题在E x c e l中模拟值J科技信息,():程登彪计算机模拟蒲丰试验近似计算圆周率研究J福建电脑,():谭势威,邹灵杰,黄永幸以皓骏设计“蒲丰投针”问题的积件及教
