1、“问题引领”下的一类圆锥曲线定点问题的探究广东省广州市从化区第四中学黄强数学探究是围绕某个具体的数学问题,开展探究活动,突出通过问题引领,培养学生解决问题的能力笔者尝试以两条主线来组织一次课堂探究活动第一条线是从一个问题抽象到一般问题;第二条线是基于学科知识发展逻辑设计如下首先,教材中有很多结构相似的习题,因此先选择一个具体问题作为探究起点,确定 探 究 方 向如,年人教版选修复习参考题B组第题和习题的A组第题,对比两题,B组第题的点D容易使学生联想到定点问题,所以把B组第题作为探究起点,把定点问题作为探究方向其次,平面解析几何知识的发展逻辑在于它的整体性,这有助于培养学生运用类比思维、数形结
2、合思想解决问题,同时也有助于学生从整体上把握局部知识最后,由于是探究一些未知的知识,笔者与学生共同使用 几何画板 和M a p l e ,特别是用M a p l e 解决一些复杂的推导过程时,学生对此表现出极大兴趣,这出乎笔者意料下面笔者以“问题证明性质”形式呈现活动过程课本习题图原题(人教版选修复习参考题B组第题)如 图,已 知 直 线 与 抛 物 线yp x(p)交于A,B两点,且O AO B,O DA B交A B于 点D,点D的 坐 标 为(,),求p的值解:因为O DA B,由kO D,得kA B 因为D的坐标为(,),所以直线A B的方程为yx,联 立yp x,消x得yp yp设 点
3、A(x,y),B(x,y),则yy p,xx(yy)p 又因为O AO B,所以xxyy,即 p,故p抛物线定点问题的探究问题D是定点吗?(答案显然是否定的)问题已知直线与抛物线yp x(p)交于A,B两点,O AO B,且直线O A,O B存在,直线A B是否恒过定点?解析:当直线A B斜率存在时,设直线A B的方程为yk xb,联 立yp x,消x得k yp yp b,则yyp bk设点A(x,y),B(x,y),因为O AO B,所以xxyy,则bk(bkp),即b p k所以直线A B的方程为yk(xp),故直线A B恒过定点(p,)当直线A B斜率不存在时,直线A B也恒过定点(p,
4、),过程略由此得到以下性质:性质已知直线与抛物线y p x(p)交于A,B两点,O AO B,则直线A B恒过定点(p,)问题原题中抛物线上的定点为原点,比较特殊,如果一般化会怎样?(因此有如下问题)问题已知直线与抛物线yp x(p)交于A,B两点,P为抛物线上一定点,P AP B,直线A B是否恒过定点?解析:设点A(x,y),B(x,y),P(x,y)因为P AP B,所以(xx)(xx)(yy)(yy)即(pypy)(pypy)(yy)(yy)因为y,y,y彼此不等,所以(yy)(yy)p,可得yyy(yy)py当直线A B斜 率 存 在 时,设 直 线A B的 方 程 为yk xb,联
5、立yp x,消x得k yp yp b,则yypk,yyp bk所以直线A B的斜率kyyxxpyy,bkpy(yy)pk py复习备考解法探究 年 月上半月所以yypyy(xxp),故直线A B过定点C(px,y)当直线A B斜率不存在时,直线A B也恒过该定点C,过程略因而得到以下结论:性质已知直线与抛物线yp x(p)交于A,B两点,P(x,y)为抛物线上一定点,P AP B,则直线A B恒过定点C(px,y)容易 证 明 性 质的 逆 命 题 成 立,因 此 有 以 下性质:性质已知直线与抛物线yp x(p)交于A,B两点,P(x,y)为抛物线上一定点,C(px,y),若过点C的直线交抛
6、物线于A,B两点,则P AP B以性质为依据,非常容易判断课本习题 A组第题,原题如下:已知直线yx与抛物线yx交于A,B两点,求证:O AO B证明:因为直线yx过点(,),由性质可得O AO B利用 几何画板 进行探究,通过移动点A,发现线段P A,P B的中点轨迹呈现一定的规律因此提出以下问题:问题已知直线与抛物线yp x(p)交于A,B两点,P(x,y)为抛物线上一定点,C(px,y),若过点C的直线交抛物线于A,B两点,则线段P A中点的轨迹是什么?解析:设点A(x,y),D(x,y)为线段P A的中点,则xxx,yyy因为点A在抛物线上,所以(yy)p(xx),即yyp xx由此可
7、见,线段P A中点D的轨迹为抛物线另外,线段P B的中点也在该抛物线上,过程略因此,得到下面的结论:性质已知直线与抛物线yp x(p)交于A,B两点,P(x,y)为抛物线上一定点,C(px,y),若过点C的直线交抛物线于A,B两点,则线 段P A,P B的 中 点 在 抛 物 线yyp xx上利用 几何画板 继续探究,方法同上,提出以下问题:问题已知直线与抛物线yp x(p)交于A,B两点,P(x,y)为抛物线上一定点,P AP B,P DA B交A B于点D,求点D的轨迹方程解析:设点D(x,y),则直线P D斜率为kP Dyyxx由性质可知,直线A B过(px,y),所以直线A B斜率为k
8、yyxpx由P DA B可得yyxxyyxpx,化简得x(px)ypy因此得到下面的结论:性质已知直线与抛物线yp x(p)交于A,B两点,P为抛物线上一定点,P AP B,P DA B交A B于 点D,则 点D在 圆 x(px)ypy上问题至问题,其过程是对特殊点O的一般化,从而把具体问题抽象为一般问题,体现了对问题本质的探究另外,也可以将习题 A组第题中的直线一般化,又可以生成一个对斜率的探究活动我们知道,高中圆锥曲线主要包含椭圆、双曲线和抛物线三部分从学生学习的视角看,三种曲线的方程形式、性质和图形各不相同,学生容易认为三部分是独立的下面从数学思想的角度,把三部分的有机联系呈现给学生,予
9、他们以“整体”观感活用性质解决高考真题(年全国甲卷第 题)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x交C于P,Q两点,且O PO Q,已知点M(,),且M与l相切()求C,M的方程;()略下面运用性质求第()问中抛物线C的方程解:因为O PO Q,由性质可知直线l:x必过定 点(p,),所 以p故 抛 物 线C的 方 程为yx结语在新课程教学理念背景下,如何促使学生真正参与到“发现”数学知识和运用数学知识解决问题中,改变学生只会被动接受现成结论的习惯,从而真正学会学习,这是一个重要的问题通过这次课堂探究活动,笔者感到,课堂教学做好“三足”是有益的首先是教学要立足学科思想的引领,立好这个“足”,提升课堂教学立意;其次是教学要立足教材中的资源,善用、活用教材中的例题、习题等,既可以避免效率低下的“刷题”“题海”,又可以真正做到激发学生思维;最后是立足改变教学方式,以数学家发现数学规律的方式去学习,改变学生只会接受现成结论的现状,从而培养学生的创新意识 Z 年 月上半月 解法探究复习备考
